HĐ1
Cho vecto →AB=→a. Hãy xác định điểm C sao cho →BC=→a
a) Tìm mối quan hệ giữa →AB và →a+→a
b) Vecto →a+→a có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto →a
Phương pháp giải:
Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto →a.
Từ B, M, N ta dựng hình bình hành BMNC.
Khi đó: →MN=→BC hay →a=→BC.
⇒→a+→a=→AB+→BC=→AC
a) Vì →AB=→a=→BC nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.
Vậy →a+→a và →AB cùng hướng, |→a+→a|=2.|→AB|
b) Ta có: →a+→a và →AB cùng hướng, |→a+→a|=2.|→AB|
Mà →AB=→a nên: →a+→a và →a cùng hướng, |→a+→a|=2.|→a|.
Câu hỏi
1→a và →a có bằng nhau hay không?
Phương pháp giải:
Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: Vecto 1→a cùng hướng với vecto →a và |1→a|=|→a|.
Vậy hai vecto 1→a và →a bằng nhau.
HĐ2
Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0;1;√2;−√2. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto →OM,→ON với vecto →a=→OA. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto →OM và →OA.
Phương pháp giải:
Vecto k→a (với k>0,→a≠→0) là vecto cùng hướng với vecto →a và có độ đài bằng k|→a|.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy:
Vecto →OM và →OAcó cùng giá nên chúng cùng phương.
Mà vecto →OM và →OAcùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều
Vậy vecto →OM và →OAcùng hướng.
Ngoài ra, |→OM|=OM=√2 và |→OA|=OA=1
⇒|→OM|=√2.|→OA|
Ta kết luận →OM=√2.→OA.
Câu hỏi
−→a và −1→a có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Vecto k→a (với k<0,→a≠→0) là vecto ngược hướng với vecto →a và có độ đài bằng |k||→a|.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Vecto −→a là vecto đối của vecto →a
⇒−→a ngược hướng với vecto →a và |−→a|=|→a|
Lại có:
Vecto −1→a là vecto ngược hướng với vecto →a và có độ đài bằng |−1||→a|=|→a|.
⇒−→a và −1→a cùng hướng và có độ dài bằng nhau (bằng vecto→a).
Hay −→a=−1→a
Luyện tập 1
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để →AM=t.→AB
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có →AM=AMAB.→AB
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t≤0 để →AM=t.→AB
Phương pháp giải:
→a và →b(→b≠→0) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để →a=k.→b
Nếu →a và →b cùng hướng thì k=|→a||→b|
Nếu →a và →b ngược hướng thì k=−|→a||→b|
Lời giải chi tiết:
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi hai vecto →AM và →AB cùng phương (cùng giá d)
Khi và chỉ khi tồn tại số t để →AM=t.→AB.
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có →AM=AMAB.→AB
Sai vì →AM=AMAB.→AB khi và chỉ khi →AM và →AB cùng hướng.
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB, tức là A nằm giữa M và B.
Khi và chỉ khi hai vecto →AM và →AB ngược hướng
⇔ tồn tại số t≤0 để →AM=t.→AB
Vậy khẳng định c) đúng.
