Đề bài
Xác định parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + 1\) , trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua 2 điểm A(1; 0) và B(2; 4)
b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng \(x = 1\)
c) Có đỉnh I(1; 2)
d) Đi qua điểm A(-1; 6) và có tung độ đỉnh -0,25
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\)có:
- đỉnh là điểm \(I\left( {\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)
- Trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
Lời giải chi tiết
a) Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên:
\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b = - 1\)
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm B(2; 4) nên:
\(a{.2^2} + 2b + 1 = 4 \Leftrightarrow 4a + 2b = 3\)
Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = \frac{5}{2};b = \frac{{ - 7}}{2}\)
=> Hàm số cần tìm là \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\)
b) Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên:
\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b = - 1\)
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) có trục đối xứng x=1
\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\)
Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = 1;b = - 2\)
=> Hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - 2x + 1\)
c) Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên:
\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\)
\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b = 1\)
Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = - 1;b = 2\)
=> Hàm số cần tìm là \(y = - {x^2} + 2x + 1\)
d) Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(-1; 6) nên:
\(a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + 1 = 6 \Leftrightarrow a - b = 5 \Leftrightarrow a = b + 5\)
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + 1\) có tung độ đỉnh là -0,25 nên:
\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4.a.1}}{{4a}} = - 0,25 \Leftrightarrow {b^2} - 4a = a \Leftrightarrow {b^2} = 5a\)
Thay a=b+5 vào phương trình \({b^2} = 5a\) ta có:
\({b^2} = 5(b + 5) \Leftrightarrow {b^2} - 5b - 25 = 0\)
\( \Leftrightarrow b = \frac{{5 + 5\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow a = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2}\) và \(b = \frac{{5 - 5\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow a = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2}\)
=> Hàm số cần tìm là \(\begin{array}{l}y = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2}{x^2} + \frac{{5 + 5\sqrt 5 }}{2}x + 1\\y = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2}{x^2} + \frac{{5 - 5\sqrt 5 }}{2}x + 1\end{array}\)
