Đề bài
Cho ba vectơ →a,→b,→u với |→a|=|→b|=1 và →a⊥→b. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị →i=→a,→j=→b. Chứng minh rằng:
a) Vectơ →u có tọa độ là (→u.→a;→u.→b)
b) →u=(→u.→a).→a+(→u.→b).→b
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ →u
+) →u.→a=|→u|.|→a|.cos(→u.→a)
b) Vectơ →u có tọa độ (x;y) trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị →i;→j thì →u=x.→i+y.→j
Lời giải chi tiết
a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho →OA=→a;→OB=→b;→OC=→u
Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị →i=→a,→j=→b, lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.
Gọi tọa độ của →ulà (x;y). Đặt α=(→u,→a).
+) Nếu 0o<α<90o: x=OM=|→u|.cosα=|→u|.cosα.|→a|=→u.→a;
+) Nếu 90o<α<180o: x=−OM=−|→u|.cos(180o−α)=|→u|.cosα=→u.→a;
Như vậy ta luôn có: x=→u.→a
Chứng minh tương tự, ta có: y=→u.→b
Vậy vectơ →u có tọa độ là (→u.→a;→u.→b)
b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị →i=→a,→j=→b, vectơ →u có tọa độ là (→u.→a;→u.→b)
⇒→u=(→u.→a).→i+(→u.→b).→j⇔→u=(→u.→a).→a+(→u.→b).→b
