Đề bài
Cho vectơ →a≠→0. Chứng minh rằng 1|→a|→a (hay còn được viết là →a|→a|) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ →a.
Lời giải chi tiết
Cho vectơ →a≠→0. Chứng minh rằng 1|→a|→a (hay còn được viết là →a|→a|) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ →a.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Gọi tọa độ của vectơ →a là (x; y).
Ta có: |→a|=√x2+y2.
Đặt →i=1|→a|.→a
⇒→i=1√x2+y2.(x;y)=(x√x2+y2;y√x2+y2)
⇒|→i|=√(x√x2+y2)2+(y√x2+y2)2=√x2x2+y2+y2x2+y2=1
Mặt khác:
→i=1|→a|.→a=1√x2+y2.→a và 1√x2+y2>0 với mọi x,y≠0
Do đó vectơ →i và →a cùng hướng.
Vậy 1|→a|→a (hay →a|→a|) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ →a.
Cách 2:
Với mọi vectơ →a≠→0, ta có: |→a|>0⇒k=1|→a|>0. Đặt →i=1|→a|.→a=k.→a
⇒|→i|=|k.→a|=|k|.|→a|⇔|→i|=k.|→a|=1|→a|.|→a|=1
Mặt khác: →i=1|→a|.→a=k.→a và k>0
Do đó vectơ →i và →a cùng hướng.
Vậy 1|→a|→a (hay →a|→a|) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ →a.
