HĐ2
Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa sinα và sin(180o−α), giữa cosα và cos(180o−α).
Phương pháp giải:
Nhận xét vị trí của M và M’ trong mỗi trường hợp: α=90o;α<90o;α>90o.
Khi 0o<α<90o: cosα,sinα tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải chi tiết:
M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc α và 180o−α.
Giả sử M(x0;yo). Khi đó cosα=x0;sinα=yo
Trường hợp 1: α=90o
Khi đó α=180o−α=90o
Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.
Và {cosα=−cos(180o−α)=0;sinα=sin(180o−α)=sin90o=1.cotα=0
Không tồn tại tanα với α=90o
Trường hợp 2: α<90o⇒180o−α>90o
M nằm bên phải trục tung
M’ nằm bên trái trục tung
Dễ thấy: ^M′OC=180o−^xOM′=180o−(180o−α)=α=^xOM
⇒^M′OB=90o−^M′OC=90o−^MOA=^MOB
Xét tam giác M′OB và tam giác MOB ta có:
OM=OM′
^M′OB=^MOB
OB chung
⇒ΔMOB=ΔM′OB⇒{OM=OM′BM=BM′
Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.
Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Mà M(x0;yo) nên M′(−x0;yo)
cos(180o−α)=−x0=−cosα;sin(180o−α)=yo=sinα.⇒{tan(180o−α)=−tanαcot(180o−α)=−cotα
Trường hợp 3: α>90o⇒180o−α<90o
Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.
Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Như vậy
cos(180o−α)=−x0=−cosα;sin(180o−α)=yo=sinα.⇒{tan(180o−α)=−tanαcot(180o−α)=−cotα
Kết luận: Với mọi 0o<α<180o, ta luôn có
cos(180o−α)=−cosα;sin(180o−α)=sinα.tan(180o−α)=−tanα(α≠90o)cot(180o−α)=−cotα
Luyện tập 2
Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau α và 90o−α (^xOM=α,^xON=90o−α). Chứng mình rằng ΔMOP=ΔNOQ. Từ đó nêu mối quan hệ giữa cosα và sin(90o−α).
Phương pháp giải:
Nhận xét vị trí của M và N trong mỗi trường hợp: α=90o;α<90o
Khi 0o<α<90o: cosα,sinα tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.
Lời giải chi tiết:
Trường hợp 1: α=90o
Khi đó 90o−α=0o
Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.
Và cosα=0=sin(90o−α)
Trường hợp 2: 0o<α<90o⇒0o<90o−α<900
M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.
Ta có: α=^AOM;90o−α=^AON
Dễ thấy: ^AON=90o−α=90o−^NOB⇒α=^NOB
Xét hai tam giác vuông NOQ và tam giác MOP ta có:
OM=ON
^POM=^QON
⇒ΔNOQ=ΔMOP⇒{OP=OQQN=MP
Mà M(x0;yo) nên N(yo;x0). Nói cách khác:
cos(90o−α)=sinα;sin(90o−α)=cosα.
Vận dụng
Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
Phương pháp giải:
Bước 1: Giả sử chiều quay của chiếc đu quay. Xác định vị trí của cabin sau 20 phút.
Bước 2: Dựa vào giá trị lượng giác của góc, xác định khoảng cách từ cabin đến Ox (trong hình H.3.7)
Bước 3: Suy ra độ cao của người đó sau 20 phút quay.
Lời giải chi tiết:
Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.
Gọi M là vị trí của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A A’, B, H như hình dưới.
Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng 23 chu vi đường tròn.
Sau 15 phút cabin đi chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được 12 chu vi đường tròn.
Trong 5 phút tiếp theo cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng 16 chu vi đường tròn hay 13 cung .
Do đó: ^BOM′=13.180o=60o⇒^AOM′=90o−60o=30o.
⇒M′H=sin30o.OM′=12.75=37,5(m).
⇒ Độ cao của người đó là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).
Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.
