Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0\) (1)
Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
Phương trình (1) là phương trình bậc hai với ẩn $x$ và tham số $m$.
Xét: \(\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {{m^2} + m + 1} \right) = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} - m - 1 = - 7m + 8\).
\( \bullet \) Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{8}{7}\).
\( \bullet \) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{8}{7}\).
\( \bullet \) Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{8}{7}\).
Như vậy
+ Với $m=3>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên A sai.
+ Với $m=-1<\dfrac{8}{7}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên B sai.
+ Với $ m=2>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên C đúng, D sai.
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} + ax + b = 0\) (1) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Điều kiện để \({x_1}; {x_2} > 0\) là:
Phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) nên \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {a^2} > 4b\).
Để phương trình (1) có $2$ nghiệm dương phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\ - a > 0\\b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b > 0\end{array} \right.\)
Giả sử: \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x - 9 = 0\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
Phương trình đã cho có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 9} \right) = 13 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}\) (1)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - ( - 4)}}{1} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{ - 9}}{1} = - 9\end{array} \right.\\\end{array}\)
Thay vào (1) ta được: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {4^2} - 2.( - 9) = 16 + 18 = 34\).
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}S = \sqrt 5 - 2 + \sqrt 5 + 2 = 2\sqrt 5. \\P = (\sqrt 5 - 2)(\sqrt 5 + 2) = 5 - 4 = 1\end{array}\).
Nhận thấy \({S^2} > 4P\,\left( {{\rm{do}}\,{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} = 20 > 4} \right)\)
Nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\) là: \({x^2} - 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\).
Tập nghiệm của phương trình \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\) là:
\({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\) (1)
Đặt: \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\)
Có: \(\Delta = {5^2} - 4.6 = 1 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5 + 1}}{2} = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{5 - 1}}{2} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) .
+) Với \(t = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 .\)
+) Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 .\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ { \pm \sqrt 2 \,;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}$.
Tập nghiệm của phương trình \(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) là:
\(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) (1)
ĐKXĐ: \(x \ge 0.\)
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 12 = 0.\)
Có: \(\Delta ' = {2^2} + 12 = 16 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 2 + \sqrt {16} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = - 2 - \sqrt {16} = - 6\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)
Với \(t = 2 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4.\)
Cho phương trình: \({x^4} + m{x^2} + 2m + 3 = 0\) (1). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt ?
Đặt: \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta được: \({t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) (2).
Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt
Phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left( {2m + 3} \right) > 0\\ - m > 0\\2m + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m - 12 > 0\\m < 0\\m > - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 2\sqrt 7 \\m < 4 - 2\sqrt 7 \end{array} \right.\\ - \dfrac{3}{2} < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \)
Với các giá trị thuộc \( - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.
Nhận thấy trong các đáp án thì thì chỉ có \(m = - \dfrac{7}{5}\) thỏa mãn \( - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) để phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - 2px + 5 = 0\) có $1$ nghiệm \({x_1} = 2\)
Tìm giá trị của $p$ và nghiệm \({x_2}\) còn lại:
Thay \(x = 2\) vào phương trình đã cho ta được: \(4 - 4p + 5 = 0 \Leftrightarrow 4p = 9 \Leftrightarrow p = \dfrac{9}{4}\).
Thay \(p = \dfrac{9}{4}\) vào phương trình đã cho ta được: \({x^2} - \dfrac{9}{2}x + 5 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 10 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(2x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{5}{2}\).
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - qx + 50 = 0\).
Tìm \(q > 0\) và $2$ nghiệm \({x_1};{x_2}\) của phương trình biết rằng \({x_1} = 2{x_2}\).
Để phương trình đã cho có $2$ nghiệm thì: \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {q^2} - 200 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q \ge 10\sqrt 2 \\q \le - 10\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Khi đó phương trình có hai nghiệm: \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = q\\{x_1}.{x_2} = 50\end{array} \right.\)
Với \({x_1} = 2{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + {x_2} = q\\2{x_2}.{x_2} = 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_2} = q\\x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\q = 15\end{array} \right.\) (do \(q > 0\) nên \({x_2} = 5 > 0\))
Khi đó: \({x_1} = 2{x_2} = 2.5 = 10\).
Vậy \(q = 15;{x_1} = 10,{x_2} = 5\)
Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 1} \right) = 0\) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt: \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {2m - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 8m + 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 8 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\left( {\forall m} \right)\)
Vậy với mọi $m$ phương trình đã cho luôn có $2$ nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Viet, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2m + 4\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5\)
Vậy $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$ là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Cho phương trình: \({x^2} - 3(m - 5)x + {m^2} - 9 = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu.
Phương trình: \({x^2} - 3(m - 5)x + {m^2} - 9 = 0\) có \(a=1;b=-3(m-5);c=m^2-9\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.c < 0\\ \Leftrightarrow 1.({m^2} - 9) < 0\\ \Leftrightarrow (m-3)(m+3)<0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 3 < 0\\
m + 3 > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 3 > 0\\
m + 3 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m < 3\\
m > - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < - 3
\end{array} \right.\left( l \right)
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow - 3 < m < 3\)
Cho phương trình: \({x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0\).
Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
Xét phương trình: \({x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2m + 1)^2} - 4{m^2} > 0\\ - 2(2m + 1) < 0\\{m^2} > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4m + 1 > 0\\2m + 1 > 0\\{m^2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m >-1 \\2m > - 1\\m \ne 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 1}}{4} \\m > \dfrac{{ - 1}}{2}\\m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 1}}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\end{array}$.
Cho phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\).
Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 8\).
Xét phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\) ta có:
$\Delta ' = {(m - 1)^2} - 1.\left( {{m^2} - 3m} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3m = m + 1$.
Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .
Ta có: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 8$ (*)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:
$\begin{array}{l}{{\rm{[}}2(m - 1){\rm{]}}^2} - 2.\left( {{m^2} - 3m} \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4.({m^2} - 2m + 1) - 2{m^2} + 6m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 6m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow (m + 1)(m - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,(ktm)\\m = 2\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$
Vậy với $m = 2$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(d:\,\,y = 2\left( {m - 1} \right)x - m - 1\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(a = 1;\,b = - 2\left( {m - 1} \right);\,c = m + 1\)
Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\)
\( \Leftrightarrow 1.\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: \(y = 2\left( {m - 3} \right)x + 4m - 8\) cắt đồ thị hàm số (P):\(y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(a = 1;b = - 2\left( {m - 3} \right);c = 8 - 4m\)
Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm \( \Leftrightarrow \)Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng âm\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = b{'^2} - ac > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\\S = {x_1} + {x_2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ { - \left( {m - 3} \right)} \right]^2} - \left( {8 - 4m} \right) > 0\\8 - 4m > 0\\2\left( {m - 3} \right) < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 8 + 4m > 0\\ - 4m > - 8\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m < 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\end{array} \right.\)
Cho phương trình: \(x - 2\sqrt x + m - 3 = 0\) (1)
Điều kiện của $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt là:
Đặt: \(\sqrt x = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta được: \({t^2} - 2t + m - 3 = 0\) (2)
Để phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(t \ge 0\).
Phương trình (2 ) có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(t \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P \ge 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) > 0\\2 > 0\\m - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m < 4\)
Cho phương trình: \({x^2} + x - \dfrac{{18}}{{{x^2} + x}} = 3\) (1)
Phương trình trên có số nghiệm là:
Điều kiện: \({x^2} + x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
Đặt: \(t = {x^2} + x\left( {t \ne 0} \right)\) ta được: \(t - \dfrac{{18}}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 18 = 0\)
\( \Leftrightarrow (t - 6)(t + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 6\end{array} \right.\) (thỏa mãn \(t \ne 0\)).
+ Nếu \(t = - 3 \Rightarrow {x^2} + x = - 3 \Leftrightarrow {x^2} + x + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0\) (Vô nghiệm).
+ Nếu \(t = 6 \Rightarrow {x^2} + x = 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Cho phương trình: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1\) (1)
Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1).
Giá trị của $S$ là:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - x + 2 \ne 0\\3{x^2} + 5x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình.
Xét \(x \ne 0\) ta có: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1 \)\(\Rightarrow \dfrac{2}{{3x - 1 + \dfrac{2}{x}}} - \dfrac{7}{{3x + 5 + \dfrac{2}{x}}} = 1\).
Đặt \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\) ta được: $\dfrac{2}{{t - 1}} - \dfrac{7}{{t + 5}} = 1 \Rightarrow 2\left( {t + 5} \right) - 7\left( {t - 1} \right) = \left( {t - 1} \right)\left( {t + 5} \right)$.
\( \Leftrightarrow 2t + 10 - 7t + 7 = {t^2} + 5t - t - 5 \Leftrightarrow {t^2} + 9t - 22 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)(t + 11) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 11\end{array} \right.\)
\( \circ \) Nếu \(t = 2 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = 2 \Rightarrow 3{x^2} - 2x + 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow 2{x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (Vô nghiệm).
\( \circ \) Nếu \(t = - 11 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = - 11 \Rightarrow 3{x^2} + 11x + 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\) (Thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm \(x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\).
Suy ra tổng $2$ nghiệm \(S = - \dfrac{{11}}{3}\).
Phương trình \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Phương trình: \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right).\)
Ta thấy: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho.
Với: \(x \ne 0\), ta chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt: \(x - \dfrac{2}{x} = t\) \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\).
Có: \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biết: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 2\end{array} \right..\)
+) Với \(t = 1 \Rightarrow x - \dfrac{2}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
+) Với \(t = 2 \Rightarrow x - \dfrac{2}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 = 0\).
Có: \(\Delta ' = 1 + 2 = 3 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 - \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Tập nghiệm của phương trình \((x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 35\) là:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) = 35\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt: \({x^2} + 7x + 10 = t \Rightarrow {x^2} + 7x + 12 = t + 2.\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow t\left( {t + 2} \right) = 35 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 35 = 0.\)
Có: \(\Delta ' = 1 + 35 = 36 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1 + \sqrt {36} = 5\\{t_2} = - 1 - \sqrt {36} = - 7\end{array} \right..\)
+) Với: \(t = 5 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = 5 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 5 = 0\)
Có: \(\Delta = {7^2} - 4.5 = 29 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}\end{array} \right.$
+) Với: \(t = - 7 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 17 = 0\).
Có: \(\Delta = {7^2} - 4.17 = - 19 < 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}.\)
