Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Chiều cao của cây là : \(h = 1,7 + 20.\tan 35^\circ \approx 15,7m\).
Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m (cùng 1 phía với ngọn núi), người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nắng lần lượt là \({34^o}\) và \({38^o}\).
Ta có hình vẽ minh họa với \(\widehat {DAC} = {34^0};\widehat {DBC} = {38^0}\)
Xét tam giác vuông ADC vuông tại C có: \(\tan \left( {\angle DAC} \right) = \dfrac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \dfrac{{DC}}{{\tan \left( {\angle DAC} \right)}}\).
Xét tam giác vuông BDC vuông tại C có: \(\tan \left( {\angle DBC} \right) = \dfrac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{DC}}{{\tan \left( {\angle DBC} \right)}}\).
Có:
\(AC - BC = AB = 500\left( m \right) \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{\tan \left( {\angle DAC} \right)}} - \dfrac{{DC}}{{\tan \left( {\angle DBC} \right)}} = 500\)
\( \Rightarrow DC.\left( {\dfrac{1}{{\tan {{34}^o}}} - \dfrac{1}{{\tan {{38}^o}}}} \right) = 500 \Rightarrow DC = \dfrac{{500}}{{\dfrac{1}{{\tan {{34}^o}}} - \dfrac{1}{{\tan {{38}^o}}}}} = 2468\left( m \right)\)
Vậy độ cao của ngọn núi là \(2468m\)
Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài \(6m.\) Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng \({38^0}.\) Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Ta có chiều cao cột đèn là \(AC\); \(AB = 6\,m\) và \(\widehat {ACB} = 38^\circ \)
Xét tam giác \(ACB\) vuông tại \(A\) có
\(AC = AB.\tan B = 6.\tan 38^\circ \approx 4,69\,\,m\)
Vậy cột đèn cao \(4,69\,m\)
Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là \({25^0}\) và có độ cao là \(2,4m.\) Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Ta có độ dài của mặt cầu trượt là \(BC\); \(AC = 2,4\,m\) và \(\widehat {ABC} = 25^\circ \)
Xét tam giác \(ACB\) vuông tại \(A\) có
\(BC = AC:\sin B = 2,4:\sin 25^\circ \simeq 5,68\,m\)
Vậy độ dài của mặt cầu trượt là \(5,68\,m\)
Một cột đèn điện \(AB\) cao \(7m\) có bóng in trên mặt đất là \(AC\) dài \(4m.\) Hãy tính góc \(\widehat {BCA}\) (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.
Ta có \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{7}{4} \Rightarrow \widehat C \simeq 60^\circ 15'\)
Một cây tre cau \(8m\) bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc \(3,5m\) . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Giả sử \(AB\) là độ cao của cây tre, \(C\) là điểm gãy.
Đặt \(AC = x \Rightarrow CB = CD = 8-x\)
Vì \(\Delta ACD\) vuông tại \(A\)
\(⇒A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\)\( \Rightarrow {x^2} + 3,{5^2} = {\left( {8 - x} \right)^2}\)\( \Rightarrow 16x = \dfrac{{207}}{4} \)\(\Rightarrow x = \dfrac{{207}}{{64}} \approx 3,23m\)
Vậy điểm gãy cách gốc cây \(3,23\,m\)
Nhà bạn Vũ có một chiếc thang dài \(3,5\,m\). Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là \({62^0}\) (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Ta có \(BC = 3,5\,\,m;\widehat C = 62^\circ \). Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = BC.\cos \widehat C = 3,5.\cos 62^\circ \simeq 1,64\,\,m\).
Một máy bay đang bay ở độ cao \(12km\) so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất hợp thành một góc an toàn là \({12^0}\) thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay bao xa? ( làm tròn kết quả đến một chữ số phần thập phân)
Từ giả thiết suy ra \(AC = 12\,\,km;\,\,\widehat B = 12^\circ \).
Xét tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = AC.\cot B = 12.\cot 12^\circ \simeq 56,5\,km\)
Một cái cây bị sét đánh trúng thân cây làm thân cây ngả xuống đất, tạo với mặt đất một góc là \({35^0}\) . Biết rằng khúc cây còn đứng cao \(1,5\,m\) . Tính chiều cao lúc đầu của cây. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Từ giả thiết ta có chiều dài ban đầu của cây là \(AD\); sau khi bị sét đánh thì cây còn lại \(AC = 1,5\,\,m;\widehat {CBA} = 35^\circ \)và \(CD = CB\).
Xét tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = \dfrac{{AC}}{{\sin 35^\circ }} \approx 2,6\,m\)
Suy ra \(AD = AC + CD = 1,5 + 2,6 = 4,1\,m\).
Vậy cây cao \(4,1\,m\).
Một chiếc máy bay, đang bay lên với vận tốc \(480\,km/h\) . Đường bay lên tạo với phương ngang một góc \({25^0}\) .Hỏi sau \(1,5\) phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Đổi \(1,5' = \dfrac{1}{{40}}h\).
Sau \(1,5\) phút máy bay ở \(C\).
Quãng đường bay được là \(BC = 480.\dfrac{1}{{40}} = 12\,km\) và \(\widehat B = 25^\circ \)
Nên \(AC = BC.\sin 25^\circ = \,5,1\,km\).
Vậy máy bay đạt được độ cao là \(5,1\,km\) sau \(1,5\) phút.
Một khúc sông rộng khoảng \(100m\) . Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng \(180m\) mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ? (làm tròn đến độ)
Ta có khúc sông \(AC = 100\,m\), quãng đường thuyền đi là \(BC = 180\,m\)
Góc lệch là \(\widehat C\).
Ta có \(\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{100}}{{180}} \Rightarrow \widehat C \simeq 56^\circ \)
Vậy góc lệch là \(56^\circ \).
Hai bạn học sinh Mai và Đào đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau \(150m\) thì nhìn thấy một chiếc diều ( ở vị trí \(C\) giữa hai bạn). Biết góc ''nâng'' để nhìn thấy diều ở vị trí của Mai là \({45^0}\), góc ''nâng'' để nhìn thấy diều ở vị trí của Đào là \({35^0}\) . Hãy tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Độ cao của máy bay là \(CD\), độ dài \(AB = 100\,m\). Đào đứng ở \(A\) , Mai đứng ở \(B\) .
Gọi \(AD = x\left( {0 < x < 100} \right) \Rightarrow BD = 150 - x\)
Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) ta có \(CD = AD.\cot A = x.\cot 45^\circ = x\)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) ta có \(CD = BD.{\mathop{\rm cotB}\nolimits} = \left( {150 - x} \right).\cot 35^\circ \)
Nên \(x = \left( {150 - x} \right)\cot 35^\circ \Rightarrow x \simeq 88,22\) (thoả mãn)
\( \Rightarrow CD = x = 88,22m\)
Vậy độ cao của diều lúc đó so với mặt đất là \(88,22\,m\).
Hai bạn học sinh A và B đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 60 m thì nhìn thấy một máy bay trực thăng điều khiển từ xa ( ở vị trí C nằm trên tia AB và AC>AB). Biết góc ''nâng'' để nhìn thấy máy bay ở vị trí của B là \(50^\circ \) và góc ''nâng'' để nhìn thấy máy bay ở vị trí của A là \(30^\circ .\) Hãy tính độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Độ cao của máy bay là \(CD\), độ dài \(AB = 60\,m\). \(\widehat {DAC} = 30^\circ ;\,\widehat {DBC} = 50^\circ \)
Gọi \(BC = x \Rightarrow AC = 60 + x\)
Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(C\) có \(CD = BC.\tan \widehat {DBC} = x.\tan 50^\circ \)
Xét tam giác \(ADC\) vuông tại \(C\) có \(CD = AC.\tan \widehat {DAC} = \left( {60 + x} \right).\tan 30^\circ \)
Suy ra \(x\tan 50^\circ = \left( {60 + x} \right)\tan 30^\circ \)\( \Leftrightarrow x\left( {\tan 50^\circ - \tan 30^\circ } \right) = 60.\tan 30^\circ \Leftrightarrow x \simeq 56,38\,m\) \( \Rightarrow CD = x.\tan 50^\circ = 56,38.\tan 50^\circ \simeq 67,19\,m\).
Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là \(67,19\,m\).
Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài $7,5m.$ Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng ${42^0}.$ Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
Ta có chiều cao cột đèn là $AC$; $AB = 7,5\,m$ và $\widehat {ACB} = 42^\circ $
Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có
$AC = AB.\tan B = 7,5.\tan 42^\circ \simeq 6,753\,\,m$
Vậy cột đèn cao $6,753\,m$
Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là ${28^0}$ và có độ cao là $2,1m.$Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Ta có độ dài của mặt cầu trượt là $AB$; $AC = 2,1\,m$ và $\widehat {ABC} = 28^\circ $
Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có
$BC = AB:\sin B = 2,1:\sin 28^\circ \simeq 4,47\,m$
Vậy độ dài của mặt cầu trượt là $4,47\,m.$
Một cột đèn điện $AB$ cao $6m$ có bóng in trên mặt đất là $AC$ dài $3,5m.$ Hãy tính góc $\widehat {BCA}$ (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.
Ta có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{6}{{3,5}} = \dfrac{{12}}{7} \Rightarrow \widehat C \simeq 59^\circ 45'$
Một cây tre cau $9m$ bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc $3m$. Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?
Giả sử $AB$ là độ cao của cây tre, $C$ là điểm gãy.
Đặt $AC = x (0<x<9)\Leftrightarrow CB = CD = 9-x$. Vì $\Delta ACD$ vuông tại $A$
Suy ra \(A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {3^2} = {\left( {9 - x} \right)^2} \)
\(\Leftrightarrow x = 4\) (TM)
Vậy điểm gãy cách gốc cây $4m.$
Nhà bạn Minh có một chiếc thang dài $4\,m$. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là ${65^0}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Ta có $BC = 4\,\,m;\widehat C = 65^\circ $. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AC = BC.\cos \widehat C = 4.\cos 65^\circ \simeq 1,69\,\,m$.
Một máy bay đang bay ở độ cao $10km$ so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất hợp thành một góc an toàn là ${15^0}$ thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay bao xa? ( làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân)
Từ giả thiết suy ra $AC = 10\,\,km;\,\,\widehat B = 15^\circ $.
Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.\cot B = 10.\cot 15^\circ \simeq 37,32\,km$
Một cái cây bị sét đánh trúng thân cây làm thân cây ngả xuống đất, tạo với mặt đất một góc là ${40^0}$. Biết rằng khúc cây còn đứng cao $1\,m$ . Tính chiều cao lúc đầu của cây.
Từ giả thiết ta có chiều dài ban đầu của cây là $AD$; sau khi bị sét đánh thì cây còn lại $AC = 1\,\,m;\widehat {CBA} = 40^\circ $và $CD = CB$.
Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $BC = \dfrac{{AC}}{{\sin 40^\circ }} = 1,56\,m$ nên $CD=1,56\,m$
Suy ra $AD = AC + CD $
$= 1 + 1,56 = 2,56\,m$.
Vậy cây cao $2,56\,m$.
