Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Ta có $\cos \widehat {MNP} = \dfrac{{MN}}{{NP}}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có: 

$\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}$

Suy ra $AC = AB\tan B = 5.\tan {60^0} = 5\sqrt 3 \,\,cm.$

$\,\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}\\\,\,\,\,\, = \tan {10^0}.\cot{10^0} - \tan {20^0}.\cot {20^0}\\\,\,\,\,\, = 1 - 1 = 0.\end{array}$

$\,\,A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}$ 

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{15^0}\\\,\,\,\,\, = \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{25}^0} + {{\cos }^2}25} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right) + {\sin ^2}{45^0}\\\,\,\,\, = 1 + 1 + 1 + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.\end{array}$ 

$\,\,A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}$ 

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{15^0}\\\,\,\,\,\, = \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{25}^0} + {{\cos }^2}25} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right) + {\sin ^2}{45^0}\\\,\,\,\, = 1 + 1 + 1 + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.\end{array}$ 

Ta có:

$\begin{array}{l}P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\\ = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\sin ^2}{40^0} + {\sin ^2}{20^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{20}^0} + {{\sin }^2}{{20}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{40}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right)\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25 \Rightarrow BC = 5$

Khi đó $\cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}$ 

Ta có $\tan \widehat {MNP} = \dfrac{{MP}}{{NN}}$

Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng sin góc kia và tan góc nọ bằng cotan góc kia.

Theo định lý Py-ta-go ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$ và $\cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Theo định lý Py-ta-go ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{9^2} - {5^2}}  = 2\sqrt {14}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{2\sqrt {14} }}{5} \approx 1,5$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, theo định lý Pytago ta có

$A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {15^2} - {6^2} = 189 \Rightarrow AH = 3\sqrt {21}$

$\Rightarrow \sin C = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{3\sqrt {21} }}{{15}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{5}$

Mà tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B,\widehat C$ là hai góc phụ nhau. Do đó $\cos B = \sin C = \dfrac{{\sqrt {21} }}{5}.$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = BH + CH = 11 + 12\, = 23\,cm$

 theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $A{C^2} = CH.BC \Rightarrow A{C^2} = 11.23 = 253 \Rightarrow AC = \sqrt {253} \,\,cm$

$\Rightarrow \cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt {253} }}{{23}} \approx 0,69$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại  $A$ nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$$\Rightarrow \cot C = \tan B = 4$

Mà $\cot C.\tan C = 1 \Leftrightarrow \tan C = \dfrac{1}{4}.$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại  $A$ nên $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AC = AB:\tan C = 9:\dfrac{5}{4} = 7,2cm$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + 7,{2^2} = 132,84 \Rightarrow BC = \dfrac{{9\sqrt {41} }}{5} \approx 11,53$

Vậy $AC = 7,2;BC \approx 11,53.$

Ta có ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - \dfrac{9}{{16}} = \dfrac{7}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}$

Lại có $\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}$.

Vậy $\sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4};\tan \alpha  = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}$.

Vì $46^\circ  < 50^\circ  \Leftrightarrow \cot 46^\circ  > \cot 50^\circ$.

Ta có $\cos 67^\circ  = \sin 23^\circ \,$ vì $67^\circ  + 23^\circ  = 90^\circ$;  $\cos 44^\circ 35' = \sin 45^\circ 25'$ vì $44^\circ 35' + 45^\circ 25' = 90^\circ$

Mà $23^\circ  < 28^\circ 10' < 35^\circ  < 40^\circ  < 45^\circ 25'$ nên $\sin 23^\circ  < \sin 28^\circ 10' < \sin 35^\circ  < \sin 40^\circ  < \sin 45^\circ 25'$

$\Leftrightarrow \cos 67^\circ  < \sin 28^\circ 10' < \sin 35^\circ  < \sin 40^\circ  < \cos 44^\circ 35'$

Ta có ${\sin ^2}80^\circ  = {\cos ^2}10^\circ ;{\sin ^2}70^\circ  = {\cos ^2}20^\circ ;{\sin ^2}60^\circ  = {\cos ^2}30^\circ ;{\sin ^2}50^\circ  = {\cos ^2}40^\circ$ và ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$

Nên ${\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}20^\circ  + {\sin ^2}30^\circ  + {\sin ^2}40^\circ  + {\sin ^2}50^\circ  + {\sin ^2}60^\circ  + {\sin ^2}70^\circ  + {\sin ^2}80^\circ$

$= {\sin ^2}10^\circ  + {\sin ^2}20^\circ  + {\sin ^2}30^\circ  + {\sin ^2}40^\circ  + {\cos ^2}40 + {\cos ^2}30^\circ  + {\cos ^2}20^\circ  + {\cos ^2}10^\circ$

$= \left( {{{\sin }^2}10^\circ  + {{\cos }^2}10^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}20^\circ  + {{\cos }^2}20^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}30^\circ  + {{\cos }^2}30^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}40^\circ  + {{\cos }^2}40^\circ } \right)$

$= 1 + 1 + 1 + 1 = 4.$

Vậy giá trị cần tìm là $4.$

Ta có $\tan 80^\circ  = cot10^\circ ;\tan 70^\circ  = cot20^\circ ;\tan 50^\circ  = cot40^\circ ;\tan 60^\circ  = \cot 30^\circ$ và $\tan \alpha .cot\alpha  = 1$

Nên $B = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\tan 50^\circ .\tan 60^\circ .\tan 70^\circ .tan80^\circ$$= \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\cot 40^\circ .\cot 30^\circ .\cot 20^\circ .\cot 10^\circ$

$= \left( {\tan 10^\circ .\cot 10^\circ } \right).\left( {\tan 20^\circ .\cot 20^\circ } \right).\left( {\tan 30^\circ .\cot 30^\circ } \right).\left( {\tan 40^\circ .\cot 40^\circ } \right)$

$= 1.1.1.1 = 1$

Vậy $B = 1$.