Góc ở tâm- Số đo cung

Xét $\left( O \right)$ có $CD \bot OA;ED{\rm{//}}OA \Rightarrow CD \bot ED$ hay $\widehat {EDC} = 90^\circ$ mà $E;D;C \in \left( O \right)$ nên $EC$ là đường kính của $\left( O \right)$ hay $E;O;C$ thẳng hàng.

Do đó $\widehat {BOE} = \widehat {COA} = 60^\circ$ (đối đỉnh) nên số đo cung nhỏ $BE$ là $60^\circ$.

Xét tứ giác $OAMB$ có

$\widehat {BOA} + \widehat {OBM} + \widehat {OAM} + \widehat {AMB} = 360^\circ  \Rightarrow \widehat {BOA} = 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  - 50^\circ  = 130^\circ$

Suy ra số đo cung nhỏ $AB$ là $130^\circ$; số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ  - 130^\circ  = 230^\circ$.

Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên  $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ$.

Mà tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {MOA} = 90^\circ  - \widehat {AMO} = 65^\circ$

Mà $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ$.

Vậy $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ.$

Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên  $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ$.

Mà tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {MOA} = 90^\circ  - \widehat {AMO} = 65^\circ$

Mà $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ$.

Vậy $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên $OM$ là tia phân giác của góc $\widehat {AOB}$

Suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ  = 120^\circ$ mà $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm chắn cung $AB$

Nên số đo cung nhỏ $AB$ là $120^\circ$.

Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ ta có $\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ .$

Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ ta có $\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ .$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$ ta có $\sin \widehat {MOI} = \dfrac{{MI}}{{MO}} = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}:R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOI} = 60^\circ$

$\Delta MON$ cân tại $O$ có $OI$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\widehat {MON} = 2\widehat {MOI} = 2.60^\circ  = 120^\circ$

Suy ra số đo cung nhỏ $MN$ là $120^\circ$.

Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $\Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$

$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}}$$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}}  =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$

Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $\Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$

$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}}$$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}}  =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$

Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 40^\circ  \Rightarrow \widehat {KBO} = \widehat {ICO} = 70^\circ$

Xét tam giác $OKB$cân tại $O$ có $\widehat {KBO} = 70^\circ  \Rightarrow \widehat {KOB} = 180^\circ  - 2.70^\circ  = 40^\circ$

Tương tự ta có $\widehat {IOC} = 40^\circ$

Suy ra $\widehat {IOK} = 180^\circ  - 40^\circ  - 40^\circ  = 100^\circ$

Xét các tam giác $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$

Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$

Xét  hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IB = CK$

Suy ra $\Delta COK = \Delta IOB\left( {c - c - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {COK} = \widehat {IOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CK$ và $BI$ bằng nhau.

Xét các tam giác $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$

Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$

Xét  hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IB = CK$

Suy ra $\Delta COK = \Delta IOB\left( {c - c - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {COK} = \widehat {IOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CK$ và $BI$ bằng nhau.

Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên  $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ$.

Mà tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {MOA} = 90^\circ  - \widehat {AMO} = 65^\circ$

Mà $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ$.

Vậy $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ.$

Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ ta có $\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ .$

Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $\Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$

$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}}$$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}}  =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$

Xét các tam giác $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$

Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$

Xét  hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IB = CK$

Suy ra $\Delta COK = \Delta IOB\left( {c - c - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {COK} = \widehat {IOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CK$ và $BI$ bằng nhau.

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360^0}$ và số đo của cung nhỏ (có chung $2$  mút với cung lớn).

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau