Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) vẽ góc ở tâm \(\widehat {AOC} = 60^\circ \) . Vẽ dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) và dây \(DE\) song song với \(AB.\) Tính số đo cung nhỏ \(BE\)
Xét $\left( O \right)$ có $CD \bot OA;ED{\rm{//}}OA \Rightarrow CD \bot ED$ hay $\widehat {EDC} = 90^\circ $ mà $E;D;C \in \left( O \right)$ nên $EC$ là đường kính của $\left( O \right)$ hay $E;O;C$ thẳng hàng.
Do đó $\widehat {BOE} = \widehat {COA} = 60^\circ $ (đối đỉnh) nên số đo cung nhỏ $BE$ là $60^\circ $.
Số đo cung \(AB\) nhỏ và số đo cung \(AB\) lớn lần lượt là
Xét tứ giác $OAMB$ có
$\widehat {BOA} + \widehat {OBM} + \widehat {OAM} + \widehat {AMB} = 360^\circ \Rightarrow \widehat {BOA} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ $
Suy ra số đo cung nhỏ $AB$ là $130^\circ $; số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ - 130^\circ = 230^\circ $.
Tính \(\widehat {AMO}\) và \(\widehat {BOM}\)
Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ $.
Mà tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {MOA} = 90^\circ - \widehat {AMO} = 65^\circ $
Mà $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ $.
Vậy $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ. $
Tính \(\widehat {AMO}\) và \(\widehat {BOM}\)
Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ $.
Mà tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {MOA} = 90^\circ - \widehat {AMO} = 65^\circ $
Mà $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ $.
Vậy $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ. $
Số đo cung \(AB\) nhỏ là
Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên $OM$ là tia phân giác của góc $\widehat {AOB}$
Suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ = 120^\circ $ mà $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm chắn cung \(AB\)
Nên số đo cung nhỏ \(AB\) là $120^\circ $.
Số đo góc $\widehat {AOM}$ là
Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ ta có $\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ .$
Số đo góc $\widehat {AOM}$ là
Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ ta có $\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ .$
Tính số đo cung nhỏ $MN.$
Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$ ta có $\sin \widehat {MOI} = \dfrac{{MI}}{{MO}} = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}:R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOI} = 60^\circ $
$\Delta MON$ cân tại $O$ có $OI$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\widehat {MON} = 2\widehat {MOI} = 2.60^\circ = 120^\circ $
Suy ra số đo cung nhỏ $MN$ là $120^\circ $.
Tính độ dài \(OI\) theo $R$ .
Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $ \Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$
Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$
$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}} $$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}} =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$
Tính độ dài \(OI\) theo $R$ .
Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $ \Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$
Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$
$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}} $$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}} =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$
Tính $\widehat {IOK}$ biết $\widehat {BAC} = 40^\circ $
Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 40^\circ \Rightarrow \widehat {KBO} = \widehat {ICO} = 70^\circ $
Xét tam giác $OKB$cân tại $O$ có $\widehat {KBO} = 70^\circ \Rightarrow \widehat {KOB} = 180^\circ - 2.70^\circ = 40^\circ $
Tương tự ta có $\widehat {IOC} = 40^\circ $
Suy ra $\widehat {IOK} = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ $
So sánh các cung nhỏ $BI$ và cung nhỏ $CK$
Xét các tam giác $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$
Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$
Xét hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)
$ \Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IB = CK$
Suy ra $\Delta COK = \Delta IOB\left( {c - c - c} \right)$$ \Rightarrow \widehat {COK} = \widehat {IOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CK$ và $BI$ bằng nhau.
So sánh các cung nhỏ $BI$ và cung nhỏ $CK$
Xét các tam giác $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$
Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$
Xét hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)
$ \Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IB = CK$
Suy ra $\Delta COK = \Delta IOB\left( {c - c - c} \right)$$ \Rightarrow \widehat {COK} = \widehat {IOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CK$ và $BI$ bằng nhau.
Tính \(\widehat {AMO}\) và \(\widehat {BOM}\)
Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; $MO$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMB} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ $.
Mà tam giác $OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến) nên $\widehat {MOA} = 90^\circ - \widehat {AMO} = 65^\circ $
Mà $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ $.
Vậy $\widehat {AMO} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ. $
Số đo góc $\widehat {AOM}$ là
Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ ta có $\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ .$
Tính độ dài \(OI\) theo $R$ .
Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $ \Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$
Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$
$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}} $$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}} =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$
So sánh các cung nhỏ $BI$ và cung nhỏ $CK$
Xét các tam giác $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ có $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$ và $I;K \in \left( O \right)$
Nên $\Delta IBC$ vuông tại $I$ và $\Delta KBC$ vuông tại $K$
Xét hai tam giác vuông $\Delta IBC$ và .$\Delta KBC$ ta có $BC$ chung; $\widehat {ABC} = \widehat {ABC}$ (do$\Delta ABC$ cân)
$ \Rightarrow \Delta IBC = \Delta KCB\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow IB = CK$
Suy ra $\Delta COK = \Delta IOB\left( {c - c - c} \right)$$ \Rightarrow \widehat {COK} = \widehat {IOB}$ suy ra số đo hai cung nhỏ $CK$ và $BI$ bằng nhau.
Chọn khẳng định đúng. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung lớn bằng
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \({360^0}\) và số đo của cung nhỏ (có chung $2$ mút với cung lớn).
Chọn câu đúng. Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau,
Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau