Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ

Ta có chu vi đáy \(C = 2\pi R = 8\pi  \Rightarrow R = 4\)

Thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h = \pi {.4^2}.10 = 160\pi \) (đvtt).

Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.5 = 40\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có diện tích toàn phần của hình trụ ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{2d}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 564\pi $

\( \Leftrightarrow 16\pi h + 2\pi {.8^2} = 564\pi  \Rightarrow h = 27,25\,cm\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.6 = 36\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có chu vi đáy \(C = 2\pi R = 10\pi  \Rightarrow R = 5\)

Thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h = \pi {.5^2}.11 = 275\pi \) (đvtt).

Ta có diện tích toàn phần của hình trụ 

\( \Leftrightarrow 24\pi h + 2\pi {.12^2} = 672\pi  \Rightarrow h = 16\,cm\)

Chiều cao mới của hình trụ là \(h' = \dfrac{h}{9}\) ; bán kính đáy mới là \(R' = 3R\)

Hình trụ mới có :

Chu vi đáy \(2\pi R' = 2\pi .3R = 6\pi R = 3.2\pi R = 3C\)  nên phương án D sai.

Diện tích toàn phần \(2\pi R'h + 2\pi {R'^2} = 2\pi 3R\dfrac{h}{9} + 2\pi .\left( {3R} \right) = \dfrac{{2\pi Rh}}{3} + 6\pi R \ne 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)  nên phương án B sai.

Thể tích \(\pi {R'^2}h' = \pi {\left( {3R} \right)^2}\dfrac{h}{9} = 9\pi {R^2}\dfrac{h}{9} = \pi {R^2}h\) nên phương án A  đúng.

Diện tích xung quanh \(2\pi R'h' = 2\pi .3R.\dfrac{h}{9} = \dfrac{{2\pi Rh}}{3} \ne 2\pi Rh\) nên phương án C sai.

Bán kính đường tròn đáy \(R = \dfrac{6}{2} = 3\,cm\)  nên diện tích một đáy là \(S_đ=\pi.R^2=9\pi\,(cm^2)\)

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.10 = 60\pi \,c{m^2}\)

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích toàn phần của hộp sữa là \({S_{tp}} = 9\pi  + 60\pi  = 69\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Bán kính \(R\) của đường tròn đáy là \(\pi {R^2} = 36\pi  \Rightarrow R = 6\,cm\)

Diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .6.8 = 96\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì trục lăn \(10\) vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là \(10.96\pi  = 960\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Phần hình trụ bị cắt đi chiếm \(\dfrac{{60^\circ }}{{360^\circ }} = \dfrac{1}{6}\) (hình trụ)

Thể tích phần còn lại là \(V = \dfrac{5}{6}\pi {R^2}h = \dfrac{5}{6}\pi {.5^2}.9 = 187,5\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Từ giả thiết ta có \(2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 3.2.\pi Rh \Rightarrow 2Rh = {R^2} \Rightarrow h = \dfrac{R}{2} = 2cm\) . Vậy chiều cao của hình trụ là \(2\,cm\) .

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt  là \(R,\,\,h\,\,\left( {R > 0;\,h > 0} \right)\)

Ta có \(8 = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \dfrac{8}{{\pi {R^2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\dfrac{8}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \dfrac{{16}}{R} + 2\pi {R^2}\)

\( = \dfrac{8}{R} + \dfrac{8}{R} + 2\pi {R^2}\mathop  \ge \limits_{\cos i} 3\sqrt[3]{{\dfrac{8}{R}.\dfrac{8}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi 64}} = 12\sqrt[3]{{2\pi }}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{8}{R} = 2\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{4}{\pi }}}\)

Vậy với \(R = \sqrt[3]{{\dfrac{4}{\pi }}}\) thì \({S_{tp}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(12\sqrt[3]{{2\pi }}\).

Chiều cao mới của hình trụ là \(h' = 2h\) ; bán kính đáy mới là \(R' = \dfrac{R}{2}\)

Hình trụ mới có :

Chu vi đáy \(2\pi R' = 2\pi \dfrac{R}{2} = \pi R < 2\pi R = C\)  nên phương án D sai.

Diện tích toàn phần \(2\pi R'h + 2\pi {R'^2} = 2\pi Rh + \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} \ne 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)  nên phương án B sai.

Thể tích \(\pi {R'^2}h = \dfrac{{\pi {R^2}h}}{4} \ne \pi {R^2}h\) nên phương án A  sai.

Diện tích xung quanh \(2\pi R'h = 2\pi .\dfrac{R}{2}.2h = 2\pi Rh\) nên phương án C đúng.

Bán kính đường tròn đáy \(R = \dfrac{8}{2} = 4\,cm\)  nên diện tích một đáy ${S_d} = \pi {R^2} = 16\pi \,(c{m^2})$

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.12 = 96\pi \,(c{m^2})$

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích xung quanh của hộp sữa \({S_{tp}} = 96\pi  + 16\pi  = 112\pi \,\left( {c{m^2}} \right).\)

Bán kính \(R\) của đường tròn đáy là \(\pi {R^2} = 25\pi  \Rightarrow R = 5\,cm\)

Diện tích xung quanh của hình trụ

\({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .5.10 = 100\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Vì trục lăn \(12\) vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là \(12.100\pi  = 1200\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(HB.HC = A{H^2} \Leftrightarrow HB.HC = 144\) và \(HB + HC = BC \Leftrightarrow HB + HC = 25\)

Suy ra \(HB = 9\,cm;\,HC = 16\,cm\) (Chú ý: $AB < AC$ nên $HB < HC$).

Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(\dfrac{1}{{H{D^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{B^2}}} \Rightarrow HD = \dfrac{{36}}{5}\,cm\)

Tương tự ta có $HE = \dfrac{{48}}{5}cm \Rightarrow AD = \dfrac{{48}}{5}\,cm$.

Khi quay hình chữ nhật \(ADHE\) quanh \(AD\) ta được hình trụ có chiều cao \(AD\) và bán kính đáy \(HD\).

Nên ${S_{xq}} = 2.\pi HD.AD = \dfrac{{3456}}{{25}}\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Xét \(\left( O \right)\) có $\widehat {CAD} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\left( K \right)\) có \(\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)\( \Rightarrow \) phương án A đúng.

Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(A{H^2} = AD.AB \Rightarrow \) phương án C đúng

Xét tam giác vuông \(A{H^2} = AC.AE\)  nên \(AD.AB = AC.AE \Rightarrow \) phương án B đúng

Xét \(\left( O \right)\) có $\widehat {CAD} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\left( K \right)\) có \(\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)\( \Rightarrow \) phương án A đúng.

Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(A{H^2} = AD.AB \Rightarrow \) phương án C đúng

Xét tam giác vuông \(A{H^2} = AC.AE\)  nên \(AD.AB = AC.AE \Rightarrow \) phương án B đúng

Xét \(\left( O \right)\) có $\widehat {CAD} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\left( K \right)\) có \(\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)\( \Rightarrow \) phương án A đúng.

Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(A{H^2} = AD.AB \Rightarrow \) phương án C đúng

Xét tam giác vuông \(A{H^2} = AC.AE\)  nên \(AD.AB = AC.AE \Rightarrow \) phương án B đúng

Từ giả thiết ta có \(2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2.2.\pi Rh \Rightarrow Rh = {R^2} \Rightarrow R = h\) . Vậy chiều cao của hình trụ là$3\,cm$ .