Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ

Ta có chu vi đáy $C = 2\pi R = 8\pi  \Rightarrow R = 4$

Thể tích hình trụ là $V = \pi {R^2}h = \pi {.4^2}.10 = 160\pi$ (đvtt).

Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.5 = 40\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Ta có diện tích toàn phần của hình trụ ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{2d}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 564\pi$

$\Leftrightarrow 16\pi h + 2\pi {.8^2} = 564\pi  \Rightarrow h = 27,25\,cm$

Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.6 = 36\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Ta có chu vi đáy $C = 2\pi R = 10\pi  \Rightarrow R = 5$

Thể tích hình trụ là $V = \pi {R^2}h = \pi {.5^2}.11 = 275\pi$ (đvtt).

Ta có diện tích toàn phần của hình trụ 

$\Leftrightarrow 24\pi h + 2\pi {.12^2} = 672\pi  \Rightarrow h = 16\,cm$

Chiều cao mới của hình trụ là $h' = \dfrac{h}{9}$ ; bán kính đáy mới là $R' = 3R$

Hình trụ mới có :

Chu vi đáy $2\pi R' = 2\pi .3R = 6\pi R = 3.2\pi R = 3C$  nên phương án D sai.

Diện tích toàn phần $2\pi R'h + 2\pi {R'^2} = 2\pi 3R\dfrac{h}{9} + 2\pi .\left( {3R} \right) = \dfrac{{2\pi Rh}}{3} + 6\pi R \ne 2\pi Rh + 2\pi {R^2}$  nên phương án B sai.

Thể tích $\pi {R'^2}h' = \pi {\left( {3R} \right)^2}\dfrac{h}{9} = 9\pi {R^2}\dfrac{h}{9} = \pi {R^2}h$ nên phương án A  đúng.

Diện tích xung quanh $2\pi R'h' = 2\pi .3R.\dfrac{h}{9} = \dfrac{{2\pi Rh}}{3} \ne 2\pi Rh$ nên phương án C sai.

Bán kính đường tròn đáy $R = \dfrac{6}{2} = 3\,cm$  nên diện tích một đáy là $S_đ=\pi.R^2=9\pi\,(cm^2)$

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.10 = 60\pi \,c{m^2}$

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích toàn phần của hộp sữa là ${S_{tp}} = 9\pi  + 60\pi  = 69\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$

Bán kính $R$ của đường tròn đáy là $\pi {R^2} = 36\pi  \Rightarrow R = 6\,cm$

Diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .6.8 = 96\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$

Vì trục lăn $10$ vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là $10.96\pi  = 960\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$

Phần hình trụ bị cắt đi chiếm $\dfrac{{60^\circ }}{{360^\circ }} = \dfrac{1}{6}$ (hình trụ)

Thể tích phần còn lại là $V = \dfrac{5}{6}\pi {R^2}h = \dfrac{5}{6}\pi {.5^2}.9 = 187,5\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Từ giả thiết ta có $2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 3.2.\pi Rh \Rightarrow 2Rh = {R^2} \Rightarrow h = \dfrac{R}{2} = 2cm$ . Vậy chiều cao của hình trụ là $2\,cm$ .

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt  là $R,\,\,h\,\,\left( {R > 0;\,h > 0} \right)$

Ta có $8 = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \dfrac{8}{{\pi {R^2}}}$

Diện tích toàn phần của hình trụ ${S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\dfrac{8}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \dfrac{{16}}{R} + 2\pi {R^2}$

$= \dfrac{8}{R} + \dfrac{8}{R} + 2\pi {R^2}\mathop  \ge \limits_{\cos i} 3\sqrt[3]{{\dfrac{8}{R}.\dfrac{8}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi 64}} = 12\sqrt[3]{{2\pi }}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{8}{R} = 2\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{4}{\pi }}}$

Vậy với $R = \sqrt[3]{{\dfrac{4}{\pi }}}$ thì ${S_{tp}}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $12\sqrt[3]{{2\pi }}$.

Chiều cao mới của hình trụ là $h' = 2h$ ; bán kính đáy mới là $R' = \dfrac{R}{2}$

Hình trụ mới có :

Chu vi đáy $2\pi R' = 2\pi \dfrac{R}{2} = \pi R < 2\pi R = C$  nên phương án D sai.

Diện tích toàn phần $2\pi R'h + 2\pi {R'^2} = 2\pi Rh + \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} \ne 2\pi Rh + 2\pi {R^2}$  nên phương án B sai.

Thể tích $\pi {R'^2}h = \dfrac{{\pi {R^2}h}}{4} \ne \pi {R^2}h$ nên phương án A  sai.

Diện tích xung quanh $2\pi R'h = 2\pi .\dfrac{R}{2}.2h = 2\pi Rh$ nên phương án C đúng.

Bán kính đường tròn đáy $R = \dfrac{8}{2} = 4\,cm$  nên diện tích một đáy ${S_d} = \pi {R^2} = 16\pi \,(c{m^2})$

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .4.12 = 96\pi \,(c{m^2})$

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích xung quanh của hộp sữa ${S_{tp}} = 96\pi  + 16\pi  = 112\pi \,\left( {c{m^2}} \right).$

Bán kính $R$ của đường tròn đáy là $\pi {R^2} = 25\pi  \Rightarrow R = 5\,cm$

Diện tích xung quanh của hình trụ

${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .5.10 = 100\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Vì trục lăn $12$ vòng nên diện tích tạo trên sân phẳng là $12.100\pi  = 1200\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$

Xét tam giác vuông $ABC$ có $HB.HC = A{H^2} \Leftrightarrow HB.HC = 144$ và $HB + HC = BC \Leftrightarrow HB + HC = 25$

Suy ra $HB = 9\,cm;\,HC = 16\,cm$ (Chú ý: $AB < AC$ nên $HB < HC$).

Xét tam giác vuông $AHB$ có $\dfrac{1}{{H{D^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{B^2}}} \Rightarrow HD = \dfrac{{36}}{5}\,cm$

Tương tự ta có $HE = \dfrac{{48}}{5}cm \Rightarrow AD = \dfrac{{48}}{5}\,cm$.

Khi quay hình chữ nhật $ADHE$ quanh $AD$ ta được hình trụ có chiều cao $AD$ và bán kính đáy $HD$.

Nên ${S_{xq}} = 2.\pi HD.AD = \dfrac{{3456}}{{25}}\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {CAD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\left( K \right)$ có $\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)$\Rightarrow$ phương án A đúng.

Xét tam giác vuông $AHB$ có $A{H^2} = AD.AB \Rightarrow$ phương án C đúng

Xét tam giác vuông $A{H^2} = AC.AE$  nên $AD.AB = AC.AE \Rightarrow$ phương án B đúng

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {CAD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\left( K \right)$ có $\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)$\Rightarrow$ phương án A đúng.

Xét tam giác vuông $AHB$ có $A{H^2} = AD.AB \Rightarrow$ phương án C đúng

Xét tam giác vuông $A{H^2} = AC.AE$  nên $AD.AB = AC.AE \Rightarrow$ phương án B đúng

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {CAD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\left( K \right)$ có $\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)$\Rightarrow$ phương án A đúng.

Xét tam giác vuông $AHB$ có $A{H^2} = AD.AB \Rightarrow$ phương án C đúng

Xét tam giác vuông $A{H^2} = AC.AE$  nên $AD.AB = AC.AE \Rightarrow$ phương án B đúng

Từ giả thiết ta có $2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2.2.\pi Rh \Rightarrow Rh = {R^2} \Rightarrow R = h$ . Vậy chiều cao của hình trụ là$3\,cm$ .