Tìm tọa độ điểm \(B\) thuộc \(\left( \Delta \right)\) sao cho \(AB\) vuông góc với \(\left( \Delta \right)\).
Vì đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\) nên gọi phương trình đường thẳng \(AB\)có hệ số góc \(k\):
\(y = k\left( {x + 1} \right) + 2.\)
Mà \(AB \bot \left( \Delta \right) = B\) nên suy ra: \(k.\left( { - 4} \right) = - 1\, \Rightarrow k = \dfrac{1}{4}\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(y = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right) + 2\) hay \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{9}{4}.\)
Khi đó tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{9}{4}\\y = - 4x + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{5}{{17}}\\y = \dfrac{{37}}{{17}}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 5}}{{17}};\dfrac{{37}}{{17}}} \right)\)
Vậy \(B\left( {\dfrac{{ - 5}}{{17}};\dfrac{{37}}{{17}}} \right).\)
Tìm điểm cố định đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua với mọi \(m\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \left( {m - 2} \right)x + m\\ \Leftrightarrow y = mx - 2x + m\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)m - 2x - y = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để phương trình (*) nghiệm đúng với mọi \(m\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\ - 2x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\).
Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\) với mọi \(m\).
Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) song song với \(\left( \Delta \right)\).
Để \(\left( d \right)\) song song với \(\left( \Delta \right)\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = - 4\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow m = - 2.\)
Vậy \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu.
Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) song song với \(\left( \Delta \right)\).
Để \(\left( d \right)\) song song với \(\left( \Delta \right)\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = - 4\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow m = - 2.\)
Vậy \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu.
Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(1.\)
Điều kiện: \(m \ne 0.\)
+) Với \(y = 0 \Rightarrow mx - 2 = 0 \Rightarrow mx = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{m}\)
\( \Rightarrow \left( {{d_m}} \right):y = mx - 2\) với cắt \(Ox\) tại điểm \(A\left( {\dfrac{2}{m};\,\,0} \right).\)
+) Với \(x = 0 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow B\left( {0;\,\, - 2} \right)\) là giao của \(\left( {{d_m}} \right)\) và \(Oy.\)
Khi đó diện tích của tam giác sẽ là:
\(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{2}{m}} \right|.\left| { - 2} \right| = \dfrac{2}{{\left| m \right|}} = 1\\ \Leftrightarrow \left| m \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(m = 2\) hoặc \(m = - 2\) thì đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.
Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\)
Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) nên ta thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) ta được: \(2 = m.1 - 2 \Rightarrow m = 4\)
Khi \(m = 4\) đường thẳng có phương trình \(y = 4x - 2\)
Xác định \(m\) để hàm số \(y = mx - 2\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) đồng biến.
Hàm số \(y = mx - 2\) đồng biến\( \Leftrightarrow m > 0\)
Vậy \(m > 0.\)
Chọn A.
Xác định \(m\) để hàm số \(y = mx - 2\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) đồng biến.
Hàm số \(y = mx - 2\) đồng biến\( \Leftrightarrow m > 0\)
Vậy \(m > 0.\)
Chọn A.
Tìm các giá trị của \(m\) và của \(n\) để hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) cùng đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right).\)
Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cùng đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\) nên ta thay tọa độ điểm A vào hai phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = \left( {m - 2} \right).1 + m + 4\\0 = \left( {n + 1} \right).1 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 + m + 4 = 0\\n + 1 - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = - 2\\n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(m = - 1;n = 2\).
Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số có đồ thị \({d_1}\) luôn nghịch biến và điều kiện của \(n\) để hàm số có đồ thị \({d_2}\) luôn đồng biến.
Hàm số có đồ thị \({d_1}:y = \left( {m - 2} \right)x + m + 4\) luôn nghịch biến \( \Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\)
Hàm số có đồ thị \({d_2}:y = \left( {n + 1} \right)x - 3\) luôn đồng biến \( \Leftrightarrow n + 1 > 0 \Rightarrow n > - 1\)
Vậy \(m < 2\) thì hàm số có đồ thị \({d_1}\) luôn nghịch biến.
\(n > - 1\) thì hàm số có đồ thị \({d_2}\) luôn đồng biến.
Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số có đồ thị \({d_1}\) luôn nghịch biến và điều kiện của \(n\) để hàm số có đồ thị \({d_2}\) luôn đồng biến.
Hàm số có đồ thị \({d_1}:y = \left( {m - 2} \right)x + m + 4\) luôn nghịch biến \( \Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\)
Hàm số có đồ thị \({d_2}:y = \left( {n + 1} \right)x - 3\) luôn đồng biến \( \Leftrightarrow n + 1 > 0 \Rightarrow n > - 1\)
Vậy \(m < 2\) thì hàm số có đồ thị \({d_1}\) luôn nghịch biến.
\(n > - 1\) thì hàm số có đồ thị \({d_2}\) luôn đồng biến.
“Đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b\,(a \ne 0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ... và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ...” . Trong dấu “…” lần lượt là?
Đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục hoành $ \Rightarrow y = 0 \Rightarrow {\rm{ax}} + b = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{b}{a}$
ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục tung $ \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = {\rm{a}}{\rm{.0}} + b \Rightarrow y = b$
Vậy đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b\,(a \ne 0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\dfrac{b}{a}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b$.
Điểm nào sau đây thuộc ĐTHS $y = 2{\rm{x}} + 1$:
Đáp án A: Thay $ x_0=0;y_0=1$ vào hàm số, ta có $ 2.0 + 1 = 1 \Rightarrow (0;1)$ thuộc ĐTHS đã cho.
Với giá trị nào của $m$ thì điểm $\left( {1;2} \right)$ thuộc đường thẳng $x - y = m$?
Điểm $(1;2)$ thuộc ĐTHS $x - y = m \Leftrightarrow 1 - 2 = m \Leftrightarrow - 1 = m$.
Điểm $\left( { - 2;3} \right)$ thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau:
Ta có $3( - 2) - 2.3 = - 12 \ne 3$=> loại A
$3( - 2) - 3 = - 9 \ne 0$ => loại B
$0( - 2) + 3 = 3$
Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
Ta có điểm $O\left( {0\;;0} \right)$ thuộc đường thẳng $y = (3 - m)x + m + 3 \Leftrightarrow (3-m).0+m + 3 = 0 $$\Leftrightarrow m+3=0\Leftrightarrow m = - 3$
Cho $3$ đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = \left( {m + 2} \right)x - 3m;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = 2x + 4\;;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = - 3x - 1.$ Giá trị của $m$ để $3$ đường thẳng trên đồng quy là :
Xét phương trình hoành độ giao điểm $A$ của $\left( {d'} \right)$ và $\left( {d''} \right)$:
$\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4 = - 3x - 1}\\{ \Leftrightarrow 5x = - 5}\\{ \Leftrightarrow x = - 1}\\{ \Rightarrow y = 2\left( { - 1} \right) + 4 = 2}\\{ \Rightarrow A\left( { - 1;2} \right)}\end{array}$
Để $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy thì $A\left( { - 1;2} \right) \in \left( d \right)$
$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 2 = \left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) - 3m}\\{ \Leftrightarrow 2 = - 2 - 4m}\\{ \Leftrightarrow 4m = - 4}\\{ \Leftrightarrow m = - 1}\end{array}$
Vậy khi $m = - 1$ thì $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy tại $A\left( { - 1;2} \right)$.
Cho $3$ điểm $A(0;3),B(2;2);C(m + 3;m)$. Giá trị của $m$ để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng là:
Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ là đường thẳng đi qua $A$ và $B$.
$\begin{array}{l}A(0;3) \in d \Leftrightarrow a.0 + b = 3 \Leftrightarrow b = 3\\B(2;2) \in d \Leftrightarrow a.2 + b = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow d:y = - \dfrac{1}{2}x + 3\end{array}$
Để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $C(m + 3;m) \in (d):y = - \dfrac{1}{2}x + 3$
$ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\left( {m + 3} \right) + 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m = 1$.
Vậy $m = 1$.
Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = x + 3;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = - x + 1;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = \sqrt 3 x - m - 2$ đồng quy.
$d:y = x + 3;d':y = - x + 1;d'':y = \sqrt 3 x - m - 2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $x + 3 = - x + 1 \Leftrightarrow 2x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$
Do đó $d$ và $d'$ cắt nhau tại điểm $\left( { - 1;2} \right)$.
Điểm $A( - 1;2) \in d'':y = \sqrt 3 x - m - 2 $$\Leftrightarrow 2 = \sqrt 3 .\left( { - 1} \right) - m - 2 $$\Leftrightarrow m = - 4 - \sqrt 3 $
Vậy $m = - 4 - \sqrt 3 $.
Giá trị của $m$ để đường thẳng $y = (m - 1)x - m$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là $1 + \sqrt 2 $ là:
Đồ thị hàm số $y = (m - 1)x - m$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là $1 + \sqrt 2 $
$ \Rightarrow - m = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow m = - 1 - \sqrt 2 $