Tổng hợp câu hay và khó chương 1

Ta có $P = \dfrac{{2\sqrt 6  + \sqrt 3  + 4\sqrt 2  + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6  + \sqrt {12}  + \sqrt {18} } \right)} }}$

$= \dfrac{{\left( {\sqrt 6  + 3 + 3\sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3  + \sqrt 2 .\sqrt 6  + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}$

$= \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right) + \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3  + \sqrt 2 .\sqrt 6  + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}$

$= \dfrac{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)}^2}} }}$

$= \dfrac{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 6 }}$

$= \sqrt 3  + 1.$

Vậy $P = \sqrt 3  + 1$ .

Ta có $A = \sqrt x  - \sqrt {x - \sqrt x  + \dfrac{1}{4}}  = \sqrt x  - \sqrt {{{\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt x  - \left| {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right|$

+ Nếu $\sqrt x  \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}$ thì $\left| {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right| = \sqrt x  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}$.

+ Nếu $\sqrt x  < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le x < \dfrac{1}{4}$ thì $\left| {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right| =  - \sqrt x  + \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = 2\sqrt x  - \dfrac{1}{2}$

Vậy $A = \dfrac{1}{2}$ hoặc $A = 2\sqrt x  - \dfrac{1}{2}.$

Ta có:

$B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} }  + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} }  = \sqrt {4x - 1 - 2\sqrt {4x - 1}  + 1}  + \sqrt {4x - 1 + 2\sqrt {4x - 1}  + 1}$

$B = \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1}  - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1}  + 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt {4x - 1}  - 1} \right| + \left| {\sqrt {4x - 1}  + 1} \right|$

$= \left| {\sqrt {4x - 1}  - 1} \right| + \sqrt {4x - 1}  + 1$

Với $\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 1 \le 4x \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 4x - 1 \le 1$

Từ đó $\left| {\sqrt {4x - 1}  - 1} \right| =  - \sqrt {4x - 1}  + 1$ suy ra $B =  - \sqrt {4x - 1}  + 1 + \sqrt {4x - 1}  + 1 = 2$.

Do đó $B > 1.$

Ta có $Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} \cdot \dfrac{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{y}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{{x^2} - {x^2} + {y^2}}}{{y\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {x - y} } \right)}^2}}}{{\sqrt {x + y} .\sqrt {x - y} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\end{array}$

Vậy $Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}$ với $x > y > 0$

Theo câu trước ta có $Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}$ với $x > y > 0$

Thay $x = 3y$ (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được:

$Q = \dfrac{{\sqrt {3y - y} }}{{\sqrt {3y + y} }} = \dfrac{{\sqrt {2y} }}{{\sqrt {4y} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vậy $Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ khi $x = 3y$.

Ta có $Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} \cdot \dfrac{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{y}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{{x^2} - {x^2} + {y^2}}}{{y\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {x - y} } \right)}^2}}}{{\sqrt {x + y} .\sqrt {x - y} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\end{array}$

Vậy $Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}$ với $x > y > 0$

Ta có $Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} \cdot \dfrac{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{y}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{{x^2} - {x^2} + {y^2}}}{{y\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {x - y} } \right)}^2}}}{{\sqrt {x + y} .\sqrt {x - y} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\end{array}$

Vậy $Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}$ với $x > y > 0$

+ Điều kiện để biểu thức $A$ xác định là $x > 4$.

+ Nhận thấy:

$\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {\left( {x - 4} \right) + 2.2\sqrt {x - 4}  + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  + 2} \right)}^2}}$$= \left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| = \sqrt {x - 4}  + 2.$

$\sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {\left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4}  + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)}^2}}$$= \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|$

$\sqrt {{x^2} - 8x + 16}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}}  = \left| {x - 4} \right|$

Từ đó:

$A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} =$$\dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}$

+ Nếu $4 < x < 8$ thì $\sqrt {x - 4}  - 2 < 0$ nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$

Do $4 < x < 8$ nên $0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8$.

+ Nếu $x \ge 8$ thì $\sqrt {x - 4}  - 2 \ge 0$ nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + \sqrt {x - 4}  - 2} \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4}  + \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16}  = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4}  = \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.

Vậy GTNN của $A$ bằng $8$ khi $x = 8$.

Ta có: $\dfrac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}$

Và $\dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}$

Từ đó: $A = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}:\dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\sqrt x }}$$= \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$

Vậy $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$ với điều kiện  $x > 0,\,\,x \ne 1$.

Điều kiện: $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$

$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{8\sqrt x  + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}$

Với điều kiện: $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$.

Ta có: $P =  - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} =  - 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x  - 3\sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {4\sqrt x  - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 1\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{{16}}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{9}{{16}}$  thì $P =  - 1.$

Theo câu trước ta có: $A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,$

+ Xét $4 < x < 8$ thì $A = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$, ta thấy $A \in Z$ khi và chỉ khi $\dfrac{{16}}{{x - 4}} \in Z \Leftrightarrow x - 4$ là ước số nguyên dương của $16$. Hay $x - 4 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\} \Leftrightarrow x = \left\{ {5;6;8;12;20} \right\}$ đối chiếu điều kiện suy ra: ${\rm{x}} = 5$ hoặc $x = 6$.

+ Xét $x \ge 8$ ta có: $A = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}$, đặt $\sqrt {x - 4}  = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {m^2} + 4\\m \ge 2\end{array} \right.$  (ở đây $m\in Z$ vì $x$ nguyên và $A$ nguyên), khi đó ta có: $A = \dfrac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \dfrac{8}{m}$ suy ra: $m \in \left\{ {2;4;8} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {8;20;68} \right\}$.

Tóm lại: Để $A$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \left\{ {5;6;8;20;68} \right\}$.

Vậy có $5$ giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

+ Điều kiện để biểu thức $A$ xác định là $x > 4$.

+ Nhận thấy:

$\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {\left( {x - 4} \right) + 2.2\sqrt {x - 4}  + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  + 2} \right)}^2}}$$= \left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| = \sqrt {x - 4}  + 2.$

$\sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {\left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4}  + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)}^2}}$$= \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|$

$\sqrt {{x^2} - 8x + 16}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}}  = \left| {x - 4} \right|$

Từ đó:

$A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} =$$\dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}$

+ Nếu $4 < x < 8$ thì $\sqrt {x - 4}  - 2 < 0$ nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$

Do $4 < x < 8$ nên $0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8$.

+ Nếu $x \ge 8$ thì $\sqrt {x - 4}  - 2 \ge 0$ nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + \sqrt {x - 4}  - 2} \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4}  + \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16}  = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4}  = \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.

Vậy GTNN của $A$ bằng $8$ khi $x = 8$.

+ Điều kiện để biểu thức $A$ xác định là $x > 4$.

+ Nhận thấy:

$\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {\left( {x - 4} \right) + 2.2\sqrt {x - 4}  + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  + 2} \right)}^2}}$$= \left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| = \sqrt {x - 4}  + 2.$

$\sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} }  = \sqrt {\left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4}  + 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)}^2}}$$= \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|$

$\sqrt {{x^2} - 8x + 16}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}}  = \left| {x - 4} \right|$

Từ đó:

$A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} =$$\dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}$

+ Nếu $4 < x < 8$ thì $\sqrt {x - 4}  - 2 < 0$ nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$

Do $4 < x < 8$ nên $0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8$.

+ Nếu $x \ge 8$ thì $\sqrt {x - 4}  - 2 \ge 0$ nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4}  + 2 + \sqrt {x - 4}  - 2} \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4}  + \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16}  = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4}  = \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.

Vậy GTNN của $A$ bằng $8$ khi $x = 8$.

Theo câu trước ta có: $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$, với điều kiện  $x > 0,\,\,x \ne 1$.

Để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}$ $\Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$

$\Leftrightarrow \sqrt x  \le \sqrt {2018}  \Rightarrow 0 < x \le 2018$

Kết hợp điều kiện: $x > 0,\,\,x \ne 1$ và $x$ nguyên nên $x \in \left\{ {2;3;4;...;2018} \right\}$. Suy ra có $2017$ giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bài toán.

Ta có: $\dfrac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}$

Và $\dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}$

Từ đó: $A = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}:\dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\sqrt x }}$$= \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$

Vậy $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$ với điều kiện  $x > 0,\,\,x \ne 1$.

Ta có: $\dfrac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{x + \sqrt x  - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}$

Và $\dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}$

Từ đó: $A = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}:\dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\sqrt x }}$$= \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$

Vậy $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$ với điều kiện  $x > 0,\,\,x \ne 1$.

Ta có $P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}$  với $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$

Khi đó

$\forall x > 9:m\left( {\sqrt x  - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x  - 3} \right).\dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} > x + 1 \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \dfrac{{x + 1}}{{4x}}$

Ta thấy $\dfrac{{x + 1}}{{4x}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4x}} < \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4.9}}$  với mọi $x > 9$  hay $\dfrac{{x + 1}}{{4x}} < \dfrac{5}{{18}}$

Vậy $m > \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}$ với mọi $x > 9$ .

Điều kiện: $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$

$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{8\sqrt x  + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}$

Với điều kiện: $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$.

Ta có: $P =  - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} =  - 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x  - 3\sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {4\sqrt x  - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 1\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{{16}}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{9}{{16}}$  thì $P =  - 1.$

Điều kiện: $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$

$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{8\sqrt x  + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}$

Với điều kiện: $x > 0,x \ne 4,x \ne 9$.

Ta có: $P =  - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\sqrt x  - 3}} =  - 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x  - 3\sqrt x  - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {4\sqrt x  - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 1\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{{16}}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{9}{{16}}$  thì $P =  - 1.$

+ Tính  giá trị $C.$

Vì $7 - 4\sqrt 3  = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  = 2 - \sqrt 3$

Suy ra $C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3  + 5\sqrt {8 + 10(2 - \sqrt 3 )} } }  = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3  + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } }$$= \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3  + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } } .$ Hay $C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3  + 5(5 - \sqrt 3 )} }  = \sqrt {9 - \sqrt {25} }  = \sqrt {9 - 5}  = \sqrt 4  = 2$

+ Tính giá trị $B.$

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right).$ Ta có:

$B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}$

Suy ra ${B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}$$= 1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).$

 Hay ${B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}.B$$\Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{84}}{{81}}}}B$$\Leftrightarrow {B^3} = 2 - B \Leftrightarrow {B^3} + B - 2 = 0$$\Leftrightarrow {B^3} - {B^2} + {B^2} - B + 2B - 2 = 0$$\Leftrightarrow {B^2}\left( {B - 1} \right) + B\left( {B - 1} \right) + 2\left( {B - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0$ mà ${B^2} + B + 2 = {\left( {B + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0$ suy ra $B = 1$.

Do đó ta có $C = 2;\,B = 1 \Rightarrow C = 2B.$