Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ${\rm{ax}} + by = c$ luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:{\rm{ }}ax + by = c.$

Ta có với $a \ne 0,b \ne 0$ thì $ax + by = c$$ \Leftrightarrow by =  - ax + c \Leftrightarrow y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$

Nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {x;\dfrac{{ - a}}{b}x + \dfrac{c}{b}} \right)|x \in \mathbb{R}} \right\}\)

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Phương trình $4x + 0y - 6 = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Thay $x =  - 3;y =  - 2$ vào từng phương trình ta được

+) $x + y =  - 3 + \left( { - 2} \right) =  - 5 \ne 2$ nên loại A.

+) $2x + y = 2\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) =  - 8 \ne 1$ nên loại B.

+) $x - 2y =  - 3 - 2.\left( { - 2} \right) = 1$ nên chọn C.

+) $5x + 2y + 12 = 5.\left( { - 3} \right) + 2.\left( { - 2} \right) + 12 =  - 7$ nên loại D.

Xét phương trình \(5x + 4y = 8\)

Cặp số \(\left( { - 2;1} \right)\) không phải nghiệm của phương trình vì \(5\left( { - 2} \right) + 4.1 =  - 6.\) Do đó loại A.

Cặp số \(\left( { - 1;0} \right)\) không phải nghiệm của phương trình vì \(5.\left( { - 1} \right) + 4.0 =  - 5.\) Do đó loại B.

Cặp số \(\left( {1,5;3} \right)\) không phải nghiệm của phương trình vì \(5.1,5 + 4.3 = 19,5.\) Do đó loại C

Cặp số \(\left( {4; - 3} \right)\) là nghiệm của phương trình vì \(5.4 + 4.\left( { - 3} \right) = 8.\) Do đó chọn D.

Thay $x =  - 10;y =  - 1$ vào phương trình $2x - {\left( {m - 2} \right)^2}y = 5$ ta được

$2.\left( { - 10} \right) - {\left( {m - 2} \right)^2}.\left( { - 1} \right) = 5 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 5\\m - 2 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\left( N \right)\\m =  - 3\left( L \right)\end{array} \right.$.

Vậy $m = 7$.

Ta có $0x + 4y =  - 16 \Leftrightarrow y =  - 4$

Nghiệm tổng quát của phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y =  - 4\end{array} \right.$

Xét phương trình \(3x + 5y =  - 3\)

Cặp số \(\left( { - 2;1} \right)\) không phải nghiệm của phương trình vì \(3\left( { - 2} \right) + 5.1 =  - 1.\)

Cặp số \(\left( {0;2} \right)\) không phải nghiệm của phương trình vì \(3.0 + 5.2 = 10.\)

Cặp số \(\left( { - 1;0} \right)\) là nghiệm của phương trình vì \(3.\left( { - 1} \right) + 5.0 =  - 3.\)

Cặp số \(\left( {1,5;3} \right)\) không phải nghiệm của phương trình vì \(3.1,5 + 5.3 = 19,5.\)

Cặp số \(\left( {4; - 3} \right)\) là nghiệm của phương trình vì \(3.4 + 5.\left( { - 3} \right) =  - 3.\)

Vậy có 2 cặp số không phải nghiệm của phương trình đã cho.

Để $d$ song song với trục hoành thì $\left\{ \begin{array}{l}5m - 15 = 0\\2m \ne 0\\m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$

Vậy $m = 3$.

Để $d$ song song với trục tung thì $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{m - 1}}{2} \ne 0\\1 - 2m = 0\\2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$

Vậy $m = \dfrac{1}{2}$.

Gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\)

Để $d$ đi qua gốc tọa độ thì tọa độ điểm \(O\) thỏa mãn phương trình $(2m - 4)x + (m - 1)y = m - 5$ hay

$(2m - 4).0 + (m - 1).0 = m - 5 \Leftrightarrow m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy $m = 5$.

Nhận thấy điểm \(\left( {3;0} \right);\left( { - 2;1} \right)\) thuộc đồ thị hay thuộc tập nghiệm của phương trình.

+) Xét đường thẳng  $3x - y = 2$. Thay \(x = 3;y = 0\) ta được \(3.3 - 0 = 9 \ne 2\) nên loại A

+) Xét đường thẳng  $x + 2y = 4$. Thay \(x = 3;y = 0\) ta được \(3 - 0 = 3 \ne 4\) nên loại B

+) Xét đường thẳng  $x + 5y = 3$. Thay \(x = 3;y = 0\) ta được \(3 + 5.0 = 3\); thay \(x =  - 2;y = 1\) vào phương trình ta được $ - 2 + 5.1 = 3$ nên chọn C.

+) Xét đường thẳng \(0x + 2y = 5 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{2}\) là đường thẳng song song với trục hoành nên loại D.

Ta thấy phương trình $7x + 14 = 0 \Leftrightarrow 7x =  - 14$ có $a = 7;b = 0$ và $c =  - 14 \ne 0$ nên biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng $7x =  - 14 \Leftrightarrow x =  - 2$ song song với trục tung.

Ta có \(5x - 3y = 8 \Rightarrow y = \dfrac{{5x - 8}}{3} = 2x - \dfrac{{x + 8}}{3}.\)

Đặt \(\dfrac{{x + 8}}{3} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow x = 3t - 8 \Rightarrow y = 2x - \dfrac{{x + 8}}{3} = 2\left( {3t - 8} \right) - t = 5t - 16 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 5t - 16\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có \(3x + 4y =  - 10 \Leftrightarrow 3x =  - 4y - 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 4y - 10}}{3} \Leftrightarrow x =  - y - \dfrac{{y + 10}}{3}\)

Đặt \(\dfrac{{y + 10}}{3} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 3t - 10 \Rightarrow x =  - \left( {3t - 10} \right) - t =  - 4t + 10\)

Hay nghiệm nguyên của phương trình $3x + 4y =  - 10$ là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4t + 10\\y = 3t - 10\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì \(x;y\) nguyên âm hay \(x < 0;y < 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 4t + 10 < 0\\3t - 10 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > 2,25\\t < \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\) mà \(t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t = 3\)

Suy ra \(x =  - 4.3 + 10 =  - 2;y = 3.3 - 10 =  - 1\) nên nghiệm nguyên âm cần tìm là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow x.y = 2\)

Ta có \(6x - 7y = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{{7y + 5}}{6} \Leftrightarrow x = y + \dfrac{{y + 5}}{6}\)

Đặt \(\dfrac{{y + 5}}{6} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow y = 6t - 5 \Rightarrow x = y + \dfrac{{y + 5}}{6} = 6t - 5 + t = 7t - 5\)

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 7t - 5\\y = 6t - 5\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên dương nên $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t - 5 > 0\\6t - 5 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > \dfrac{5}{7}\\t > \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow t > \dfrac{5}{7}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \ge 1$.

Do đó, nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình có được khi \(t = 1  \) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7.1 - 5\\y = 6.1 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow x - y =  1$.

Đường thẳng \((m-1)x+(m+1)y=2m+1\) đi qua điểm A(2;-3) nên tọa độ của điểm A thỏa mãn phương trình đường thẳng đó. Thay \(x=2,y=-3\) ta được

\(\begin{array}{l}(m - 1).2 + (m + 1).( - 3) = 2m + 1\\ \Leftrightarrow 2m - 2 - 3m - 3 = 2m + 1\\ \Leftrightarrow - 3m = 6\\ \Leftrightarrow m = - 2\end{array}\)

Ta có với $a \ne 0,b \ne 0$ thì $ax + by = c$$ \Leftrightarrow by =  - ax + c \Leftrightarrow y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$

Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$

Phương trình $2x + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Thay $x =  - 2;y = 4$ vào từng phương trình ta được

+) $x - 2y =  - 2 - 2.4 =  - 10 \ne 0$ nên loại A.

+) $x - y =  - 2 - 4 =  - 6 \ne 0$ nên loại C.

+) $x + 2y + 1 =  - 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0$ nên loại D.

+) $2x + y =  - 2.2 + 4 = 0$ nên chọn B.

+) Thay $x = 0;y = 1$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $0 - 5.1 + 7 = 0 \Leftrightarrow 2 = 0$ (vô lý) nên loại A.

+) Thay $x =  - 1;y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $ - 1 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow  - 4 = 0$ (vô lý) nên loại B.

+) Thay $x = 2;y = 4$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $2 - 5.4 + 7 = 0 \Leftrightarrow  - 11 = 0$ (vô lý) nên loại D.

+) Thay $x = 3;y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $3 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng) nên chọn  C.