Đường tròn là hình:
Đường tròn có trục đối xứng là đường thẳng đi qua tâm của nó.
Do có vô số đường thẳng đi qua tâm nên đường tròn có vô số trục đối xứng.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $5cm$ là tập hợp các điểm:
Tập hợp các điểm cách \(O\) một khoảng \(5cm\) được gọi là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(5cm\) nên B, C đúng.
Tập hợp các điểm cách \(O\) một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng \(5cm\) được gọi là hình tròn tâm \(O\) bán kính \(5cm\) nên A sai.
Cho $\left( {O;R} \right)$ và đường thẳng $a,$ gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a.$ Phát biểu nào sau đây là sai:
Nếu \(d = R\) thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên C sai, D đúng.
Phát biểu nào sau đây là sai:
Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì chưa chắc đã vuông góc với dây ấy (trường hợp dây là đường kính của đường tròn)
Chọn câu sai
Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung (đúng)
Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta luôn xác định được một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì điểm tiếp xúc nằm trên đường nối tâm (đúng)
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm 3 đường phân giác nên D sai.
Trong hình vẽ bên cho $OC \bot AB,AB = 12cm,OA = 10cm$. Độ dài $AC$ là:
Vì $OC$ vuông góc với $AB$ nên $D$ là trung điểm của $AB$ (mối quan hệ giữa đường kính và dây)
$ \Rightarrow AD = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6cm$.
Xét tam giác $AOD$ vuông tại $D$ nên $O{D^2} = O{A^2} - A{D^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow OD = 8cm$.
Có $OD + DC = OC$ nên $DC = OC - OD = 10 - 8 = 2cm$.
Xét tam giác $ADC$ vuông tại $D$ nên $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {6^2} + {2^2} = 40$ .
Vậy $AC = 2\sqrt {10} cm$.
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây là đúng:
Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường cao của tam giác đi qua A. hay OA vuông góc với BC mà tiếp tuyến của (O) tại A thì cũng phải vuông góc với OA( tính chất tiếp tuyến của đường tròn).
Vì vậy tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn sẽ song song với $BC.$
Cho hai đường tròn $\left( {O;4cm} \right)$ và $\left( {O';3cm} \right)$ biết $OO' = 5cm$. Hai đường tròn trên cắt nhau tại $A$ và \(B\). Độ dài $AB$ là:
Xét tam giác $OAO'$ có $O{A^2} + O'{A^2} = OO{'^2}$ (vì ${4^2} + {3^2} = {5^2}$) nên tam giác $OAO'$ vuông tại $A$.
Xét tam giác $OAO'$ có $AH$ là đường cao nên $AH.OO' = OA.O'A \Rightarrow AH = \dfrac{{OA.O'A}}{{OO'}} = \dfrac{{4.3}}{5} = \dfrac{{12}}{5}$
Mà $AB = 2AH$ nên $AB = \dfrac{{24}}{5} = 4,8cm$
Cho đường tròn $\left( {O;3cm} \right)$, lấy điểm $A$ sao cho $OA = 6cm$. Từ \(A\) vẽ tiếp tuyến $AB,AC$ đến đường tròn $\left( O \right)$ ($B,C$ là tiếp điểm). Chu vi tam giác $ABC$ là
Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $OA$
Có $OC \bot AC$ (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
Xét $\Delta OAC$ vuông tại \(C\), ta có: $O{C^2} + C{A^2} = O{A^2}$ (Py-ta-go)
\( \Rightarrow A{C^2} = {\rm{ }}O{A^2} - {\rm{ }}O{C^2} = {6^2} - {3^2} = 36 - 9 = 27 \Rightarrow AC = 3\sqrt 3 cm\)
Mà $AC=AB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $AB = 3\sqrt 3 cm$.
Vì $AC=AB;OB=OC$ nên $OA$ là đường trung trực của $BC$ hay $OA \bot BC$ tại $D$ và $D$ là trung điểm của $CB.$
Xét tam giác vuông $OCA$ có $CD$ là đường cao nên:
\(CD = \dfrac{{OC.CA}}{{OA}} = \dfrac{{3.3\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = 2CD = 3\sqrt 3 cm\)
Vậy chu vi tam giác $ABC$ là $3\sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 cm$
Hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ cắt nhau tại $M.$ Nếu $MA = \;R\sqrt 3 $ thì góc $\widehat {AOB}$ bằng:
Có $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $AM$ vuông góc với $OA$
Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ nên có $\tan \widehat {AOM} = \dfrac{{AM}}{{OA}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3 $$ \Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}$
Mà hai tiếp tuyến $AM$ và $BM$ cắt nhau tại $M$ nên ta có $OM$ là phân giác của $\widehat {AOB}$
Vậy $\widehat {AOB}$$ = 2\widehat {AOM} = {2.60^0} = {120^0}$
Chọn câu sai.
Vì \(I\) là trung điểm của \(CD.\)
Nên \(I\) là tâm của đường tròn đường kính \(CD.\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$
Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//BD \Rightarrow ABDC$ là hình thang
Suy ra $IO$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$
\( \Rightarrow \) $IO//AC//BD$ mà $AC\; \bot AB \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)$
$IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB.$
Vậy A,C,D đúng, B sai.
Chọn câu sai.
Vì \(I\) là trung điểm của \(CD.\)
Nên \(I\) là tâm của đường tròn đường kính \(CD.\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$
Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//BD \Rightarrow ABDC$ là hình thang
Suy ra $IO$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$
\( \Rightarrow \) $IO//AC//BD$ mà $AC\; \bot AB \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)$
$IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB.$
Vậy A,C,D đúng, B sai.
Hình thang $ABDC$ có chu vi nhỏ nhất là
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$
Chu vi hình thang $ABDC$ là:
${P_{ABDC}} = AC + AB + BD + CD $$= CM + AB + DM + CD = AB + 2CD$
$ \Rightarrow {P_{ABDC}}_{\min }\,{\rm{khi}}\,\,C{D_{\min }} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD//AB$
Mà $OM\; \bot CD{\rm{ }} \Rightarrow OM\; \bot AB$
$ \Rightarrow {P_{ABDC\min }} = AB + 2AB = 3AB$
Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang $ABDC$ là $3AB$ khi $OM$ $ \bot $ $AB$ .
Cho hai đường tròn $\left( {O;5} \right)$ và $\left( {O';5} \right)$ cắt nhau tại $A$ và $B.$ Biết $OO' = 8.$ Độ dài dây cung $AB$ là
Ta có $OA = O'A = 5cm$ nên tam giác $AOO'$ cân tại A.
Mà AH vuông góc với OO’ nên H là trung điểm của OO’. Suy ra $OH = 4cm$ .
Xét tam giác AOH vuông tại H nên suy ra
$A{H^2} = O{A^2} - O{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9 = {3^2}$.
Vậy $AH = 3cm$ .
Mà $AB = 2AH$ ( mối quan hệ giữa đường nối tâm và dây cung).
Vậy $AB = 6cm$
Cho đường tròn $\left( {O;25cm} \right)$ và dây $AB$ bằng $40cm.$ Khi đó khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là
Từ $O$ kẻ $OH$ vuông góc với $AB.$
Vậy $H$ là trung điểm của $AB$ (mối quan hệ giữa đường kính và dây) suy ra $AH = \dfrac{{AB}}{2} = 20cm$.
Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$ nên theo định lí Py-ta-go ta có
$O{H^2} = O{A^2} - A{H^2}$=${25^2} - {20^2} = 225 = {15^2}$
Vậy $OH = 15cm$.
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5,AC = 12,BC = 13$. Khi đó:
Xét \(\Delta ABC\) có:
\(A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 = {13^2} = B{C^2}\)
Áp dụng định lý Py-ta-go đảo ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Do đó \(AB \bot AC\).
$AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {C;12} \right)$
$AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {B;5} \right)$
Cho hình vuông nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Chu vi của hình vuông là
Hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O.\)
Khi đó đường chéo \(BD\) là đường kính của \(\left( O \right)\)
Suy ra \(BD = 2R\)
Xét tam giác \(BDC\) vuông cân tại \(C,\) theo định lý Pytago ta có
$B{C^2} + C{D^2} = B{D^2} \Leftrightarrow 2B{C^2} = 4{R^2} \Rightarrow BC = R\sqrt 2 $
Chu vi hình vuông \(ABCD\) là \(4R\sqrt 2 \)
Hai tiếp tuyến tại hai điểm $B,C$ của một đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $A$ tạo thành \(\widehat {BAC} = {50^0}\). Số đo của góc \(\widehat {BOC}\) bằng
Vì hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $A$ nên \(\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CAB} + \widehat {COB} = {360^0} - {180^0} = {180^0}\)
Mà \(\widehat {CAB} = {50^0}\) nên \(\widehat {COB} = {180^0} - {50^0} = {130^0}\)
Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC,B \in \left( O \right)$ và $C \in (O')$. Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại $I$. Tính độ dài $BC$ biết $OA = 9cm,O'A = 4cm$.
Ta có $IO$ là tia phân giác của \(\widehat {BIA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$IO'$ là tia phân giác của \(\widehat {CIA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {CIA} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OIO'} = {90^0}\)
Tam giác \(OIO'\) vuông tại \(I\) có \(IA\) là đường cao (vì $IA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $I{A^2} = AO.AO' = 9.4 = 36 \Rightarrow IA = 6cm$.
\( \Rightarrow IA = IB = IC = 6cm\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy $BC = 2IA = 2.6 = 12\left( {cm} \right)$.
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Vẽ các tiếp tuyến $Ax$ và $By$ ($Ax$ và $By$ và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là $AB$ ). Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại $M$ cắt $Ax$ và $By$ theo thứ tự tại $C$ và $D.$ Lấy $I$ là trung điểm của $CD.$
Chọn câu sai.
Vì \(I\) là trung điểm của \(CD.\)
Nên \(I\) là tâm của đường tròn đường kính \(CD.\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$
Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//BD \Rightarrow ABDC$ là hình thang
Suy ra $IO$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$
\( \Rightarrow \) $IO//AC//BD$ mà $AC\; \bot AB \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)$
$IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB.$
Vậy A,C,D đúng, B sai.
