Bài tập ôn tập chương 6

Đường tròn có trục đối xứng là đường thẳng đi qua tâm của nó.

Do có vô số đường thẳng đi qua tâm nên đường tròn có vô số trục đối xứng.

Tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng $5cm$ được gọi là đường tròn tâm $O$ bán kính $5cm$ nên B, C đúng.

Tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng $5cm$ được gọi là hình tròn tâm $O$ bán kính $5cm$ nên A sai.

Nếu $d = R$ thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên C sai, D đúng.

Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì chưa chắc đã vuông góc với dây ấy (trường hợp dây là đường kính của đường tròn)

Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung (đúng)

Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta luôn xác định được một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì điểm tiếp xúc nằm trên đường nối tâm (đúng)

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm 3 đường phân giác nên D sai.

Vì $OC$ vuông góc với $AB$ nên $D$ là trung điểm của $AB$ (mối quan hệ giữa đường kính và dây)

$\Rightarrow AD = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6cm$.

Xét tam giác $AOD$ vuông tại $D$ nên $O{D^2} = O{A^2} - A{D^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow OD = 8cm$.

Có $OD + DC = OC$ nên $DC = OC - OD = 10 - 8 = 2cm$.

Xét tam giác $ADC$ vuông tại $D$ nên $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {6^2} + {2^2} = 40$ .

Vậy $AC = 2\sqrt {10} cm$.

Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường cao của tam giác đi qua A. hay OA vuông góc với BC mà tiếp tuyến của (O) tại A thì cũng phải vuông góc với OA( tính chất tiếp tuyến của đường  tròn).

Vì vậy tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn sẽ song song với $BC.$

Xét tam giác $OAO'$  có $O{A^2} + O'{A^2} = OO{'^2}$ (vì ${4^2} + {3^2} = {5^2}$) nên tam giác $OAO'$  vuông tại $A$.

Xét tam giác $OAO'$  có $AH$ là đường cao nên $AH.OO' = OA.O'A \Rightarrow AH = \dfrac{{OA.O'A}}{{OO'}} = \dfrac{{4.3}}{5} = \dfrac{{12}}{5}$

Mà $AB = 2AH$ nên $AB = \dfrac{{24}}{5} = 4,8cm$

Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $OA$

Có $OC \bot AC$ (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)

Xét $\Delta OAC$ vuông tại $C$, ta có: $O{C^2} + C{A^2} = O{A^2}$ (Py-ta-go)

$\Rightarrow A{C^2} = {\rm{ }}O{A^2} - {\rm{ }}O{C^2} = {6^2} - {3^2} = 36 - 9 = 27 \Rightarrow AC = 3\sqrt 3 cm$

Mà $AC=AB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $AB = 3\sqrt 3 cm$.

Vì $AC=AB;OB=OC$ nên $OA$ là đường trung trực của $BC$ hay $OA \bot BC$ tại $D$ và $D$ là trung điểm của $CB.$

Xét tam giác vuông $OCA$ có $CD$ là đường cao nên:

$CD = \dfrac{{OC.CA}}{{OA}} = \dfrac{{3.3\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = 2CD = 3\sqrt 3 cm$

Vậy chu vi tam giác $ABC$ là $3\sqrt 3  + 3\sqrt 3  + 3\sqrt 3  = 9\sqrt 3 cm$

Có $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $AM$ vuông góc với $OA$

Xét tam giác $AOM$ vuông tại $A$ nên có $\tan \widehat {AOM} = \dfrac{{AM}}{{OA}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3$$\Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}$

Mà hai tiếp tuyến $AM$ và $BM$ cắt nhau tại $M$ nên ta có $OM$ là phân giác của $\widehat {AOB}$

Vậy $\widehat {AOB}$$= 2\widehat {AOM} = {2.60^0} = {120^0}$

Vì $I$ là trung điểm của $CD.$

Nên $I$  là tâm của đường tròn đường kính $CD.$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$

Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//BD \Rightarrow ABDC$ là hình thang

Suy ra $IO$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$

$\Rightarrow$ $IO//AC//BD$ mà $AC\; \bot AB \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)$

$IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)$

Từ (1) và (2)  suy ra đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB.$

Vậy A,C,D đúng, B sai.

Vì $I$ là trung điểm của $CD.$

Nên $I$  là tâm của đường tròn đường kính $CD.$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$

Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//BD \Rightarrow ABDC$ là hình thang

Suy ra $IO$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$

$\Rightarrow$ $IO//AC//BD$ mà $AC\; \bot AB \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)$

$IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)$

Từ (1) và (2)  suy ra đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB.$

Vậy A,C,D đúng, B sai.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$

Chu vi hình thang  $ABDC$ là:

${P_{ABDC}} = AC + AB + BD + CD$$= CM + AB + DM + CD = AB + 2CD$

$\Rightarrow {P_{ABDC}}_{\min }\,{\rm{khi}}\,\,C{D_{\min }} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD//AB$

Mà $OM\; \bot CD{\rm{ }} \Rightarrow OM\; \bot AB$

$\Rightarrow {P_{ABDC\min }} = AB + 2AB = 3AB$

Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang $ABDC$ là $3AB$  khi $OM$ $\bot$ $AB$ .

Ta có $OA = O'A = 5cm$ nên tam giác $AOO'$  cân tại A.

Mà AH vuông góc với OO’ nên H là trung điểm của OO’. Suy ra $OH = 4cm$ .

Xét tam giác AOH vuông tại H nên suy ra

$A{H^2} = O{A^2} - O{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9 = {3^2}$.

Vậy $AH = 3cm$ .

Mà $AB = 2AH$ ( mối quan hệ giữa đường nối tâm và dây cung).

Vậy $AB = 6cm$

Từ $O$ kẻ $OH$ vuông góc với $AB.$

Vậy $H$ là trung điểm của $AB$ (mối quan hệ giữa đường kính và dây) suy ra $AH = \dfrac{{AB}}{2} = 20cm$.

Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$ nên theo định lí Py-ta-go ta có

 $O{H^2} = O{A^2} - A{H^2}$=${25^2} - {20^2} = 225 = {15^2}$

Vậy $OH = 15cm$.

Xét $\Delta ABC$ có:

$A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 = {13^2} = B{C^2}$

Áp dụng định lý Py-ta-go đảo ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Do đó $AB \bot AC$.

$AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {C;12} \right)$

$AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {B;5} \right)$

Hình vuông $ABCD$  nội tiếp đường tròn tâm $O.$

Khi đó đường chéo $BD$ là đường kính của $\left( O \right)$

Suy ra $BD = 2R$

Xét tam giác $BDC$ vuông cân tại $C,$ theo định lý Pytago ta có

$B{C^2} + C{D^2} = B{D^2} \Leftrightarrow 2B{C^2} = 4{R^2} \Rightarrow BC = R\sqrt 2$

Chu vi hình vuông $ABCD$ là $4R\sqrt 2$

Vì hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $A$ nên $\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CAB} + \widehat {COB} = {360^0} - {180^0} = {180^0}$

Mà $\widehat {CAB} = {50^0}$ nên $\widehat {COB} = {180^0} - {50^0} = {130^0}$

Ta có $IO$ là tia phân giác của $\widehat {BIA}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$IO'$ là tia phân giác của $\widehat {CIA}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $\widehat {BIA} + \widehat {CIA} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OIO'} = {90^0}$

Tam giác $OIO'$ vuông tại $I$ có $IA$ là đường cao (vì $IA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $I{A^2} = AO.AO' = 9.4 = 36 \Rightarrow IA = 6cm$.

$\Rightarrow IA = IB = IC = 6cm$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy $BC = 2IA = 2.6 = 12\left( {cm} \right)$.

Vì $I$ là trung điểm của $CD.$

Nên $I$  là tâm của đường tròn đường kính $CD.$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $AC = CM\;$ và $BD = DM$

Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//BD \Rightarrow ABDC$ là hình thang

Suy ra $IO$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$

$\Rightarrow$ $IO//AC//BD$ mà $AC\; \bot AB \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)$

$IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)$

Từ (1) và (2)  suy ra đường tròn đường kính $CD$ tiếp xúc với $AB.$

Vậy A,C,D đúng, B sai.