Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương

Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Từ đó suy ra  $\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt c }} = \sqrt {\dfrac{{ab}}{c}}$ với $c > 0.$

Ta có: $\sqrt {2018} .\sqrt {2019}  = \sqrt {2018.2019}$

$\sqrt {1,25} .\sqrt {51,2}  = \sqrt {1,25.51,2}  = \sqrt {64}  = \sqrt {{8^2}}  = 8$

$\sqrt {\dfrac{{1,21}}{{576}}}  = \dfrac{{\sqrt {1,21} }}{{\sqrt {576} }} = \dfrac{{\sqrt {1,{1^2}} }}{{\sqrt {{{24}^2}} }} = \dfrac{{1,1}}{{24}} = \dfrac{{11}}{{240}}$

Vì $- 729 < 0;625 > 0 \Rightarrow \dfrac{{625}}{{ - 729}} < 0$ nên không tồn tại căn bậc hai của số âm.

$\sqrt {{{12}^2}.{{\left( { - 11} \right)}^2}}  = \sqrt {{{12}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 11} \right)}^2}}  = \left| {12} \right|.\left| { - 11} \right| = 12.11 = 132$.

$\sqrt {9{{\left( { - a} \right)}^2}.{{\left( {3 - 4a} \right)}^6}}  = \sqrt 9 \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {3 - 4a} \right)}^6}}  = \sqrt {{3^2}} \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right)}^2}}  = \left| 3 \right|\left| { - a} \right|.\left| {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right| = 3a.{\left( {4a - 3} \right)^3}$

 (vì $a \ge \dfrac{3}{4} \Rightarrow 3 - 4a \le 0 \Rightarrow \left| {3 - 4a} \right| = 4a - 3 \Rightarrow \left| {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right| = {\left( {4a - 3} \right)^3}$)

Ta có: $\sqrt {\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)}  = \sqrt {25{x^2} - 9}$ với $x \ge \dfrac{3}{5}$

Thay $x = \sqrt {3,6}$ (tm đk $x \ge \dfrac{3}{5}$) vào biểu thức ta được: $\sqrt {25{x^2} - 9}  = \sqrt {25.{{\left( {\sqrt {3,6} } \right)}^2} - 9}  = \sqrt {81}  = 9$.

$D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}}$$= \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{a^2} + 2ab + {b^2}} }} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} }}$$= \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\left| {a + b} \right|}} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{a + b}} = 2$ (Vì $a,b > 0 \Rightarrow a + b > 0 \Rightarrow \left| {a + b} \right| = a + b$)

Ta có: $\dfrac{{3m}}{{8n}}\sqrt {\dfrac{{64{n^2}}}{{9{m^2}}}} \, = \dfrac{{3m}}{{8n}}\sqrt {\dfrac{{{{\left( {8n} \right)}^2}}}{{{{\left( {3m} \right)}^2}}}}  = \dfrac{{3m}}{{8n}}.\dfrac{{\left| {8n} \right|}}{{\left| {3m} \right|}} = \dfrac{{3m.\left( { - 8n} \right)}}{{8n.3m}}\, =  - 1$ (vì $m > 0;n < 0$)

Ta có: $\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\sqrt {\dfrac{{121}}{{{a^4}{b^{10}}}}}$$\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{\sqrt {121} }}{{\sqrt {{a^4}} .\sqrt {{b^{10}}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{\sqrt {{{11}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^5}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{11}}{{{a^2}.\left| {{b^5}} \right|}} = \dfrac{1}{{\left| {{b^5}} \right|}}$.

Ta có: $\dfrac{{\sqrt {9{x^5} + 33{x^4}} }}{{\sqrt {3x + 11} }} = \dfrac{{\sqrt {3{x^4}\left( {3x + 11} \right)} }}{{\sqrt {3x + 11} }} = \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^4}} .\sqrt {3x + 11} }}{{\sqrt {3x + 11} }} = \sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}}  = \sqrt 3 .\left| {{x^2}} \right| = \sqrt 3 {x^2}$

Ta có: $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 6x} }}{{\sqrt {x + 6} }}$$= \dfrac{{\sqrt {x\left( {x + 6} \right)} }}{{\sqrt {x + 6} }} = \dfrac{{\sqrt x \sqrt {x + 6} }}{{\sqrt {x + 6} }} = \sqrt x$

Để $A = B$$\Leftrightarrow \sqrt x  = 2x \Leftrightarrow 2x - \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\2\sqrt x  - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt x  = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( L \right)\\x = \dfrac{1}{4}\left( N \right)\end{array} \right.$

Vậy có 1 giá trị nào của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ta có: $B = \dfrac{{3x - \sqrt {3xy} }}{{3x - y}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {3x} } \right)}^2} - \sqrt {3x} .\sqrt y }}{{{{\left( {\sqrt {3x} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt {3x} \left( {\sqrt {3x}  - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt {3x}  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt {3x}  + \sqrt y } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {3x} }}{{\sqrt {3x}  + \sqrt y }}$

Ta có: $\sqrt {252}  - \sqrt {700}  + \sqrt {1008}  - \sqrt {448}$$= \sqrt {36.7}  - \sqrt {100.7}  + \sqrt {144.7}  - \sqrt {64.7}$$= \sqrt {36} .\sqrt 7  - \sqrt {100} .\sqrt 7  + \sqrt {144} .\sqrt 7  - \sqrt {64} .\sqrt 7  = 6\sqrt 7  - 10\sqrt 7  + 12\sqrt 7  - 8\sqrt 7  = \sqrt 7 \left( {6 - 10 + 12 - 8} \right) = 0$

Ta có: $\dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a}  + \sqrt {3b} }} + \dfrac{{\sqrt {8{a^3}}  - \sqrt {27{b^3}} }}{{3b-2a}}$$= \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a}  + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{\left( {\sqrt {2a}  - \sqrt {3b} } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {2a} } \right)}^2} + \sqrt {2a} .\sqrt {3b}  + {{\left( {\sqrt {3b} } \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {\sqrt {2a} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {3b} } \right)}^2}}}$

$= \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a}  + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{\left( {\sqrt {2a}  - \sqrt {3b} } \right)\left( {2a + \sqrt {6ab}  + 3b} \right)}}{{\left( {\sqrt {2a}  - \sqrt {3b} } \right)\left( {\sqrt {2a}  + \sqrt {3b} } \right)}}$

$= \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a}  + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{2a + \sqrt {6ab}  + 3b}}{{\sqrt {2a}  + \sqrt {3b} }} = \dfrac{{2a + 3b - 2a - \sqrt {6ab}  - 3b}}{{\sqrt {2a}  + \sqrt {3b} }} = \dfrac{{ - \sqrt {6ab} }}{{\sqrt {2a}  + \sqrt {3b} }}$

Điều kiện: $2x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{5}{2}$

Với điều kiện trên ta có: $\dfrac{{8 + 3x}}{{\sqrt {2x - 5} }} = \sqrt {2x - 5}$$\Rightarrow 8 + 3x = {\left( {\sqrt {2x - 5} } \right)^2} \Leftrightarrow 8 + 3x = 2x - 5$$\Leftrightarrow x = -13\,\left( {KTM} \right)$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9x - 9 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{64}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Với điều kiện trên ta có: $\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9}  + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}}  = 12$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)}  + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {64} }} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{1}{2}\sqrt 9 .\sqrt {x - 1}  + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{8} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1}  - \dfrac{3}{2}.\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt {x - 1}  = 12\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1}  = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 6\\ \Leftrightarrow x - 1 = 36\\ \Leftrightarrow x = 37\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 37$.

$\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}   = \left| a^2 \right|.\left| {2a - 1} \right| = a^2.\left( {1 - 2a} \right)$

 (vì $0 \le a < \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2a - 1 < 0 \Rightarrow \left| {2a - 1} \right| = 1- 2a$)

$\sqrt {27.48.{{(1 - a)}^2}}  = \sqrt {9.3.16.3.{{(1 - a)}^2}}  = \sqrt {81.16.{{(1 - a)}^2}}$$= \sqrt {81} .\sqrt {16} .\sqrt {{{(1 - a)}^2}}$$= 9.4.|1 - a| = 36.(a - 1)$

$\left( {do\,\,a > 1 \Rightarrow 1 - a < 0} \right).$