Cho \(a\) là số không âm, \(b,c\) là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Với số \(a\) không âm và số \(b\) dương , ta có \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt c }} = \sqrt {\dfrac{{ab}}{c}} \) với \(c > 0.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: \(\sqrt {2018} .\sqrt {2019} = \sqrt {2018.2019} \)
Kết quả của phép tính: \(\sqrt {1,25} .\sqrt {51,2} \) là?
\(\sqrt {1,25} .\sqrt {51,2} = \sqrt {1,25.51,2} = \sqrt {64} = \sqrt {{8^2}} = 8\)
Kết quả của phép tính: \(\sqrt {\dfrac{{1,21}}{{576}}} \) là?
\(\sqrt {\dfrac{{1,21}}{{576}}} = \dfrac{{\sqrt {1,21} }}{{\sqrt {576} }} = \dfrac{{\sqrt {1,{1^2}} }}{{\sqrt {{{24}^2}} }} = \dfrac{{1,1}}{{24}} = \dfrac{{11}}{{240}}\)
Kết quả của phép tính: \(\sqrt {\dfrac{{625}}{{ - 729}}} \) là?
Vì \( - 729 < 0;625 > 0 \Rightarrow \dfrac{{625}}{{ - 729}} < 0\) nên không tồn tại căn bậc hai của số âm.
Phép tính \(\sqrt {{{12}^2}.{{\left( { - 11} \right)}^2}} \) có kết quả là?
\(\sqrt {{{12}^2}.{{\left( { - 11} \right)}^2}} = \sqrt {{{12}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 11} \right)}^2}} = \left| {12} \right|.\left| { - 11} \right| = 12.11 = 132\).
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {9{{\left( { - a} \right)}^2}.{{\left( {3 - 4a} \right)}^6}} \) với \(a \ge \dfrac{3}{4}\) ta được:
\(\sqrt {9{{\left( { - a} \right)}^2}.{{\left( {3 - 4a} \right)}^6}} = \sqrt 9 \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {3 - 4a} \right)}^6}} = \sqrt {{3^2}} \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right)}^2}} = \left| 3 \right|\left| { - a} \right|.\left| {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right| = 3a.{\left( {4a - 3} \right)^3}\)
(vì \(a \ge \dfrac{3}{4} \Rightarrow 3 - 4a \le 0 \Rightarrow \left| {3 - 4a} \right| = 4a - 3 \Rightarrow \left| {{{\left( {3 - 4a} \right)}^3}} \right| = {\left( {4a - 3} \right)^3}\))
Giá trị biểu thức \(\sqrt {5x + 3} .\sqrt {5x - 3} \) khi \(x = \sqrt {3,6} \) là:
Ta có: \(\sqrt {\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)} = \sqrt {25{x^2} - 9} \) với \(x \ge \dfrac{3}{5}\)
Thay \(x = \sqrt {3,6} \) (tm đk \(x \ge \dfrac{3}{5}\)) vào biểu thức ta được: \(\sqrt {25{x^2} - 9} = \sqrt {25.{{\left( {\sqrt {3,6} } \right)}^2} - 9} = \sqrt {81} = 9\).
Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \) với \(a,b > 0\) ta được:
\(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \)\( = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{a^2} + 2ab + {b^2}} }} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} }}\)\( = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\left| {a + b} \right|}} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{a + b}} = 2\) (Vì \(a,b > 0 \Rightarrow a + b > 0 \Rightarrow \left| {a + b} \right| = a + b\))
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{3m}}{{8n}}\sqrt {\dfrac{{64{n^2}}}{{9{m^2}}}} \,\) với \(m > 0;n < 0\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{{3m}}{{8n}}\sqrt {\dfrac{{64{n^2}}}{{9{m^2}}}} \, = \dfrac{{3m}}{{8n}}\sqrt {\dfrac{{{{\left( {8n} \right)}^2}}}{{{{\left( {3m} \right)}^2}}}} = \dfrac{{3m}}{{8n}}.\dfrac{{\left| {8n} \right|}}{{\left| {3m} \right|}} = \dfrac{{3m.\left( { - 8n} \right)}}{{8n.3m}}\, = - 1\) (vì \(m > 0;n < 0\))
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\sqrt {\dfrac{{121}}{{{a^4}{b^{10}}}}} \) với \(ab \ne 0\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\sqrt {\dfrac{{121}}{{{a^4}{b^{10}}}}} \)\(\dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{\sqrt {121} }}{{\sqrt {{a^4}} .\sqrt {{b^{10}}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{\sqrt {{{11}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^5}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{11}}.\dfrac{{11}}{{{a^2}.\left| {{b^5}} \right|}} = \dfrac{1}{{\left| {{b^5}} \right|}}\).
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{\sqrt {9{x^5} + 33{x^4}} }}{{\sqrt {3x + 11} }}\) với \(x > 0\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{{\sqrt {9{x^5} + 33{x^4}} }}{{\sqrt {3x + 11} }} = \dfrac{{\sqrt {3{x^4}\left( {3x + 11} \right)} }}{{\sqrt {3x + 11} }} = \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^4}} .\sqrt {3x + 11} }}{{\sqrt {3x + 11} }} = \sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 .\left| {{x^2}} \right| = \sqrt 3 {x^2}\)
Với \(x > 0\) cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 6x} }}{{\sqrt {x + 6} }}\) và \(B = 2x\). Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A = B\).
Ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 6x} }}{{\sqrt {x + 6} }}\)\( = \dfrac{{\sqrt {x\left( {x + 6} \right)} }}{{\sqrt {x + 6} }} = \dfrac{{\sqrt x \sqrt {x + 6} }}{{\sqrt {x + 6} }} = \sqrt x \)
Để \(A = B\)\( \Leftrightarrow \sqrt x = 2x \Leftrightarrow 2x - \sqrt x = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\2\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( L \right)\\x = \dfrac{1}{4}\left( N \right)\end{array} \right.\)
Vậy có 1 giá trị nào của \(x\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với \(x,y \ge 0;3x \ne y\), rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{3x - \sqrt {3xy} }}{{3x - y}}\) ta được:
Ta có: \(B = \dfrac{{3x - \sqrt {3xy} }}{{3x - y}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {3x} } \right)}^2} - \sqrt {3x} .\sqrt y }}{{{{\left( {\sqrt {3x} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt {3x} \left( {\sqrt {3x} - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt {3x} - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt {3x} + \sqrt y } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {3x} }}{{\sqrt {3x} + \sqrt y }}\)
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {252} - \sqrt {700} + \sqrt {1008} - \sqrt {448} \) là:
Ta có: \(\sqrt {252} - \sqrt {700} + \sqrt {1008} - \sqrt {448} \)\( = \sqrt {36.7} - \sqrt {100.7} + \sqrt {144.7} - \sqrt {64.7} \)\( = \sqrt {36} .\sqrt 7 - \sqrt {100} .\sqrt 7 + \sqrt {144} .\sqrt 7 - \sqrt {64} .\sqrt 7 = 6\sqrt 7 - 10\sqrt 7 + 12\sqrt 7 - 8\sqrt 7 = \sqrt 7 \left( {6 - 10 + 12 - 8} \right) = 0\)
Với \(a \ge 0,b \ge 0,2a \ne 3b\), rút gọn biểu thức \(\dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} + \dfrac{{\sqrt {8{a^3}} - \sqrt {27{b^3}} }}{{3b - 2a}}\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} + \dfrac{{\sqrt {8{a^3}} - \sqrt {27{b^3}} }}{{3b-2a}}\)\( = \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - \sqrt {3b} } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {2a} } \right)}^2} + \sqrt {2a} .\sqrt {3b} + {{\left( {\sqrt {3b} } \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {\sqrt {2a} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {3b} } \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - \sqrt {3b} } \right)\left( {2a + \sqrt {6ab} + 3b} \right)}}{{\left( {\sqrt {2a} - \sqrt {3b} } \right)\left( {\sqrt {2a} + \sqrt {3b} } \right)}}\)
\( = \dfrac{{2a + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} - \dfrac{{2a + \sqrt {6ab} + 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} = \dfrac{{2a + 3b - 2a - \sqrt {6ab} - 3b}}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }} = \dfrac{{ - \sqrt {6ab} }}{{\sqrt {2a} + \sqrt {3b} }}\)
Chọn kết luận đúng về nghiệm \({x_0}\) (nếu có) của phương trình: \(\dfrac{{8 + 3x}}{{\sqrt {2x - 5} }} = \sqrt {2x - 5} \).
Điều kiện: \(2x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{5}{2}\)
Với điều kiện trên ta có: \(\dfrac{{8 + 3x}}{{\sqrt {2x - 5} }} = \sqrt {2x - 5} \)\( \Rightarrow 8 + 3x = {\left( {\sqrt {2x - 5} } \right)^2} \Leftrightarrow 8 + 3x = 2x - 5\)\(\Leftrightarrow x = -13\,\left( {KTM} \right)\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9} + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12\) là:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9x - 9 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{64}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Với điều kiện trên ta có: \(\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9} + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {64} }} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt 9 .\sqrt {x - 1} + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{8} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{3}{2}.\sqrt {x - 1} + 2\sqrt {x - 1} = 12\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 6\\ \Leftrightarrow x - 1 = 36\\ \Leftrightarrow x = 37\left( {TM} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 37\).
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} \) với \(0 \le a < \dfrac{1}{2}\) ta được:
\(\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} = \left| a^2 \right|.\left| {2a - 1} \right| = a^2.\left( {1 - 2a} \right)\)
(vì \(0 \le a < \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2a - 1 < 0 \Rightarrow \left| {2a - 1} \right| = 1- 2a\))
Rút gọn \(\sqrt {27.48.{{(1 - a)}^2}} \) với \(a > 1\)
\(\sqrt {27.48.{{(1 - a)}^2}} = \sqrt {9.3.16.3.{{(1 - a)}^2}} = \sqrt {81.16.{{(1 - a)}^2}}\)\( = \sqrt {81} .\sqrt {16} .\sqrt {{{(1 - a)}^2}} \)\( = 9.4.|1 - a| = 36.(a - 1)\)
\(\left( {do\,\,a > 1 \Rightarrow 1 - a < 0} \right).\)
