Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương

$\begin{array}{l}A = \sqrt {810.40}  + \sqrt {24} .\sqrt {12} .\sqrt {0,5} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {81.100.4}  + \sqrt {24.12.0,5} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{9^2}} .\sqrt {{{10}^2}} .\sqrt {{2^2}}  + \sqrt {144} \\\,\,\,\, = 9.10.2 + \sqrt {{{12}^2}} \\\,\,\,\, = 180 + 12\\\,\,\,\, = 192\end{array}$

$B = \left( {\sqrt {18}  + \sqrt {32}  - \sqrt {50} } \right).\sqrt 2$

$= \sqrt {18} .\sqrt 2  + \sqrt {32} .\sqrt 2  - \sqrt {50} .\sqrt 2$

$= \sqrt {18.2}  + \sqrt {32.2}  - \sqrt {50.2}$

$= \sqrt {36}  + \sqrt {64}  - \sqrt {100}$

$= 6 + 8 - 10$$= 4$

$M = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10}  - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} }$$+ \sqrt {3 - \sqrt 5 } \left( {\sqrt {10}  - \sqrt 2 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)$

$= \sqrt {4 + \sqrt {15} } .\sqrt {4 + \sqrt {15} } .\sqrt {4 - \sqrt {15} } .\left( {\sqrt {10}  - \sqrt 6 } \right)$$+ \sqrt {3 - \sqrt 5 } .\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\left( {\sqrt {10}  - \sqrt 2 } \right)$$= \sqrt {4 + \sqrt {15} } .\sqrt {16 - 15} .\left( {\sqrt {2.5}  - \sqrt {2.3} } \right)$$+ \sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {9 - 5} .\left( {\sqrt {2.5}  - \sqrt 2 } \right)$$= \sqrt {4 + \sqrt {15} } .1.\sqrt 2 \left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)$$+ \sqrt {3 + \sqrt 5 } .2.\sqrt 2 \left( {\sqrt 5  - 1} \right)$$= \sqrt {8 + 2\sqrt {15} } .\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)$$+ 2.\sqrt {6 + 2\sqrt 5 .} \left( {\sqrt 5  - 1} \right)$$= \sqrt {5 + 2\sqrt 3 .\sqrt 5  + 3} .\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)$$+ 2.\sqrt {5 + 2\sqrt 5  + 1} .\left( {\sqrt 5  - 1} \right)$$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}^2}} .\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)$$+ 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}} .\left( {\sqrt 5  - 1} \right)$

$= \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)$$+ 2\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\left( {\sqrt 5  - 1} \right)$$= 5 - 3 + 2\left( {5 - 1} \right)\\ = 2 + 8$$= 10$

Với $y < 0 < x \Rightarrow x - y > 0$

Ta có: $\left| x \right| = x;\,\,\left| y \right| =  - y;\,\,\,\left| {x - y} \right| = x - y.$

$\begin{array}{l}A = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{{\sqrt {{x^2}{y^3}} }}{{\sqrt {{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\sqrt {\dfrac{{{x^2}{y^3}}}{{{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}{y^2}{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2}{y^2}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{1}{{\left| x \right|.\left| y \right|.\left| {x - y} \right|}}\,\,\\ = \dfrac{{2\left( {x - y} \right)x{y^3}}}{{ - xy\left( {x - y} \right)}} =  - 2{y^2}\end{array}$

Vì ${y^2} > 0$ với mọi $y\ne 0$ $\Rightarrow  - 2{y^2} < 0$ với mọi $y\ne 0$

Vậy $A < 0.$

Ta có: $3a{b^2}.\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^4}}}}  = 3a{b^2}.\dfrac{{\sqrt {{b^2}} }}{{\sqrt {{a^4}} }}$$= 3a{b^2}.\dfrac{{\left| b \right|}}{{\left| {{a^2}} \right|}}$$= 3a{b^2}.\dfrac{b}{{{a^2}}}$$= \dfrac{{3a{b^3}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{3{b^3}}}{a}$$\left( {do\,\,\,b > 0,\,\,{a^2} > 0} \right).$

Điều kiện: $x \ge 25.$

Với $x \ge 25 \Rightarrow \sqrt x  \ge 5 \Rightarrow \sqrt x  - 5 \ge 0.$

$A = \dfrac{{\sqrt {25 + x - 10\sqrt x } }}{{\sqrt {25 + x + 10\sqrt x } }} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)}^2}} }}$$= \dfrac{{\left| {\sqrt x  - 5} \right|}}{{\left| {\sqrt x  + 5} \right|}} = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}}$ $\left( {do\,\,\,\sqrt x  - 5 \ge 0} \right)$

Điều kiện: $x \ge 9.$ 

$\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x - 5\sqrt x  + 6} }}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt {x - 2\sqrt x  - 3\sqrt x  + 6} }}{{\sqrt x  - 2}}\\ = \dfrac{{\sqrt {\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)} }}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt {\sqrt x  - 2} .\sqrt {\sqrt x  - 3} }}{{{{\left( {\sqrt {\sqrt x  - 2} } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {\sqrt x  - 3} }}{{\sqrt {\sqrt x  - 2} }} = \sqrt {\dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}}} .\end{array}$

$\Rightarrow {P^2} = {\left( {\sqrt {\dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}}} } \right)^2} = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}}.$

Với $x \ge 0,\,\,\,x \ne 4$ ta có:

$\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{4}{{x - 4}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{4}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x  + 2 + \sqrt x  - 2 - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}$

Điều kiện: $x \ge 0.$

Ta có: $x = 4 + \sqrt {15}$ thỏa mãn điều kiện xác định. 

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2x = 8 + 2\sqrt {15}  = 5 + 2\sqrt 5 .\sqrt 3  + 3 = {\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)^2}\\ \Rightarrow x = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2}}  = \dfrac{{\left| {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\end{array}$

Thay $\sqrt x  = \dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}$ vào $A$ ta được: $A = \dfrac{{2\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}} = \sqrt 2$

Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b$.

$\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4}  = \sqrt {2,5.14,4}  = \sqrt {36}  = \sqrt {{6^2}}  = 6$

$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}  = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$

Vì $- 999 < 0;111 > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 999}}{{111}} < 0$ nên không tồn tại căn bậc hai của số âm

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}}  = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.

$\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}$

$= \left| {{a^2}} \right|.\left| {2a - 1} \right| = {a^2}.\left( {2a - 1} \right)$

 (vì $a \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2a - 1 \ge 0$

$\Rightarrow \left| {2a - 1} \right| = 2a - 1$)

$\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}  =  \left| {{a}} \right|.\left| {2a - 3} \right|$$= {a}.\left( {3-2a } \right)$

 (vì $0 \le a <\dfrac{3}{2} \Rightarrow 2a - 3< 0$$\Rightarrow \left| {2a - 3} \right| = 3-2a )$

Ta có $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {0,09.{{\left( {3 - x} \right)}^2}}$

$= \sqrt {0,09} .\sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}}  = 0,3.\left| {3 - x} \right|$

Mà $x > 3 \Rightarrow 3 - x < 0$

$\Leftrightarrow \left| {3 - x} \right| = x - 3$

Nên $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}}  = 0,3.\left( {x - 3} \right)$.

Ta có $\sqrt { {x - 2} }.\sqrt{ {x + 2} }  = \sqrt {{x^2} - 4}$ với $x \ge 2$.

Thay $x = \sqrt {29}$ ( TMĐK $x \ge 2$ ) vào biểu thức ta được $\sqrt {{x^2} - 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {29} } \right)}^2} - 4}$

$= \sqrt {25}  = 5$.

$E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}}$$= \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt a .\sqrt b }}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{2\left| {a - b} \right|}}$

Mà $0 < a < b$ nên $a - b < 0 \Rightarrow \left| {a - b} \right| =  - \left( {a - b} \right)$. Khi đó $E = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{ - 2\left( {a - b} \right)}} = \dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$.