Giá trị của biểu thức \(A = \sqrt {810.40} + \sqrt {24} .\sqrt {12} .\sqrt {0,5} \) là:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {810.40} + \sqrt {24} .\sqrt {12} .\sqrt {0,5} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {81.100.4} + \sqrt {24.12.0,5} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{9^2}} .\sqrt {{{10}^2}} .\sqrt {{2^2}} + \sqrt {144} \\\,\,\,\, = 9.10.2 + \sqrt {{{12}^2}} \\\,\,\,\, = 180 + 12\\\,\,\,\, = 192\end{array}\)
Tính \(B = \left( {\sqrt {18} + \sqrt {32} - \sqrt {50} } \right).\sqrt 2 \)
\(B = \left( {\sqrt {18} + \sqrt {32} - \sqrt {50} } \right).\sqrt 2 \)
\(= \sqrt {18} .\sqrt 2 + \sqrt {32} .\sqrt 2 - \sqrt {50} .\sqrt 2 \)
\(= \sqrt {18.2} + \sqrt {32.2} - \sqrt {50.2} \)
\(= \sqrt {36} + \sqrt {64} - \sqrt {100} \)
\(= 6 + 8 - 10\)\(= 4\)
Tính \(M = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)\(+ \sqrt {3 - \sqrt 5 } \left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\)
\(M = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)\(+ \sqrt {3 - \sqrt 5 } \left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\)
\( = \sqrt {4 + \sqrt {15} } .\sqrt {4 + \sqrt {15} } .\sqrt {4 - \sqrt {15} } .\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right) \)\(+ \sqrt {3 - \sqrt 5 } .\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)\)\( = \sqrt {4 + \sqrt {15} } .\sqrt {16 - 15} .\left( {\sqrt {2.5} - \sqrt {2.3} } \right) \)\(+ \sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {9 - 5} .\left( {\sqrt {2.5} - \sqrt 2 } \right)\)\( = \sqrt {4 + \sqrt {15} } .1.\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \)\(+ \sqrt {3 + \sqrt 5 } .2.\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\)\( = \sqrt {8 + 2\sqrt {15} } .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \)\(+ 2.\sqrt {6 + 2\sqrt 5 .} \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\)\( = \sqrt {5 + 2\sqrt 3 .\sqrt 5 + 3} .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \)\(+ 2.\sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} .\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}^2}} .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \)\(+ 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} .\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \)\(+ 2\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\)\( = 5 - 3 + 2\left( {5 - 1} \right)\\ = 2 + 8\)\( = 10\)\(\)
Với \(y < 0 < x\), so sánh \(A = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{{\sqrt {{x^2}{y^3}} }}{{\sqrt {{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\) và \(0.\)
Với \(y < 0 < x \Rightarrow x - y > 0\)
Ta có: \(\left| x \right| = x;\,\,\left| y \right| = - y;\,\,\,\left| {x - y} \right| = x - y.\)
\(\begin{array}{l}A = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{{\sqrt {{x^2}{y^3}} }}{{\sqrt {{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\sqrt {\dfrac{{{x^2}{y^3}}}{{{x^4}{y^5}{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}{y^2}{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2}{y^2}{{\left( {x - y} \right)}^2}} }}\\ = 2\left( {x - y} \right)x{y^3}.\dfrac{1}{{\left| x \right|.\left| y \right|.\left| {x - y} \right|}}\,\,\\ = \dfrac{{2\left( {x - y} \right)x{y^3}}}{{ - xy\left( {x - y} \right)}} = - 2{y^2}\end{array}\)
Vì \({y^2} > 0\) với mọi \(y\ne 0\) \( \Rightarrow - 2{y^2} < 0\) với mọi \(y\ne 0\)
Vậy \(A < 0.\)
Với \(a,b > 0\), biểu thức \(3a{b^2}.\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^4}}}} \) bằng:
Ta có: \(3a{b^2}.\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{a^4}}}} = 3a{b^2}.\dfrac{{\sqrt {{b^2}} }}{{\sqrt {{a^4}} }}\)\( = 3a{b^2}.\dfrac{{\left| b \right|}}{{\left| {{a^2}} \right|}}\)\( = 3a{b^2}.\dfrac{b}{{{a^2}}}\)\( = \dfrac{{3a{b^3}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{3{b^3}}}{a}\)\(\left( {do\,\,\,b > 0,\,\,{a^2} > 0} \right).\)
Rút gọn \(A = \dfrac{{\sqrt {25 + x - 10\sqrt x } }}{{\sqrt {25 + x + 10\sqrt x } }}\)với \(x \ge 25\)
Điều kiện: \(x \ge 25.\)
Với \(x \ge 25 \Rightarrow \sqrt x \ge 5 \Rightarrow \sqrt x - 5 \ge 0.\)
\(A = \dfrac{{\sqrt {25 + x - 10\sqrt x } }}{{\sqrt {25 + x + 10\sqrt x } }} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x + 5} \right)}^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {\sqrt x - 5} \right|}}{{\left| {\sqrt x + 5} \right|}} = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 5}}\) \(\left( {do\,\,\,\sqrt x - 5 \ge 0} \right)\)
Cho \(P = \dfrac{{\sqrt {x - 5\sqrt x + 6} }}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 9\). Tính \({P^2}.\)
Điều kiện: \(x \ge 9.\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x - 5\sqrt x + 6} }}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt {x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6} }}{{\sqrt x - 2}}\\ = \dfrac{{\sqrt {\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)} }}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{{\sqrt {\sqrt x - 2} .\sqrt {\sqrt x - 3} }}{{{{\left( {\sqrt {\sqrt x - 2} } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {\sqrt x - 3} }}{{\sqrt {\sqrt x - 2} }} = \sqrt {\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}}} .\end{array}\)
\( \Rightarrow {P^2} = {\left( {\sqrt {\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}}} } \right)^2} = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}}.\)
Rút gọn \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{4}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 4\).
Với \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 4\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{4}{{x - 4}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{4}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2 - 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt x + 2}}\end{array}\)
Tính giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\) với \(x = 4 + \sqrt {15} \)
Điều kiện: \(x \ge 0.\)
Ta có: \(x = 4 + \sqrt {15} \) thỏa mãn điều kiện xác định.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2x = 8 + 2\sqrt {15} = 5 + 2\sqrt 5 .\sqrt 3 + 3 = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2}\\ \Rightarrow x = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{2}} = \dfrac{{\left| {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)
Thay \(\sqrt x = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\) vào \(A\) ta được: \(A = \dfrac{{2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}} = \sqrt 2 \)
Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.
Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $.
Kết quả của phép tính $\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} $ là?
$\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} = \sqrt {2,5.14,4} = \sqrt {36} = \sqrt {{6^2}} = 6$
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?
$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{ - 999}}{{111}}} $ là?
Vì $ - 999 < 0;111 > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 999}}{{111}} < 0$ nên không tồn tại căn bậc hai của số âm
Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?
Cách giải:
$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.
Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} $ với $a \ge \dfrac{1}{2}$ ta được
$\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} $
$= \left| {{a^2}} \right|.\left| {2a - 1} \right| = {a^2}.\left( {2a - 1} \right)$
(vì $a \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2a - 1 \ge 0 $
$\Rightarrow \left| {2a - 1} \right| = 2a - 1$)
Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} $ với $ 0 \le a < \dfrac{3}{2}$ ta được
$\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} = \left| {{a}} \right|.\left| {2a - 3} \right| $$= {a}.\left( {3-2a } \right)$
(vì $0 \le a <\dfrac{3}{2} \Rightarrow 2a - 3< 0$$ \Rightarrow \left| {2a - 3} \right| = 3-2a ) $
Rút gọn biểu thức $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $ với $x > 3$ ta được
Ta có $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = \sqrt {0,09.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $
$= \sqrt {0,09} .\sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = 0,3.\left| {3 - x} \right|$
Mà $x > 3 \Rightarrow 3 - x < 0 $
$\Leftrightarrow \left| {3 - x} \right| = x - 3$
Nên $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = 0,3.\left( {x - 3} \right)$.
Giá trị biểu thức $\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 2} $ khi $x = \sqrt {29} $ là
Ta có $\sqrt { {x - 2} }.\sqrt{ {x + 2} } = \sqrt {{x^2} - 4} $ với \(x \ge 2\).
Thay $x = \sqrt {29} $ ( TMĐK \( x \ge 2\) ) vào biểu thức ta được $\sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {29} } \right)}^2} - 4} $
$= \sqrt {25} = 5$.
Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được
$E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $$ = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt a .\sqrt b }}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{2\left| {a - b} \right|}}$
Mà $0 < a < b$ nên $a - b < 0 \Rightarrow \left| {a - b} \right| = - \left( {a - b} \right)$. Khi đó $E = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{ - 2\left( {a - b} \right)}} = \dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$.
