Cho hàm số bậc nhất $y = \left( {2m - 3} \right)x + 7$ có đồ thị là đường thẳng $d$. Tìm $m$ để $d{\rm{//}}d':y = 3x + 2$
Hàm số $y = \left( {2m - 3} \right)x + 7$ là hàm số bậc nhất khi $2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}$.
Để $d{\rm{//}}d'$ thì $\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 = 3\\7 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$ (thỏa mãn)
Vậy $m = 3$.
Cho hàm số bậc nhất $y = \left( {2m - 2} \right)x + m - 3$. Tìm $m$ để hàm số có đồ thị song song với đường thẳng $y = 3x - 3m$.
Hàm số $y = \left( {2m - 2} \right)x + m - 3$ là hàm số bậc nhất khi $2m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$.
Để $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 2 = 3\\m - 3 \ne - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{5}{2}\\m \ne \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2} (TM) $
Vậy $m = \dfrac{5}{2}$.
Hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\) trùng nhau khi
Cho hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\).
\(d\) trùng \(d'\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
Hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\) có \(a \ne a'\). Khi đó
Cho hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\).
\(d\) cắt \(d'\)\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
Cho hai đường thẳng \(d:y = - \dfrac{1}{2}x + 1\) và \(d':y = - \dfrac{1}{2}x + 2\). Khi đó
Ta thấy \(d:y = - \dfrac{1}{2}x + 1\) có \(a = - \dfrac{1}{2};b = 1\) và \(d':y = - \dfrac{1}{2}x + 2\) có \(a' = - \dfrac{1}{2};b = 2\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\left( { - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{2}} \right)\\b \ne b'\,\,\left( {1 \ne 2} \right)\end{array} \right.\) nên \(d//d'\) .
Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng \(d:y = \left( {3 - 2m} \right)x - 2\) và \(d':y = 4x - m + 2\). Với giá trị nào của \(m\) thì \(d\) cắt \(d'\)
Ta thấy \(d:y = \left( {3 - 2m} \right)x - 2\) có \(a = 3 - 2m\) và \(d':y = 4x - m + 2\) có \(a' = 4\) .
Để \(d:y = \left( {3 - 2m} \right)x - 2\) là hàm số bậc nhất thì \(3 - 2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}\)
Để \(d\) cắt \(d'\)\( \Leftrightarrow a \ne a'\)
\( \Leftrightarrow 3 - 2m \ne 4 \Leftrightarrow -2m \ne 1 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{-1}{2}\)
Vậy \(m \ne \left\{ {\dfrac{3}{2};\dfrac{-1}{2}} \right\}\).
Cho hai đường thẳng \(d:y = \left( {2m - 3} \right)x - 2\) và \(d':y = - x + m + 1\) là đồ thị của hai hàm số bậc nhất. Với giá trị nào của \(m\) thì \(d\) // \(d'\)?
Ta thấy \(d:y = \left( {2m - 3} \right)x - 2\) có \(a = 2m - 3;b = - 2\) và \(d':y = - x + m + 1\) có \(a' = - 1 \ne 0;b = m + 1\) .
Điều kiện để \(y = \left( {2m - 3} \right)x - 2\) là hàm số bậc nhất là \(a \ne 0 \Leftrightarrow 2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}.\)
Để \(d\) // \(d'\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3 = - 1\\ - 2 \ne m + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\) (TM) .
Cho hai đường thẳng \(d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}\) và \(d':y = - x + 1\) .Với giá trị nào của \(m\) thì
\(d\) \( \equiv \) \(d'\)?
Ta thấy \(d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}\) có \(a = 1 - m;b = \dfrac{m}{2}\) và \(d':y = - x + 1\) có \(a' = - 1;b = 1\) .
Điều kiện để \(d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}\) là hàm số bậc nhất \(1 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)
Để \(d\) \( \equiv \) \(d'\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m = - 1\\\dfrac{m}{2} = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\left( {tm} \right)\)
Vậy \(m = 2.\)
Cho hàm số \(y = 7mx - 3m + 2\). Tìm \(m\) để hàm số nhận giá trị là \(11\) khi \(x = 1\)
Thay \(x = 1;y = 11\) vào hàm số \(y = 7mx - 3m + 2\) ta được \(11 = 7m.1 - 3m + 2 \Leftrightarrow 4m = 9 \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{4}.\)
Vậy \(m = \dfrac{9}{4}.\)
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng \(3\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \( - 4\).
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là \(y = ax + b\,\,\)\(\left( {a \ne 0} \right)\)
Vì \(d\) cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng \(3\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \( - 4\) nên \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;3} \right);B\left( { - 4;0} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(a.0 + b = 3 \Rightarrow b = 3\).
Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(a.\left( { - 4} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{4}.\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = \dfrac{3}{4}x + 3\).
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) song song với đường thẳng \(d':y = - 2x - 5\) và đi qua điểm \(M\left( { - 1;4} \right)\).
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là \(y = ax + b\,\,\)\(\left( {a \ne 0} \right)\)
Vì \(d\) // \(d'\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b \ne - 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow d:y = - 2x + b\)
Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \( - 2.\left( { - 1} \right) + b = 4 \Leftrightarrow b = 2\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình đường thẳng \(d:y = - 2x + 2\).
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) vuông góc với đường thẳng \(d':y = \dfrac{1}{5}x + 2\) và đi qua điểm \(M\left( { - 4;2} \right)\).
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)
Vì \(d\)\( \bot \)\(d'\) nên \(a.\dfrac{1}{5} = - 1 \Leftrightarrow a = - 5\left( {TM} \right)\)\( \Rightarrow d:y = - 5x + b\)
Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \( - 5.\left( { - 4} \right) + b = 2 \Leftrightarrow b = - 18\)
Vậy phương trình đường thẳng \(d:y = - 5x - 18\).
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) vuông góc với đường thẳng \(y = 4x + 1\) và cắt đường thẳng \(y = x - 1\) tại điểm có tung độ bằng 3.
Gọi phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)
Vì \(d\)\( \bot \)\(d'\) nên \(a.4 = - 1 \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{4}\)\( \Rightarrow d:y = - \dfrac{1}{4}x + b\)
Gọi điểm \(M\left( {x;3} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(y = x - 1\)
Khi đó \(x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\)\( \Rightarrow M\left( {4;3} \right)\)
Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d:y = - \dfrac{1}{4}x + b\) ta được \( - \dfrac{1}{4}.4 + b = 3 \Leftrightarrow b = 4\)
Vậy phương trình đường thẳng \(d:y = - \dfrac{1}{4}x + 4\).
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) song song với đường thẳng \(y = - 5x - 3\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(5\) .
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là \(d:y = ax + b\,\,\)\(\left( {a \ne 0} \right)\)
Vì \(d\) song song với đường thẳng \(y = - 5x - 3\) nên \(a = - 5;b \ne - 3 \Rightarrow d:y = - 5x + b\)
Giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục hoành có tọa độ \(\left( {5;0} \right)\)
Thay \(x = 5;y = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d:y = - 5x + b\) ta được \( - 5.5 + b = 0 \Leftrightarrow b = 25\,\left( {TM} \right) \Rightarrow y = - 5x + 25\)
Vậy \(d:y = - 5x + 25\).
Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {3;3} \right);B\left( { - 1;4} \right)\)
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là \(y = ax + b\,\,\)\(\left( {a \ne 0} \right)\)
Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(3a + b = 3\)\( \Rightarrow b = 3 - 3a\)
Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \( - 1.a + b = 4\)\( \Rightarrow b = 4 + a\)
Suy ra \(3 - 3a = 4 + a \Leftrightarrow 4a = - 1 \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{4}\)\( \Rightarrow b = 4 + a = 4 + \left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{15}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{4}x + \dfrac{{15}}{4}\).
Vậy \(d:y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{{15}}{4}\).
Tìm điểm cố định mà đường thẳng \(d:y = \left( {5 - 2m} \right)x + m + 1\) đi qua với mọi \(m\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm cố định cần tìm khi đó
\(\left( {5 - 2m} \right)x + m + 1 = y\) đúng với mọi \(m\)
\( \Leftrightarrow - 2mx + m + 1 + 5x - y = 0\) đúng với mọi \(m\)
\( \Leftrightarrow m\left( { - 2x + 1} \right) + 1 - y + 5x = 0\) đúng với mọi \(m\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1 = 0\\1 - y + 5x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\1 - y + 5.\dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\)
Vậy điểm \(M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\) là điểm cố định cần tìm.
Tìm \(m\) để hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\,y = 2mx + 3\) và \({d_2}:\,\,\,y = \left( {m + 1} \right)x + 2\) song song.
Ta có: \({d_1}:\,\,\,y = 2mx + 3\) và \({d_2}:\,\,y = \left( {m + 1} \right)x + 2\) song song \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = m + 1\\3 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)
Cho 2 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 5x + m\). Hai đường thẳng đó trùng nhau khi:
Hai đường thẳng đề cho trùng nhau khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 = 5\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 2\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)
Biết đường thẳng \(d:y = mx + 4\) cắt \(Ox\) tại \(A\) , và cắt \(Oy\) tại \(B\) sao cho diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(6\) . Khi đó giá trị của \(m\) là:
\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = 4\\ \Rightarrow B(0;4) \Rightarrow OB = |4| = 4\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow mx_A + 4 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{{ - 4}}{m}\left( {m \ne 0} \right)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 4}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{4}{m}} \right|\end{array}\)
\({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 6 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.4.\left| {\dfrac{4}{m}} \right| = 6 \Leftrightarrow |m| = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{4}{3}.\)
Cho đường thẳng \(d:y = (k - 2)x - 1\). Tìm \(k\) để \(d\) cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(1\).
\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = - 1\\ \Rightarrow B(0; - 1) \Rightarrow OB = | - 1| = 1\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow (k - 2)x_A - 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{1}{{k - 2}}(k \ne 2)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{{k - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{1}{{k - 2}}} \right|\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\left| {\dfrac{1}{{k - 2}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow |k - 2| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{5}{2}\\k = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.(tmdk)\end{array}\)
