Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hàm số $y = \left( {2m - 3} \right)x + 7$ là hàm số bậc nhất khi $2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}$.

Để $d{\rm{//}}d'$ thì $\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 = 3\\7 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$ (thỏa mãn)

Vậy $m = 3$.

Hàm số $y = \left( {2m - 2} \right)x + m - 3$ là hàm số bậc nhất khi $2m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$.

Để $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 2 = 3\\m - 3 \ne  - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{5}{2}\\m \ne \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2} (TM)$

Vậy $m = \dfrac{5}{2}$.

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.

$d$ trùng $d'$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$.

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.

$d$ cắt $d'$$\Leftrightarrow a \ne a'$.

Ta thấy $d:y =  - \dfrac{1}{2}x + 1$ có $a =  - \dfrac{1}{2};b = 1$ và $d':y =  - \dfrac{1}{2}x + 2$ có $a' =  - \dfrac{1}{2};b = 2$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\left( { - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{2}} \right)\\b \ne b'\,\,\left( {1 \ne 2} \right)\end{array} \right.$ nên $d//d'$ .

Ta thấy $d:y = \left( {3 - 2m} \right)x - 2$ có $a = 3 - 2m$ và $d':y = 4x - m + 2$ có $a' = 4$ .

Để $d:y = \left( {3 - 2m} \right)x - 2$ là hàm số bậc nhất thì $3 - 2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}$

Để $d$ cắt $d'$$\Leftrightarrow a \ne a'$

$\Leftrightarrow 3 - 2m \ne 4 \Leftrightarrow -2m \ne 1 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{-1}{2}$

Vậy $m \ne \left\{ {\dfrac{3}{2};\dfrac{-1}{2}} \right\}$.

Ta thấy $d:y = \left( {2m - 3} \right)x - 2$ có $a = 2m - 3;b =  - 2$ và $d':y =  - x + m + 1$ có $a' =  - 1 \ne 0;b = m + 1$ .

Điều kiện để $y = \left( {2m - 3} \right)x - 2$ là hàm số bậc nhất là $a \ne 0 \Leftrightarrow 2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}.$

Để $d$ // $d'$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3 =  - 1\\ - 2 \ne m + 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$ (TM) .

Ta thấy $d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}$ có $a = 1 - m;b = \dfrac{m}{2}$ và $d':y =  - x + 1$ có $a' =  - 1;b = 1$ .

Điều kiện để $d:y = \left( {1 - m} \right)x + \dfrac{m}{2}$ là hàm số bậc nhất $1 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$

Để $d$ $\equiv$ $d'$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m =  - 1\\\dfrac{m}{2} =  1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\left( {tm} \right)$

Vậy $m = 2.$

Thay $x = 1;y = 11$ vào hàm số $y = 7mx - 3m + 2$ ta được $11 = 7m.1 - 3m + 2 \Leftrightarrow 4m = 9 \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{4}.$

Vậy $m = \dfrac{9}{4}.$

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,$$\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $3$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $- 4$ nên $d$ đi qua hai điểm $A\left( {0;3} \right);B\left( { - 4;0} \right)$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a.0 + b = 3 \Rightarrow b = 3$.

Thay tọa độ điểm $B$  vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a.\left( { - 4} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{4}.$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = \dfrac{3}{4}x + 3$.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,$$\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$ // $d'$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b \ne  - 5\end{array} \right.$$\Rightarrow d:y =  - 2x + b$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $- 2.\left( { - 1} \right) + b = 4 \Leftrightarrow b = 2$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng $d:y =  - 2x + 2$.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$$\bot$$d'$ nên $a.\dfrac{1}{5} =  - 1 \Leftrightarrow a =  - 5\left( {TM} \right)$$\Rightarrow d:y =  - 5x + b$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $- 5.\left( { - 4} \right) + b = 2 \Leftrightarrow b =  - 18$

Vậy phương trình đường thẳng $d:y =  - 5x - 18$.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$$\bot$$d'$ nên $a.4 =  - 1 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{4}$$\Rightarrow d:y =  - \dfrac{1}{4}x + b$

Gọi điểm $M\left( {x;3} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường thẳng $y = x - 1$

Khi đó  $x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$$\Rightarrow M\left( {4;3} \right)$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d:y =  - \dfrac{1}{4}x + b$ ta được $- \dfrac{1}{4}.4 + b = 3 \Leftrightarrow b = 4$

Vậy phương trình đường thẳng $d:y =  - \dfrac{1}{4}x + 4$.

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $d:y = ax + b\,\,$$\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$ song song với đường thẳng $y =  - 5x - 3$ nên $a =  - 5;b \ne  - 3 \Rightarrow d:y =  - 5x + b$

Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành có tọa độ $\left( {5;0} \right)$

Thay $x = 5;y = 0$ vào phương trình đường thẳng $d:y =  - 5x + b$ ta được $- 5.5 + b = 0 \Leftrightarrow b = 25\,\left( {TM} \right) \Rightarrow y =  - 5x + 25$

Vậy $d:y =  - 5x + 25$.

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$$\left( {a \ne 0} \right)$

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $3a + b = 3$$\Rightarrow b = 3 - 3a$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $- 1.a + b = 4$$\Rightarrow b = 4 + a$

Suy ra $3 - 3a = 4 + a \Leftrightarrow 4a =  - 1 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{4}$$\Rightarrow b = 4 + a = 4 + \left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{15}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{4}x + \dfrac{{15}}{4}$.

Vậy $d:y =  - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{{15}}{4}$.

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm khi đó

$\left( {5 - 2m} \right)x + m + 1 = y$ đúng với mọi $m$

$\Leftrightarrow  - 2mx + m + 1 + 5x - y = 0$ đúng với mọi $m$

$\Leftrightarrow m\left( { - 2x + 1} \right) + 1 - y + 5x = 0$ đúng với mọi $m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1 = 0\\1 - y + 5x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\1 - y + 5.\dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$

Vậy điểm $M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$ là điểm cố định cần tìm.

Ta có: ${d_1}:\,\,\,y = 2mx + 3$ và ${d_2}:\,\,y = \left( {m + 1} \right)x + 2$ song song $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = m + 1\\3 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.$

Hai đường thẳng đề cho trùng nhau khi: $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 = 5\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 2\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$

$\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = 4\\ \Rightarrow B(0;4) \Rightarrow OB = |4| = 4\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow mx_A + 4 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{{ - 4}}{m}\left( {m \ne 0} \right)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 4}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{4}{m}} \right|\end{array}$

${S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 6 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.4.\left| {\dfrac{4}{m}} \right| = 6 \Leftrightarrow |m| = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m =  \pm \dfrac{4}{3}.$

$\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B =  - 1\\ \Rightarrow B(0; - 1) \Rightarrow OB = | - 1| = 1\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow (k - 2)x_A - 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{1}{{k - 2}}(k \ne 2)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{{k - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{1}{{k - 2}}} \right|\end{array}$

$\begin{array}{l}{S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\left| {\dfrac{1}{{k - 2}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow |k - 2| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{5}{2}\\k = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.(tmdk)\end{array}$