Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$ cắt nhau khi
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
\(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$ có $a = a'$ và $b \ne b'$. Khi đó
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.
+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+) \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\).
+) \(d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).
+) \(d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\).
Cho hai đường thẳng $d:y = x + 3$ và $d':y = - 2x$. Khi đó
Ta thấy $d:y = x + 3$ có $a = 1$ và $d':y = - 2x$ có $a' = - 2$$ \Rightarrow a \ne a'\left( {1 \ne - 2} \right)$ nên $d$ cắt $d'$.
Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$. Với giá trị nào của $m$ thì $d$ cắt $d'$?
+) Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ có $a = m + 2$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ có $a' = - 2$ .
+) Để $y = \left( {m + 2} \right)x - m$ là hàm số bậc nhất thì $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$
+) Để \(d\) cắt $d'$\( \Leftrightarrow a \ne a'\)
$ \Leftrightarrow m + 2 \ne - 2 \Leftrightarrow m \ne - 4$
Vậy $m \ne \left\{ { - 2; - 4} \right\}$.
Cho hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ là đồ thị của hai hàm số bậc nhất. Với giá trị nào của $m$ thì $d$//$d'$
Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ có $a = m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ có $a' = - 2 \ne 0$ .
Để \(d\)//$d'$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = - 2\\ - m \ne - 2m + 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 4$ (TM) .
Cho hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ .Với giá trị nào của $m$ thì $d \equiv d'$?
+) Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x - m$ có $a = m + 2$ và $d':y = - 2x - 2m + 1$ có $a' = - 2$ .
+) Điều kiện để $y = \left( {m + 2} \right)x - m$ là hàm số bậc nhất $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$
+) Để \(d\)$ \equiv $$d'$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = - 2\\ - m = - 2m + 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 1\end{array} \right.$ (vô lý)
Vậy không có giá trị nào của $m$ để \(d\)$ \equiv $$d'$.
Cho hàm số bậc nhất $y = \left( {2m - 3} \right)x + 7$ có đồ thị là đường thẳng $d$. Tìm $m$ để $d{\rm{//}}d':y = 3x + 2$
Hàm số $y = \left( {2m - 3} \right)x + 7$ là hàm số bậc nhất khi $2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}$.
Để $d{\rm{//}}d'$ thì $\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 = 3\\7 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$ (thỏa mãn)
Vậy $m = 3$.
Cho hàm số $y = \left( {m - 5} \right)x - 4$. Tìm $m$ để hàm số nhận giá trị là $5$ khi $x = 3$.
Thay $x = 3;y = 5$ vào hàm số $y = \left( {m - 5} \right)x - 4$ ta được $\left( {m - 5} \right).3 - 4 = 5 \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right).3 = 9 \Leftrightarrow m - 5 = 3 \Leftrightarrow m = 8$
Vậy $m = 8$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ - 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $1$.
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$
Vì $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ - 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $1$ nên $d$ đi qua hai điểm $A\left( {0; - 2} \right);B\left( {1;0} \right)$.
Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a.0 + b = - 2 \Rightarrow b = - 2$.
Thay tọa độ điểm $B$ và $b = - 2$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a.1 - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = 2x - 2$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với đường thẳng $d':y = 3x + 1$ và đi qua điểm $M\left( { - 2;2} \right)$.
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$
Vì $d$//$d'$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow d:y = 3x + b$
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $3.\left( { - 2} \right) + b = 2 \Leftrightarrow b = 8$( thỏa mãn)
Vậy phương trình đường thẳng $d:y = 3x + 8$
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với đường thẳng $d':y = - \dfrac{1}{2}x + 3$ và đi qua điểm $M\left( {2; - 1} \right)$.
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$
Vì $d$$ \bot $$d'$ nên $a.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow a = 2$ (TM)
$ \Rightarrow d:y = 2x + b$
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $2.2 + b = - 1 \Leftrightarrow b = - 5$
Vậy phương trình đường thẳng $d:y = 2x - 5$.
Cho hàm số bậc nhất $y = \left( {2m - 2} \right)x + m - 3$. Tìm $m$ để hàm số có đồ thị song song với đường thẳng $y = 3x - 3m$.
Hàm số $y = \left( {2m - 2} \right)x + m - 3$ là hàm số bậc nhất khi $2m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$.
Để $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 2 = 3\\m - 3 \ne - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{5}{2}\\m \ne \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2} (TM) $
Vậy $m = \dfrac{5}{2}$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết \(d\) vuông góc với đường thẳng \(y = \dfrac{1}{3}x + 3\) và cắt đường thẳng \(y = 2x + 1\) tại điểm có tung độ bằng 5.
Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$
Vì $d$$ \bot $$d'$ nên $a.\dfrac{1}{3} = - 1 \Leftrightarrow a = - 3$$ \Rightarrow d:y = - 3x + b$
Gọi điểm $M\left( {x;5} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường thẳng \(y = 2x + 1\)
Khi đó $2x + 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$$ \Rightarrow M\left( {2;5} \right)$
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ - 3.2 + b = 5 \Leftrightarrow b = 11$
Vậy phương trình đường thẳng $d:y = - 3x + 11$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết \(d\) song song với đường thẳng \(y = - 2x + 1\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(3\) .
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0).$
Vì \(d\) song song với đường thẳng \(y = - 2x + 1\) nên $a = - 2;b \ne 1 \Rightarrow y = - 2x + b$
Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành có tọa độ $\left( {3;0} \right)$
Thay $x = 3;y = 0$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ - 2.3 + b = 0 \Leftrightarrow b = 6\,\left( {TM} \right) \Rightarrow y = - 2x + 6$
Vậy $d:y = - 2x + 6$.
Viết phương trình đường thẳng $d$ biết \(d\) đi qua hai điểm $A\left( {1;2} \right);B\left( { - 2;0} \right).$
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$
Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a + b = 2$$ \Rightarrow b = 2 - a$
Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ - 2a + b = 0$$ \Rightarrow b = 2a$
Suy ra $2a = 2 - a \Leftrightarrow a = \dfrac{2}{3}$ (TM)
$ \Rightarrow b = 2.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$.
Vậy $d:y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$.
Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d:y = 3mx - \left( {m + 3} \right)$ đi qua với mọi $m$.
Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm khi đó
$3mx - \left( {m + 3} \right) = y\,$ đúng với mọi $m$
$ \Leftrightarrow 3mx - m - 3 - y = 0$ đúng với mọi $m$
$ \Leftrightarrow m\left( {3x - 1} \right) + - 3 - y = 0$ đúng với mọi $m$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\ - 3 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{3}; - 3} \right)$
Vậy điểm $M\left( {\dfrac{1}{3}; - 3} \right)$ là điểm cố định cần tìm.
Cho tam giác \(ABC\) có đường thẳng \(BC:y = - \dfrac{1}{3}x + 1\) và \(A\left( {1,2} \right)\) . Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\) .
Giả sử \(AH:y = {\rm{ax}} + b\)
Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên: \(a.\dfrac{{ - 1}}{3} = - 1 \Leftrightarrow a = 3\)
Mặt khác \(AH\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\) nên ta có: \(3.1 + b = 2 \Leftrightarrow b = - 1\)
Vậy \(AH:y = 3x - 1\).
Cho đường thẳng \(d:y = ({m^2} - 2m + 2)x + 4\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(Ox\) tại \(A\) và cắt \(Oy\) tại \(B\) sao cho diện tích tam giác \(AOB\) lớn nhất.
\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = 4 \Rightarrow B(0;4) \Rightarrow OB = |4| = 4\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 2m + 2)x_A + 4 = 0 \\\Leftrightarrow x_A = \dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}};0} \right)\\ \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right|\end{array}\)
\({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB \)\(= \dfrac{1}{2}.4.\left| {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right| \)\(= \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}}\)
Ta có \({(m - 1)^2} + 1 \ge 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\forall m}\end{array}\)
Do đó \({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}} \le \dfrac{8}{1} = 8\)
Dấu “=” xảy ra khi \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Hay tam giác \(OAB\) có diện tích lớn nhất là \(8\) khi \(m=1.\)
Điểm cố định mà đường thẳng \(d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}x + \sqrt k + \sqrt 3(k \ge 0)\) luôn đi qua là:
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà d luôn đi qua.
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}{x_0} + \sqrt k + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k {x_0} + {x_0} + \sqrt {3k} - \sqrt k - \sqrt 3 + 3 - \sqrt 3 {y_0} + {y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k ({x_0} + \sqrt 3 - 1) + {x_0} + 3 - \sqrt 3 + (1 - \sqrt 3 ){y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + \sqrt 3 - 1 = 0\\{x_0} + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ) + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + 4 - 2\sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + {(1 - \sqrt 3 )^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\{y_0} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)\)là điểm cố định mà d luôn đi qua.
Cho đường thẳng \(d:y = (2m + 1)x - 1\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(\dfrac{1}{2}\).
\(\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow x_B = 0 \Rightarrow y_B = - 1\\ \Rightarrow B(0; - 1) \Rightarrow OB = | - 1| = 1\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\} \Rightarrow y_A = 0 \\\Leftrightarrow (2m + 1)x - 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{1}{{2m + 1}}(m \ne \dfrac{{ - 1}}{2})\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{{2m + 1}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{1}{{2m + 1}}} \right|\end{array}\)
\({S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\left| {\dfrac{1}{{2m + 1}}} \right| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow |2m + 1| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 1\end{array} \right.(tmdk)\)
