Cho hệ phương trình {x−y=53x+2y=18có nghiệm (x;y). Tích x.y là
Ta có {x−y=53x+2y=18⇔{x=y+53.(y+5)+2y=18⇔{x=y+53y+15+2y=18⇔{x=y+55y=3⇔{y=35x=5+35⇔{x=285y=35
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(285;35)⇒x.y=8425
Cho hệ phương trình {x−y=33x−4y=2có nghiệm (x;y). Tích x2.y là
Ta có {x−y=33x−4y=2⇔{x=y+33(y+3)−4y=2⇔{x=y+3y=7⇔{x=10y=7
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(10;7)
Do đó x2y=102.7=700
Cho hệ phương trình {7x−3y=54x+y=2có nghiệm (x;y). Tổng x+y là
Ta có {7x−3y=54x+y=2⇔{7x−3(2−4x)=5y=2−4x⇔{x=1119y=2−4.1119⇔{x=1119y=−619
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1119;−619)⇒x+y=519
Hệ phương trình {x√2−y√3=1x+y√3=√2 có bao nhiêu nghiệm?
Ta có {x√2−y√3=1x+y√3=√2⇔{(√2−y√3)√2−y√3=1x=√2−y√3⇔{2−y(√6+√3)=1x=√2−y√3⇔{y(√6+√3)=1x=√2−y√3⇔{y=√6−√33x=√2−y√3⇔{y=√6−√33x=1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;√6−√33)
Cho hệ phương trình {(x+1)(y−3)=(x−1)(y+3)(x−3)(y+1)=(x+1)(y−3) . Chọn câu đúng.
Ta có {(x+1)(y−3)=(x−1)(y+3)(x−3)(y+1)=(x+1)(y−3)⇔{xy−3x+y−3=xy+3x−y−3xy+x−3y−3=xy−3x+y−3⇔{6x−2y=04x−4y=0
⇔{x=y6y−2y=0⇔{x=y4y=0⇔{x=yy=0⇔{x=0y=0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;0).
Cho hệ phương trình {2x+by=−4bx−ay=−5. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là (1;−2) ,tính a+b.
Thay x=1;y=−2 vào hệ ta được {2+b(−2)=−4b−a(−2)=−5
Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là a và b và giải hệ phương trình này
{2+b(−2)=−4b−a(−2)=−5⇔{−2b=−6b+2a=−5⇔{b=33+2.a=−5⇔{b=3a=−4
Suy ra a+b=−4+3=−1.
Cho hai đường thẳng : d1:mx−2(3n+2)y=18 và d2:(3m−1)x+2ny=−37 . Tìm các giá trị của m và n để d1,d2 cắt nhau tại điểm I(−5;2).
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d1 ta được m.(−5)−2(3n+2).2=18⇔−5m−12n−8=18⇔5m+12n=−26
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d2 ta được (3m−1).(−5)+2n.2=−37⇔−15m+5+4n=−37⇔15m−4n=42
Suy ra hệ phương trình
{5m+12n=−2615m−4n=42⇔{5m+12n=−26n=15m−424⇔{n=15m−4245m+12.15m−424=−26⇔{n=15m−4245m+3(15m−42)=−26⇔{n=15m−42450m−126=−26⇔{m=2n=−3
Vậy m=2;n=−3.
Tìm a, b để đường thẳng y=ax+b đi qua hai điểm A(2;1) và B(−2;3)
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được 2a+b=1
Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được −2a+b=3
Từ đó ta có hệ phương trình {2a+b=1−2a+b=3⇔{b=1−2a−2a+1−2a=3⇔{a=−12b=1−2.(−12)⇔{a=−12b=2
Vậy a=−12;b=2.
Hệ phương trình {2xx+1+yy+1=3xx+1+3yy+1=−1 có nghiệm là
Điều kiện: x≠−1;y≠−1
Ta có {2xx+1+yy+1=3xx+1+3yy+1=−1⇔{2.xx+1+yy+1=3xx+1+3.yy+1=−1
Đặt xx+1=a;yy+1=b khi đó ta có hệ phương trình
{2a+b=3a+3b=−1⇔{b=3−2aa+3(3−2a)=−1⇔{b=3−2aa+9−6a=−1⇔{b=3−2a−5a=−10⇔{a=2b=3−2.2⇔{a=2b=−1
Thay trở lại cách đặt ta được
{xx+1=2yy+1=−1⇔{x=2x+2y=−y−1⇔{x=−2y=−12 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(−2;−12).
Cho hệ phương trình {23x−9y+6x+√y=34x−3y−9x+√y=1(y≥0;x≠3y). Nếu đặt 1x−3y=a;1x+√y=b ta được hệ phương trình mới là:
Ta có {23x−9y+6x+√y=34x−3y−9x+√y=1⇔{23.1x−3y+6.1x+√y=34.1x−3y−9.1x+√y=1
Đặt 1x−3y=a;1x+√y=b ta được hệ phương trình {23a+6b=34a−9b=1
Biết nghiệm của hệ phương trình {13x+13y=1456x+1y=23là (x;y). Tính x−3y
Điều kiện: x≠0;y≠0
Ta có {13x+13y=1456x+1y=23⇔{13.1x+13.1y=1456.1x+1y=23
Đặt 1x=a;1y=b khi đó ta có hệ phương trình
{13a+13b=1456a+b=23⇔{13a+13b=14b=23−56a⇔{b=23−56a13a+13b=14⇔{b=23−56a13a+13(23−56a)=14
⇔{b=23−56a13a+29−518b=14⇔{b=23−56a118b=136⇔{b=12a=14
Thay lại cách đặt ta được
{1x=141y=12⇔{x=4y=2 (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó x−3y=4−3.2=−2.
Nghiệm của hệ phương trình {2(x+y)+3(x−y)=4(x+y)+2(x−y)=5 là (x;y).
Chọn câu đúng.
Ta có \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x - 3y = 4\\x + y + 2x - 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\y = 3x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - \left( {3x - 5} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - 3x + 5 = 4\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\ x = - \dfrac {1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac {1}{2}\\y = 3. \dfrac {-1}{2} - 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac {1}{2}\\y = - \dfrac {13}{2}\end{array} \right.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) = \left( {- \dfrac {1}{2};- \dfrac {13}{2}} \right).
\Rightarrow x >y và x - y = 6.
Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}x - y = \dfrac{2}{3}\\x + 3y = 2\end{array} \right.. Nghiệm của hệ phương trình là
Ta có \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}x - y = \dfrac{2}{3}\\x + 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x + 3\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x + x - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)
Tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức Q\left( x \right) = \left( {3m - 1} \right){x^3} - \left( {2n - 5} \right){x^2} - nx - 9m - 72 đồng thời chia hết cho x - 2 và x + 3.
Ta sử dụng: Đa thức Q\left( x \right) chia hết cho đa thức x - a khi và chỉ khi Q\left( a \right) = 0
Áp dụng mệnh đề đã cho với a = 2, rồi với a = - 3, ta có
Q\left( 2 \right) = \left( {3m - 1} \right){2^3} - \left( {2n - 5} \right){2^2} - n.2 - 9m - 72 = 24m - 8 - 8n + 20 - 2n - 9m - 72 = 15m - 10n - 60
Q\left( { - 3} \right) = \left( {3m - 1} \right){\left( { - 3} \right)^3} - \left( {2n - 5} \right){\left( { - 3} \right)^2} - n.\left( { - 3} \right) - 9m - 72 = - 81m + 27 - 18n + 45 + 3n - 9m - 72 = - 90m - 15n
Theo giả thiết, Q\left( x \right) chia hết cho x - 2 nên Q\left( 2 \right) = 0 tức là 15m - 10n - 60 = 0(1)
Tương tự, vì Q\left( x \right) chia hết cho x + 3 nên Q\left( { - 3} \right) = 0 tức là - 90m - 15n = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}15m - 10n - 60 = 0\\ - 90m - 15n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 6m\\15m - 10\left( { - 6m} \right) = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{4}{5}\\n = - \dfrac{{24}}{5}\end{array} \right.
Trả lời: Vậy m = \dfrac{4}{5};n = - \dfrac{{24}}{5}.
Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {x + 2y} \right) = - 2\\3\left( {x + y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 1\end{array} \right. ta được nghiệm là:
\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {x + 2y} \right) = - 2\\3\left( {x + y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\4x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\y = 1 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\left( {1 - 4x} \right) = - 2\\y = 1 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = - 1\end{array} \right.
Vậy hệ phương trình có nghiệm \left( {x;y} \right) là \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right).
Tìm giá trị của a, b để hai hệ phương trình \left\{ \begin{align} & x-y=2 \\ & 3x+y=1 \\\end{align} \right. và \left\{ \begin{align} & ax-y=1 \\ & x+by=2 \\\end{align} \right. tương đương.
Ta có:
\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 3x + y = 2 + 1\\x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 3\\y = x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\y = \dfrac{3}{4} - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\y = \dfrac{{ - 5}}{4}\end{array} \right.
Thay x=\dfrac{3}{4},y=\dfrac{-5}{4} vào hệ \left\{ \begin{align} & ax-y=1 \\ & x+by=2 \\\end{align} \right. ta được
\left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} - \left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 1\\\dfrac{3}{4} + b.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} = 1 + \left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right)\\b.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 2 - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\b.\dfrac{{ - 5}}{4} = \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 1}}{3}\\b = - 1\end{array} \right.
Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: \left\{ \begin{array}{l}2x + my = m + 2\\\left( {m + 1} \right)x + 2my = 2m + 4\end{array} \right.
\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x + my = m + 2\\\left( {m + 1} \right)x + 2my = 2m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\\dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\left( {m + 1} \right) + 2my = 2m + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\\left( {m + 2} \right)\left( {m + 1} \right) - my\left( {m + 1} \right) + 4my = 4m + 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\y\left( { - {m^2} + 3m} \right) = - {m^2} + m + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\m\left( {m - 3} \right)y = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right)\end{array} \right.\end{array}
Để hệ có vô số nghiệm khi phương trình m\left( {m - 3} \right)y = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) có vô số nghiệm
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 3} \right) = 0\\\left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3
Vậy m = 3 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình : \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x + 8y = 4a\\ax + \left( {a + 3} \right)y = 3a - 1\end{array} \right. có vô số nghiệm.
\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x + 8y = 4a\\ax + \left( {a + 3} \right)y = 3a - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\ax + \left( {a + 3} \right)\dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8} = 3a - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\8ax + \left( {a + 3} \right)\left[ {4a - \left( {a + 1} \right)x} \right] = 24a - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\8ax + 4a\left( {a + 3} \right) - \left( {a + 3} \right)\left( {a + 1} \right)x = 24a - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{(4a - (a + 1)x)}}{8}\\x\left( {{a^2} - 4a + 3} \right) = 4\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\\left( {a - 1} \right)\left( {a - 3} \right)x = 4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)\end{array} \right.\end{array}
Để hệ phương trình có vô số nghiệm khi phương trình \left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)x = 4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right) có vô số nghiệm.
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {a - 3} \right) = 0\\4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1.
Vậy a = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right. có nghiệm là:
\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 + y} \right) + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\2 + 2y + y = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\3y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\end{array}
Giải hệ phương trình : \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{y^2}}} = 3\\\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{6}{{{y^2}}} = 10\end{array} \right., ta được các nghiệm là:
Điều kiện x \ne 0;y \ne 0.
Đặt \dfrac{1}{{{x^2}}} = a;\,\,\dfrac{1}{{{y^2}}} = b\,\,\left( {a,b > 0} \right) khi đó hệ phương trình trở thành:
\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 3\\4a + 6b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\4\left( {3 - 2b} \right) + 6b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} = 1\\\dfrac{1}{{{y^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.
Vậy hệ phương trình ban đầu có 4 nghiệm \left( { - 1;1} \right),\left( {1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right).