Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích $x.y$ là
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\3.\left( {y + 5} \right) + 2y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\3y + 15 + 2y = 18\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\5y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{5}\\x = 5 + \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1}x = \dfrac{28}{5}\\y = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{28}{5};\dfrac{3}{5}} \right) \Rightarrow x.y = \dfrac{84}{25}$
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2\end{array} \right.\)có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích ${x^2}.y$ là
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\3\left( {y + 3} \right) - 4y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 7\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {10;7} \right)\)
Do đó \({x^2}y = {10^2}.7 = 700\)
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right.\)có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tổng $x + y$ là
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 3\left( {2 - 4x} \right) = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = 2 - 4.\dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = - \dfrac{6}{{19}}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{11}}{{19}}; - \dfrac{6}{{19}}} \right) \Rightarrow x + y = \dfrac{5}{{19}}$
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt 2 - y\sqrt 3 } \right)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - y\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right) = 1\\x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right) = 1\\x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\x = 1\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)
Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {y + 3} \right)}\\{\left( {x - 3} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y - 3} \right)}\end{array}} \right.\) . Chọn câu đúng.
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {y + 3} \right)}\\{\left( {x - 3} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y - 3} \right)}\end{array}} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 3x + y - 3 = xy + 3x - y - 3\\xy + x - 3y - 3 = xy - 3x + y - 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 0\\4x - 4y = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\6y - 2y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 4\\bx - ay = - 5\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$ ,tính $a + b$.
Thay $x = 1;y = - 2$ vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2 + b\left( { - 2} \right) = - 4\\b - a\left( { - 2} \right) = - 5\end{array} \right.\)
Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là \(a\) và \(b\) và giải hệ phương trình này
\(\left\{ \begin{array}{l}2 + b\left( { - 2} \right) = - 4\\b - a\left( { - 2} \right) = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b = - 6\\b + 2a = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\3 + 2.a = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = - 4\end{array} \right.\)
Suy ra $a + b = - 4 + 3 = - 1$.
Cho hai đường thẳng : \({d_1}:mx - 2(3n + 2)y = 18\) và \({d_2}:(3m - 1)x + 2ny = - 37\) . Tìm các giá trị của m và n để \({d_1},{d_2}\) cắt nhau tại điểm $I\left( { - 5;2} \right).$
+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_1}$ ta được $m.\left( { - 5} \right) - 2\left( {3n + 2} \right).2 = 18 \Leftrightarrow - 5m - 12n - 8 = 18 \Leftrightarrow 5m + 12n = - 26$
+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_2}$ ta được $\left( {3m - 1} \right).\left( { - 5} \right) + 2n.2 = - 37 \Leftrightarrow - 15m + 5 + 4n = - 37 \Leftrightarrow 15m - 4n = 42$
Suy ra hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\15m - 4n = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m + 12n = - 26\\n = \dfrac{{15m - 42}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = \dfrac{{15m - 42}}{4}\\5m + 12.\dfrac{{15m - 42}}{4} = - 26\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = \dfrac{{15m - 42}}{4}\\5m + 3\left( {15m - 42} \right) = - 26\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = \dfrac{{15m - 42}}{4}\\50m - 126 = - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 3\end{array} \right.$
Vậy $m = 2;n = - 3.$
Tìm a, b để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( { - 2;3} \right)\)
Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng ta được $2a + b = 1$
Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng ta được $ - 2a + b = 3$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\ - 2a + b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1 - 2a\\ - 2a + 1 - 2a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = 1 - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.$
Vậy $a = - \dfrac{1}{2};b = 2$.
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = 3}\\{\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1}\end{array}} \right.\) có nghiệm là
Điều kiện: $x \ne - 1;y \ne - 1$
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = 3}\\{\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = 3}\\{\dfrac{x}{{x + 1}} + 3.\dfrac{y}{{y + 1}} = - 1}\end{array}} \right.\)
Đặt $\dfrac{x}{{x + 1}} = a;\dfrac{y}{{y + 1}} = b$ khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 3\\a + 3b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - 2a\\a + 3\left( {3 - 2a} \right) = - 1\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - 2a\\a + 9 - 6a = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3 - 2a\\ - 5a = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3 - 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\)
Thay trở lại cách đặt ta được
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} = 2\\\dfrac{y}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x + 2\\y = - y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - \dfrac{1}{2}} \right)$.
Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{{3x - 9y}} + \dfrac{6}{{x + \sqrt y }} = 3}\\{\dfrac{4}{{x - 3y}} - \dfrac{9}{{x + \sqrt y }} = 1}\end{array}} \right.\,\,\left( {y \ge 0;x \ne 3y} \right)\). Nếu đặt $\dfrac{1}{{x - 3y}} = a;\dfrac{1}{{x + \sqrt y }} = b$ ta được hệ phương trình mới là:
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{{3x - 9y}} + \dfrac{6}{{x + \sqrt y }} = 3}\\{\dfrac{4}{{x - 3y}} - \dfrac{9}{{x + \sqrt y }} = 1}\end{array}} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{x - 3y}} + 6.\dfrac{1}{{x + \sqrt y }} = 3}\\{4.\dfrac{1}{{x - 3y}} - 9.\dfrac{1}{{x + \sqrt y }} = 1}\end{array}} \right.$
Đặt $\dfrac{1}{{x - 3y}} = a;\dfrac{1}{{x + \sqrt y }} = b$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{3}a + 6b = 3\\4a - 9b = 1\end{array} \right.$
Biết nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{3x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{4}}\\{\dfrac{5}{{6x}} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)là $\left( {x;y} \right)$. Tính $x - 3y$
Điều kiện: $x \ne 0;y \ne 0$
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{3x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{4}}\\{\dfrac{5}{{6x}} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}}\\{\dfrac{5}{6}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)
Đặt $\dfrac{1}{x} = a;\dfrac{1}{y} = b$ khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}a + \dfrac{1}{3}b = \dfrac{1}{4}\\\dfrac{5}{6}a + b = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}a + \dfrac{1}{3}b = \dfrac{1}{4}\\b = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}a\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}a\\\dfrac{1}{3}a + \dfrac{1}{3}b = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}a\\\dfrac{1}{3}a + \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}a} \right) = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}a\\\dfrac{1}{3}a + \dfrac{2}{9} - \dfrac{5}{{18}}b = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}a\\\dfrac{1}{{18}}b = \dfrac{1}{{36}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\a = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Thay lại cách đặt ta được
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.$ (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó $x - 3y = 4 - 3.2 = - 2$.
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.$ là $\left( {x;y} \right)$.
Chọn câu đúng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x - 3y = 4\\x + y + 2x - 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\y = 3x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - \left( {3x - 5} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - 3x + 5 = 4\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\ x = - \dfrac {1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac {1}{2}\\y = 3. \dfrac {-1}{2} - 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac {1}{2}\\y = - \dfrac {13}{2}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {- \dfrac {1}{2};- \dfrac {13}{2}} \right)$.
$ \Rightarrow x >y$ và \(x - y = 6.\)
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}x - y = \dfrac{2}{3}\\x + 3y = 2\end{array} \right.$. Nghiệm của hệ phương trình là
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}x - y = \dfrac{2}{3}\\x + 3y = 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x + 3\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}} \right) = 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x + x - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)$
Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức \(Q\left( x \right) = \left( {3m - 1} \right){x^3} - \left( {2n - 5} \right){x^2} - nx - 9m - 72\) đồng thời chia hết cho \(x - 2\) và \(x + 3\).
Ta sử dụng: Đa thức \(Q\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(Q\left( a \right) = 0\)
Áp dụng mệnh đề đã cho với \(a = 2,\) rồi với \(a = - 3,\) ta có
\(Q\left( 2 \right) = \left( {3m - 1} \right){2^3} - \left( {2n - 5} \right){2^2} - n.2 - 9m - 72\)\( = 24m - 8 - 8n + 20 - 2n - 9m - 72 = 15m - 10n - 60\)
\(Q\left( { - 3} \right) = \left( {3m - 1} \right){\left( { - 3} \right)^3} - \left( {2n - 5} \right){\left( { - 3} \right)^2} - n.\left( { - 3} \right) - 9m - 72\)\( = - 81m + 27 - 18n + 45 + 3n - 9m - 72 = - 90m - 15n\)
Theo giả thiết, \(Q\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) nên \(Q\left( 2 \right) = 0\) tức là \(15m - 10n - 60 = 0\)(1)
Tương tự, vì \(Q\left( x \right)\) chia hết cho \(x + 3\) nên \(Q\left( { - 3} \right) = 0\) tức là \( - 90m - 15n = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}15m - 10n - 60 = 0\\ - 90m - 15n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 6m\\15m - 10\left( { - 6m} \right) = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{4}{5}\\n = - \dfrac{{24}}{5}\end{array} \right.\)
Trả lời: Vậy \(m = \dfrac{4}{5};n = - \dfrac{{24}}{5}\).
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {x + 2y} \right) = - 2\\3\left( {x + y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 1\end{array} \right.\) ta được nghiệm là:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {x + 2y} \right) = - 2\\3\left( {x + y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\4x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\y = 1 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\left( {1 - 4x} \right) = - 2\\y = 1 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = - 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).
Tìm giá trị của a, b để hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & x-y=2 \\ & 3x+y=1 \\\end{align} \right.\) và \(\left\{ \begin{align} & ax-y=1 \\ & x+by=2 \\\end{align} \right.\) tương đương.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 3x + y = 2 + 1\\x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 3\\y = x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\y = \dfrac{3}{4} - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\y = \dfrac{{ - 5}}{4}\end{array} \right.\)
Thay \(x=\dfrac{3}{4},y=\dfrac{-5}{4}\) vào hệ \(\left\{ \begin{align} & ax-y=1 \\ & x+by=2 \\\end{align} \right.\) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} - \left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 1\\\dfrac{3}{4} + b.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} = 1 + \left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right)\\b.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 2 - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\b.\dfrac{{ - 5}}{4} = \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 1}}{3}\\b = - 1\end{array} \right.\)
Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + my = m + 2\\\left( {m + 1} \right)x + 2my = 2m + 4\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x + my = m + 2\\\left( {m + 1} \right)x + 2my = 2m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\\dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\left( {m + 1} \right) + 2my = 2m + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\\left( {m + 2} \right)\left( {m + 1} \right) - my\left( {m + 1} \right) + 4my = 4m + 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\y\left( { - {m^2} + 3m} \right) = - {m^2} + m + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\m\left( {m - 3} \right)y = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để hệ có vô số nghiệm khi phương trình \(m\left( {m - 3} \right)y = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right)\) có vô số nghiệm
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 3} \right) = 0\\\left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\)
Vậy \(m = 3\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x + 8y = 4a\\ax + \left( {a + 3} \right)y = 3a - 1\end{array} \right.\) có vô số nghiệm.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x + 8y = 4a\\ax + \left( {a + 3} \right)y = 3a - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\ax + \left( {a + 3} \right)\dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8} = 3a - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\8ax + \left( {a + 3} \right)\left[ {4a - \left( {a + 1} \right)x} \right] = 24a - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\8ax + 4a\left( {a + 3} \right) - \left( {a + 3} \right)\left( {a + 1} \right)x = 24a - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{(4a - (a + 1)x)}}{8}\\x\left( {{a^2} - 4a + 3} \right) = 4\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\\left( {a - 1} \right)\left( {a - 3} \right)x = 4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để hệ phương trình có vô số nghiệm khi phương trình \(\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)x = 4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)\) có vô số nghiệm.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {a - 3} \right) = 0\\4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1.\)
Vậy \(a = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right.\) có nghiệm là:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 + y} \right) + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\2 + 2y + y = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\3y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\end{array}\)
Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{y^2}}} = 3\\\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{6}{{{y^2}}} = 10\end{array} \right.\), ta được các nghiệm là:
Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0.\)
Đặt \(\dfrac{1}{{{x^2}}} = a;\,\,\dfrac{1}{{{y^2}}} = b\,\,\left( {a,b > 0} \right)\) khi đó hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 3\\4a + 6b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\4\left( {3 - 2b} \right) + 6b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} = 1\\\dfrac{1}{{{y^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình ban đầu có 4 nghiệm \(\left( { - 1;1} \right),\left( {1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right).\)
