Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

  •   
Câu 1 Trắc nghiệm

Cho hệ phương trình {xy=53x+2y=18có nghiệm (x;y). Tích x.y

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có {xy=53x+2y=18{x=y+53.(y+5)+2y=18{x=y+53y+15+2y=18{x=y+55y=3{y=35x=5+35{x=285y=35

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(285;35)x.y=8425

Câu 2 Trắc nghiệm

Cho hệ phương trình {xy=33x4y=2có nghiệm (x;y). Tích x2.y

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có {xy=33x4y=2{x=y+33(y+3)4y=2{x=y+3y=7{x=10y=7

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(10;7)

Do đó x2y=102.7=700

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho hệ phương trình {7x3y=54x+y=2có nghiệm (x;y). Tổng x+y

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có {7x3y=54x+y=2{7x3(24x)=5y=24x{x=1119y=24.1119{x=1119y=619

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1119;619)x+y=519

Câu 4 Trắc nghiệm

Hệ phương trình {x2y3=1x+y3=2 có bao nhiêu nghiệm?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có {x2y3=1x+y3=2{(2y3)2y3=1x=2y3{2y(6+3)=1x=2y3{y(6+3)=1x=2y3{y=633x=2y3{y=633x=1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;633)

Câu 5 Trắc nghiệm

Cho hệ phương trình {(x+1)(y3)=(x1)(y+3)(x3)(y+1)=(x+1)(y3) . Chọn câu đúng.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có {(x+1)(y3)=(x1)(y+3)(x3)(y+1)=(x+1)(y3){xy3x+y3=xy+3xy3xy+x3y3=xy3x+y3{6x2y=04x4y=0

{x=y6y2y=0{x=y4y=0{x=yy=0{x=0y=0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;0).

Câu 6 Trắc nghiệm

Cho hệ phương trình {2x+by=4bxay=5. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là (1;2)     ,tính a+b.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Thay x=1;y=2 vào hệ ta được {2+b(2)=4ba(2)=5

Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là ab và giải hệ phương trình này

{2+b(2)=4ba(2)=5{2b=6b+2a=5{b=33+2.a=5{b=3a=4

Suy ra a+b=4+3=1.

Câu 7 Trắc nghiệm

Cho hai đường thẳng : d1:mx2(3n+2)y=18d2:(3m1)x+2ny=37 . Tìm các giá trị của m và n để d1,d2 cắt nhau tại điểm I(5;2).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d1 ta được m.(5)2(3n+2).2=185m12n8=185m+12n=26

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d2 ta được (3m1).(5)+2n.2=3715m+5+4n=3715m4n=42

Suy ra hệ phương trình

{5m+12n=2615m4n=42{5m+12n=26n=15m424{n=15m4245m+12.15m424=26{n=15m4245m+3(15m42)=26{n=15m42450m126=26{m=2n=3

Vậy m=2;n=3.

Câu 8 Trắc nghiệm

Tìm a, b để đường thẳng y=ax+b đi qua hai điểm  A(2;1)B(2;3)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được 2a+b=1

Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được 2a+b=3

Từ đó ta có hệ phương trình {2a+b=12a+b=3{b=12a2a+12a=3{a=12b=12.(12){a=12b=2

Vậy a=12;b=2.

Câu 9 Trắc nghiệm

Hệ phương trình  {2xx+1+yy+1=3xx+1+3yy+1=1 có nghiệm là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Điều kiện: x1;y1

Ta có {2xx+1+yy+1=3xx+1+3yy+1=1{2.xx+1+yy+1=3xx+1+3.yy+1=1

Đặt xx+1=a;yy+1=b khi đó ta có hệ phương trình

 {2a+b=3a+3b=1{b=32aa+3(32a)=1{b=32aa+96a=1{b=32a5a=10{a=2b=32.2{a=2b=1

Thay trở lại cách đặt ta được

{xx+1=2yy+1=1{x=2x+2y=y1{x=2y=12 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(2;12).

Câu 10 Trắc nghiệm

Cho hệ phương trình {23x9y+6x+y=34x3y9x+y=1(y0;x3y). Nếu đặt 1x3y=a;1x+y=b ta được hệ phương trình mới là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có {23x9y+6x+y=34x3y9x+y=1{23.1x3y+6.1x+y=34.1x3y9.1x+y=1

Đặt 1x3y=a;1x+y=b ta được hệ phương trình {23a+6b=34a9b=1

Câu 11 Trắc nghiệm

Biết nghiệm của hệ phương trình {13x+13y=1456x+1y=23(x;y). Tính x3y

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Điều kiện: x0;y0

Ta có {13x+13y=1456x+1y=23{13.1x+13.1y=1456.1x+1y=23

Đặt 1x=a;1y=b khi đó ta có hệ phương trình

 {13a+13b=1456a+b=23{13a+13b=14b=2356a{b=2356a13a+13b=14{b=2356a13a+13(2356a)=14

{b=2356a13a+29518b=14{b=2356a118b=136{b=12a=14

Thay lại cách đặt ta được

{1x=141y=12{x=4y=2 (Thỏa mãn điều kiện)

Khi đó x3y=43.2=2.

Câu 12 Trắc nghiệm

Nghiệm của hệ phương trình {2(x+y)+3(xy)=4(x+y)+2(xy)=5(x;y).

Chọn câu đúng.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x - 3y = 4\\x + y + 2x - 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\y = 3x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - \left( {3x - 5} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\5x - 3x + 5 = 4\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 5\\ x =  - \dfrac {1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac {1}{2}\\y = 3. \dfrac {-1}{2} - 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac {1}{2}\\y = - \dfrac {13}{2}\end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) = \left( {- \dfrac {1}{2};- \dfrac {13}{2}} \right).

\Rightarrow x >yx - y =  6.

Câu 13 Trắc nghiệm

Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}x - y = \dfrac{2}{3}\\x + 3y = 2\end{array} \right.. Nghiệm của hệ phương trình là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}x - y = \dfrac{2}{3}\\x + 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x + 3\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x + x - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)

Câu 14 Trắc nghiệm

Tìm các giá trị của mn sao cho đa thức Q\left( x \right) = \left( {3m - 1} \right){x^3} - \left( {2n - 5} \right){x^2} - nx - 9m - 72  đồng thời chia hết cho x - 2x + 3.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta sử dụng: Đa thức Q\left( x \right) chia hết cho đa thức x - a khi và chỉ khi Q\left( a \right) = 0

Áp dụng mệnh đề đã cho với a = 2, rồi với a =  - 3, ta có

Q\left( 2 \right) = \left( {3m - 1} \right){2^3} - \left( {2n - 5} \right){2^2} - n.2 - 9m - 72 = 24m - 8 - 8n + 20 - 2n - 9m - 72 = 15m - 10n - 60

Q\left( { - 3} \right) = \left( {3m - 1} \right){\left( { - 3} \right)^3} - \left( {2n - 5} \right){\left( { - 3} \right)^2} - n.\left( { - 3} \right) - 9m - 72 =  - 81m + 27 - 18n + 45 + 3n - 9m - 72 =  - 90m - 15n

Theo giả thiết, Q\left( x \right) chia hết cho x - 2 nên Q\left( 2 \right) = 0 tức là 15m - 10n - 60 = 0(1)

Tương tự, vì Q\left( x \right) chia hết cho x + 3 nên Q\left( { - 3} \right) = 0 tức là - 90m - 15n = 0  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}15m - 10n - 60 = 0\\ - 90m - 15n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n =  - 6m\\15m - 10\left( { - 6m} \right) = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{4}{5}\\n =  - \dfrac{{24}}{5}\end{array} \right.

Trả lời: Vậy m = \dfrac{4}{5};n =  - \dfrac{{24}}{5}.

Câu 15 Trắc nghiệm

Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {x + 2y} \right) =  - 2\\3\left( {x + y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 1\end{array} \right. ta được nghiệm là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {x + 2y} \right) =  - 2\\3\left( {x + y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y =  - 2\\4x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y =  - 2\\y = 1 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\left( {1 - 4x} \right) =  - 2\\y = 1 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y =  - 1\end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm \left( {x;y} \right)\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right).

Câu 16 Trắc nghiệm

Tìm giá trị của a, b để hai hệ  phương trình \left\{ \begin{align}  & x-y=2 \\ & 3x+y=1 \\\end{align} \right.\left\{ \begin{align}  & ax-y=1 \\ & x+by=2 \\\end{align} \right. tương đương.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có:
\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 3x + y = 2 + 1\\x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 3\\y = x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\y = \dfrac{3}{4} - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\y = \dfrac{{ - 5}}{4}\end{array} \right.
Thay x=\dfrac{3}{4},y=\dfrac{-5}{4} vào hệ \left\{ \begin{align} & ax-y=1 \\ & x+by=2 \\\end{align} \right. ta được
\left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} - \left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 1\\\dfrac{3}{4} + b.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} = 1 + \left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right)\\b.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) = 2 - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{3}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\b.\dfrac{{ - 5}}{4} = \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 1}}{3}\\b = - 1\end{array} \right.

Câu 17 Trắc nghiệm

Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: \left\{ \begin{array}{l}2x + my = m + 2\\\left( {m + 1} \right)x + 2my = 2m + 4\end{array} \right.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x + my = m + 2\\\left( {m + 1} \right)x + 2my = 2m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\\dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\left( {m + 1} \right) + 2my = 2m + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\\left( {m + 2} \right)\left( {m + 1} \right) - my\left( {m + 1} \right) + 4my = 4m + 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\y\left( { - {m^2} + 3m} \right) =  - {m^2} + m + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\\m\left( {m - 3} \right)y = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right)\end{array} \right.\end{array}

Để hệ có vô số nghiệm khi phương trình m\left( {m - 3} \right)y = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) có vô số nghiệm

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 3} \right) = 0\\\left( {m - 3} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3

Vậy m = 3 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

Câu 18 Trắc nghiệm

Tìm các giá trị của a để hệ phương trình : \left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x + 8y = 4a\\ax + \left( {a + 3} \right)y = 3a - 1\end{array} \right. có vô số nghiệm.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x + 8y = 4a\\ax + \left( {a + 3} \right)y = 3a - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\ax + \left( {a + 3} \right)\dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8} = 3a - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\8ax + \left( {a + 3} \right)\left[ {4a - \left( {a + 1} \right)x} \right] = 24a - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\8ax + 4a\left( {a + 3} \right) - \left( {a + 3} \right)\left( {a + 1} \right)x = 24a - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{(4a - (a + 1)x)}}{8}\\x\left( {{a^2} - 4a + 3} \right) = 4\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4a - \left( {a + 1} \right)x}}{8}\\\left( {a - 1} \right)\left( {a - 3} \right)x = 4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)\end{array} \right.\end{array}

Để hệ phương trình có vô số nghiệm khi phương trình \left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right)x = 4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right) có vô số nghiệm.

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {a - 3} \right) = 0\\4\left( {a - 1} \right)\left( {a - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1.

Vậy a = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 19 Trắc nghiệm

Hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right. có nghiệm là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 + y} \right) + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\2 + 2y + y = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\3y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + y\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\end{array}

Câu 20 Trắc nghiệm

Giải hệ phương trình : \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{y^2}}} = 3\\\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{6}{{{y^2}}} = 10\end{array} \right., ta được các nghiệm là: 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Điều kiện x \ne 0;y \ne 0.

Đặt \dfrac{1}{{{x^2}}} = a;\,\,\dfrac{1}{{{y^2}}} = b\,\,\left( {a,b > 0} \right) khi đó hệ phương trình trở thành:

\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 3\\4a + 6b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\4\left( {3 - 2b} \right) + 6b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} = 1\\\dfrac{1}{{{y^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.

Vậy hệ phương trình ban đầu có 4 nghiệm \left( { - 1;1} \right),\left( {1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right).