Hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 3\sqrt{4x+2y}-5\sqrt{2x-y}=2 \\ & 7\sqrt{4x+2y}+2\sqrt{2x-y}=32 \\\end{align} \right.\)có nghiệm là (x; y). Khi đó \(x+y\) bằng:
\(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {4x + 2y} - 5\sqrt {2x - y} = 2\\7\sqrt {4x + 2y} + 2\sqrt {2x - y} = 32\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)
ĐK: \(4x+2y\ge 0;\,\,2x-y\ge 0\,\,\,\,\,(*).\)
Đặt \(a=\sqrt{4x+2y}\,,\,b=\sqrt{2x-y}\,\,(a\ge 0,\,b\ge 0)\), khi đó hệ (3) trở thành
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3a - 5b = 2\\7a + 2b = 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 10b = 4\\35a + 10b = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 10b = 4\\6a - 10b + 35a + 10b = 4 + 160\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 10b = 4\\41a = 164\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10b = 6a - 4\\a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\10b = 6.4 - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\10b = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\,(tm)\\b = 2\,(tm)\end{array} \right.\end{array}\)
Thay a = 4, b = 2 ta có :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4x + 2y} = 4\\\sqrt {2x - y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 16\\2x - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2(2x - 4) = 16\\y = 2x - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 4x - 8 = 16\\y = 2x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x = 24\\y = 2x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2.3 - 4\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Thay x = 3, y = 2 thì điều kiện (*) được thỏa mãn. Vậy (x; y) = (3; 2) là nghiêm của hệ (3).
Khi đó \(x+y=3+2=5.\)
Để phương trình có nghiệm \(\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\) thay \(x = - 1;\,\,y = \sqrt 3 \) vào hệ phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\ - n + \sqrt 3 m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\ - \left( { - m - \sqrt 3 } \right) + \sqrt 3 m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\\left( {1 + \sqrt 3 } \right)m = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\m = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} = - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) - \sqrt 3 = 2 - 2\sqrt 3 \\m = - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = - 2 + \sqrt 3 \\n = 2 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\), ta được nghiệm là:
Thay \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\)ta có hệ phương trình ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{2}x - y = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{{ - 1}}{2}y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{{ - 1}}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{7}{{12}}x = \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{7}\\y = \dfrac{{ - 22}}{{21}}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{ - 22}}{{21}}} \right)\)
Giải hệ phương trình với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\), ta được nghiệm là:
Thay \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\)ta có hệ phương trình ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{2}x - y = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{{ - 1}}{2}y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{{ - 1}}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{7}{{12}}x = \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{7}\\y = \dfrac{{ - 22}}{{21}}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{ - 22}}{{21}}} \right)\)
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 12\\x + 2y = 3\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 12\\x + 2y = 3\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2y\\3\left( {3 - 2y} \right) - 2y = 12\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2y\\ - 8y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{3}{8}\\x = 3 + \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{15}}{4}\\y = - \dfrac{3}{8}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{15}}{4}; - \dfrac{3}{8}} \right)$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 7y = 8\\10x + 3y = 21\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tổng $x + y$ là
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2x - 7y = 8\\10x + 3y = 21\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{8 + 7y}}{2}\\10.\left( {\dfrac{{8 + 7y}}{2}} \right) + 3y = 21\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{8 + 7y}}{2}\\40 + 35y + 3y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{8 + 7y}}{2}\\38y = - 19\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{8 + 7y}}{2}\\y = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{9}{4}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow x + y = \dfrac{7}{4}$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 12\\2x + 3y = 3\end{array} \right.$. Số nghiệm của hệ phương trình là
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 12\\2x + 3y = 3\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12+ 2y\\2\left( {12 + 2y} \right) +3y = 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12 +2y\\ 7y = -21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = -3\\x = 12 +2.(-3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 3\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( 6;-3\right)$
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$là
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { - \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) + 2 y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - 2y - \sqrt 6 + 2 y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - \sqrt 6 = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$ là
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right..$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = -12\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 3y - 3y = -12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 6y = -12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =2\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { 2; 2} \right)$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 1\\bx - 2ay = 1\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$, tính $a - b$.
Thay $x = 1;y = - 2$ vào hệ ta được
$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.\left( { - 2} \right) = - 1\\b.1 - 2a.\left( { - 2} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b = - 3\\b + 4a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2} + 4a = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\a = - \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Rightarrow a - b = - \dfrac{{13}}{8}$
Vậy $a - b = - \dfrac{{13}}{8}$.
Cho hai đường thẳng:
${d_1}:mx - 2\left( {3n + 2} \right)y = 6$ và ${d_2}:\left( {3m - 1} \right)x + 2ny = 56.$
Tìm tích $m. n$ để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $I\left( { - 2;3} \right)$.
+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_1}$ ta được $m.\left( { - 2} \right) - 2\left( {3n + 2} \right).3 = 6 \Leftrightarrow - 2m - 18n = 18 \Leftrightarrow m + 9n = - 9$
+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_2}$ ta được $\left( {3m - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 2n.3 = 56 \Leftrightarrow - 6m + 2 + 6n = 56 \Leftrightarrow m - n = - 9$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}m + 9n = - 9\\m - n = - 9\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\ - 9 + n + 9n = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\10n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m = - 9\end{array} \right. \Rightarrow m.n = 0.$
Vậy $m.n = 0$.
Tìm a, b để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M(3; - 5),N\left( {1;2} \right)\)
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta được $3a + b = - 5$
Thay tọa độ điểm $N$ vào phương trình đường thẳng ta được $a + b = 2$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\3a + b = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\3a + 2 - a = -5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\2a = -7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{-7}{2}\\b = \dfrac{11}{2}\end{array} \right.$
Vậy $a = \dfrac{-7}{2};b = \dfrac{11}{2}$
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{2y - 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{2y - 1}} = 1\end{array} \right.$là
Điều kiện: $x \ne 2;y \ne \dfrac{1}{2}$
Đặt $\dfrac{1}{{x - 2}} = a;\dfrac{1}{{2y - 1}} = b$ khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - 3b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\2\left( {2 - b} \right) - 3b = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\ - 5b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - b\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{5}\\b = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Trả lại biến ta được
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{2y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 14 = 5\\6y - 3 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{4}{3}} \right)$.
Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức \(P\left( x \right) = m{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {3n - 5} \right)x - 4n\) đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\).
Ta sử dụng: Đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P\left( a \right) = 0\)
Áp dụng mệnh đề trên với \(a = - 1,\) rồi với \(a = 3,\) ta có
\(P\left( { - 1} \right) = m{\left( { - 1} \right)^3} + \left( {m - 2} \right).{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {3n - 5} \right).\left( { - 1} \right) - 4n = - n - 7\)
\(P\left( 3 \right) = m{.3^3} + \left( {m - 2} \right){.3^2} - \left( {3n - 5} \right).3 - 4n = 36m - 13n - 3\)
Theo giả thiết, \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x + 1\) nên \(P\left( { - 1} \right) = 0\) tức là \( - n - 7 = 0\)
Tương tự, vì \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\) nên \(P\left( 3 \right) = 0\) tức là \(36m - 13n - 3 = 0\)
Vậy ta phải giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\36m - 13.\left( { - 7} \right) - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = - \dfrac{{22}}{9}\end{array} \right.\)
Trả lời: Vậy \(m = - \dfrac{{22}}{9};n = - 7\).
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{2x + y}} + \dfrac{5}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\\dfrac{3}{{2x + y}} - \dfrac{4}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$.
Nếu đặt $\dfrac{1}{{2x + y}} = a;\dfrac{1}{{x + 2y}} = b$ ta được hệ phương trình mới là:
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{2x + y}} + \dfrac{5}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\\dfrac{3}{{2x + y}} - \dfrac{4}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{1}{{2x + y}} + 5.\dfrac{1}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\3.\dfrac{1}{{2x + y}} - 4.\dfrac{1}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Đặt $\dfrac{1}{{2x + y}} = a;\dfrac{1}{{x + 2y}} = b$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2a + 5b = \dfrac{5}{6}\\3a - 4b = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Biết nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$. Tính $9x + 2y$.
Điều kiện: $x \ne 0;y \ne 0$
Đặt $\dfrac{1}{x} = a;\dfrac{1}{y} = b$ khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 1\\3a + 4b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\3\left( {1 + b} \right) + 4b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\7b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{2}{7}\\a = 1 + \dfrac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{7}\\b = \dfrac{2}{7}\end{array} \right.$
Trả lại biến ta được
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{9}\\y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.$ (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó $9x + 2y = 9.\dfrac{7}{9} + 2.\dfrac{7}{2} = 14$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15x}}{{\sqrt y }} - \dfrac{{7\sqrt x }}{y} = 9\\\dfrac{{4x}}{{\sqrt y }} + \dfrac{{9\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$.
Nếu đặt $\dfrac{x}{{\sqrt y }} = a;\dfrac{{\sqrt x }}{y} = b$ (với $x > 0;y > 0$) ta được hệ phương trình mới là:
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15x}}{{\sqrt y }} - \dfrac{{7\sqrt x }}{y} = 9\\\dfrac{{4x}}{{\sqrt y }} + \dfrac{{9\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15.\dfrac{x}{{\sqrt y }} - 7.\dfrac{{\sqrt x }}{y} = 9\\4.\dfrac{x}{{\sqrt y }} + 9.\dfrac{{\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$
Đặt $\dfrac{x}{{\sqrt y }} = a;\dfrac{{\sqrt x }}{y} = b$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}15a - 7b = 9\\4a + 9b = 5\end{array} \right.$
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {y - 5} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) - 14 = 0\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$.
Tính ${x^2} + {y^2}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {y - 5} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) - 14 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y - 15 + 2x - 6 = 0\\7x - 28 + 3x + 3y - 3 - 14 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 21\\10x + 3y = 45\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\10x + 21 - 2x = 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\8x = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)$
$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {3^2} + {5^2} = 34$
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right.\), với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x = 10 - my\end{array} \right.\\ \Rightarrow m\left( {10 - my} \right) + 4y = 20\\ \Leftrightarrow 10m - {m^2}y + 4y = 20\\ \Leftrightarrow y\left( {4 - {m^2}} \right) = 20 - 10m(1)\end{array}\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất
\( \Leftrightarrow 4 - {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2.\)
Vậy với \(m \ne \pm 2\) thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.
Tìm cặp giá trị \((a;b)\) để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + y = 4\end{array} \right.(I)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ax}} - y = 2\\2ax + by = 7\end{array} \right.(II)\)
Giải phương trình (I) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\1 + 2y + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\3y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)
Hai phương trình tương đương \( \Leftrightarrow \) hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (3; 1) cũng là nghiệm của phương trình (2).
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) vào hệ phương trình (II) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 1 = 2\\6a + b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\)
