Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó
+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?
Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$)
Biết rằng phương trình \(m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2m - 1 = 0\,\left( {m \ne 0} \right)\) luôn có nghiệm \({x_1};{x_2}\) với mọi \(m\). Tìm \({x_1};{x_2}\) theo \(m\).
Phương trình \(m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2m - 1 = 0\,\left( {m \ne 0} \right)\) có \(a = m;b = 3m - 1;c = 2m - 1\)
Vì \(a - b + c = m - 3m + 1 + 2m - 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{m}\).
Tìm hai nghiệm của phương trình \(5{x^2} + 21x - 26 = 0\) sau đó phân tích đa thức \(B = 5{x^2} + 21x - 26\) thành nhân tử.
Phương trình \(5{x^2} + 21x - 26 = 0\) có \(a + b + c = 5 + 21 - 26 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{{26}}{5}\). Khi đó \(B = 5.\left( {x - 1} \right)\left( {x + \dfrac{{26}}{5}} \right)\).
Tìm \(u - 2v\) biết rằng \(u + v = 14,uv = 40\) và \(u < v\)
Ta có \(S = u + v = 14,P = uv = 40\) . Nhận thấy \({S^2} = 196 > 160 = 4P\) nên \(u,v\) là hai nghiệm của phương trình
\({x^2} - 14x + 40 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 10\end{array} \right.\)
Vậy \(u = 4;v = 10\) (vì \(u < v\)) nên \(u - 2v = 4 - 2.10 = - 16\).
Lập phương trình nhận hai số \(2 + \sqrt 7 \) và \(2 - \sqrt 7 \) làm nghiệm.
Ta có \(S = 2 + \sqrt 7 + 2 - \sqrt 7 = 4\) và \(P = \left( {2 + \sqrt 7 } \right)\left( {2 - \sqrt 7 } \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = 4 - 7 = - 3\)
Nhận thấy \({S^2} = 16 > - 12 = 4P\) nên hai số \(2 + \sqrt 7 \) và \(2 - \sqrt 7 \) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x - 3 = 0\).
Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\) luôn có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) với mọi \(m\). Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(m\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 5\\{x_1} \cdot {x_2} = 3m + 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 3m + 15\\{x_1}.{x_2} = 3m + 6\end{array} \right. \)\(\Rightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 3m + 15 - 3m - 6 = 9\)
Vậy hệ thức cần tìm là \(3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 9\).
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(3{x^2} + \left( {2m + 7} \right)x - 3m + 5 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
Phương trình \(3{x^2} + \left( {2m + 7} \right)x - 3m + 5 = 0\)\(\left( {a = 3;b = 2m + 7;c = - 3m + 5} \right)\)
Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(ac < 0 \Leftrightarrow 3.\left( { - 3m + 5} \right) < 0 \Leftrightarrow - 3m + 5 < 0 \Leftrightarrow 3m > 5 \Leftrightarrow m > \dfrac{5}{3}\)
Vậy \(m > \dfrac{5}{3}\) là giá trị cần tìm.
Cho phương trình \(3{x^2} + 7x + m = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm.
Phương trình \(3{x^2} + 7x + m = 0\) \(\left( {a = 3;b = 7;c = m} \right)\)
Ta có \(\Delta = {7^2} - 4.3.m = 49 - 12m\)
Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình.
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - \dfrac{7}{3};P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{3}\)
Vì \(a = 1 \ne 0\) nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49 - 12m > 0\\\dfrac{m}{3} > 0\\ - \dfrac{7}{3} < 0\,\left( {luôn\,\,đúng} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{49}}{{12}}\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow 0 < m < \dfrac{{49}}{{12}}\)
Vậy \(0 < m < \dfrac{{49}}{{12}}\) là giá trị cần tìm.
Cho phương trình \({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 2m + 2 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
Phương trình \({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 2m + 2 = 0\)\(\left( {a = 1;b = 2m - 1;c = {m^2} - 2m + 2} \right)\)
Ta có \(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2m + 2} \right) = 4m - 7\);
Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét ta có
\(S = {x_1} + {x_2} = 1 - 2m;P = {x_1}.{x_2} = {m^2} - 2m + 2\)
Vì \(a = 1 \ne 0\) nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 7 > 0\\1 - 2m > 0\\{m^2} - 2m + 2 > 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{7}{4}\\m < \dfrac{1}{2}\\{\left( {m - 1} \right)^2} + 1 > 0\left( {luôn \,\, đúng} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{7}{4}\\
m < \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\left( {vô\,lý} \right)\)
Vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \((m - 1){x^2} + 3mx + 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm cùng dấu.
Phương trình \((m - 1){x^2} + 3mx + 2m + 1 = 0\)\(\left( {a = m - 1;b = 3m;c = 2m + 1} \right)\)
Ta có \(\Delta = {\left( {3m} \right)^2} - 4.\left( {2m + 1} \right).\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}\)
Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì theo Vi-ét ta có \(P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}}\)
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\{\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\left( {luôn \,đúng} \right)\\\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} > 0\end{array} \right.\)
Ta có \(\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{1}{2}\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < - \dfrac{1}{2}\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^3 + x_2^3 = 8\).
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2m = {m^2} + 1 > 0;\)\(\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = 2m\end{array} \right.\)
Xét \(x_1^3 + x_2^3 = 8\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\)\(\Leftrightarrow {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^3} - 3.2m\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right] = 8\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {{m^3} + 3{m^2} + 3m + 1} \right) - 6m\left( {2m + 2} \right) = 8\)\( \Leftrightarrow 8{m^3} + 12{m^2} + 12m = 0 \)\(\Leftrightarrow m\left( {2{m^2} + 3m + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\2{m^2} + 3m + 3 = 0\end{array} \right.\)
Phương trình \(2{m^2} + 3m + 3 = 0\) có \({\Delta _1} = {3^2} - 4.2.3 = - 15 < 0\) nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy \(m = 0\) là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta = 4{m^2} - 4\left( {2m - 1} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 = 4{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall m\)
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.\)
Xét \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10 \)\(\Leftrightarrow 4{m^2} - 2\left( {2m - 1} \right) = 10\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 2 - 10 = 0 \)\(\Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 8 = 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + m - 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) + \left( {m - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\)
Vậy \(m = - 2;m = 1\) là các giá trị cần tìm.
Cho phương trình \({x^2} + 2x + m - 1 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(3{x_1} + 2{x_2} = 1\).
Phương trình \({x^2} + 2x + m - 1 = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta ' = {1^2} - (m - 1) = 2 - m\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow {\Delta ^{'}} \ge 0 \Leftrightarrow 2 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2.\)
Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,(1)\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = m - 1\,\,\,(2).\)
Theo đề bài ta có: \(3{x_1} + 2{x_2} = 1\,\,\,(3)\).
Từ (1) và (3) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\3{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} + 2{x_2} = - 4\\3{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = - 7\end{array} \right.\).
Thế vào (2) ta được: \(5.( - 7) = m - 1 \Leftrightarrow m = - 34\) (thỏa mãn)
Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 4)x + {m^2} - 8 = 0\). Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \(A = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất.
Phương trình \({x^2} - 2(m + 4)x + {m^2} - 8 = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta ' = {(m + 4)^2} - ({m^2} - 8) = 8m + 24\)
Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow {\Delta ^{'}} \ge 0 \Leftrightarrow 8m + 24 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 3.\)
Áp dụng định lý Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 2(m + 4)\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = {m^2} - 8\,\,\,.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2} \\= 2(m + 4) - 3({m^2} - 8) = - 3{m^2} + 2m + 32\\ = - 3\left( {{m^2} - \dfrac{2}{3}m - \dfrac{{32}}{3}} \right) \\= - 3{\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{{97}}{3}.\end{array}\)
Nhận thấy \(A \le \dfrac{{97}}{3}\) và dấu “=” xảy ra khi \(m - \dfrac{1}{3} = 0 \)\(\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}\left( {TM} \right)\)
Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\dfrac{{97}}{3}\) khi \(m = \dfrac{1}{3}\).
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 4m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}({x_2} - 2) + {x_2}({x_1} - 2) > 6\)
Phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 4m = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;\forall m\)
Nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = 4m\end{array} \right.\)
Xét \({x_1}({x_2} - 2) + {x_2}({x_1} - 2) > 6\)\( \Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) > 6\)\( \Leftrightarrow 8m + 4\left( {m + 1} \right) - 6 < 0 \)\(\Leftrightarrow 12m -2 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{6}.\)
Vậy \(m > \dfrac{1}{6}\) là giá trị cần tìm.
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {3m - 2} \right) = 4 - 3m + 2 = 6 - 3m\).
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = 3m - 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).
Theo bài ra ta có: \({x_1} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - 2{x_2}\).
Thế vào hệ (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}1 - 2{x_2} + {x_2} = - 4\\\left( {1 - 2{x_2}} \right).{x_2} = 3m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\\left( {1 - 2.5} \right).5 = 3m - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\3m - 2 = - 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\m = - \dfrac{{43}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = - \dfrac{{43}}{3}\).
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
Vì \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^2} + 4.2 + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{{10}}{3}\end{array}\)
Vậy khi \(m = - \dfrac{{10}}{3}\) thì phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
Giải phương trình với \(m = - 1\).
Thay \(m = - 1\) vào phương trình đã cho ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 5x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 5\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khi \(m = - 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 5} \right\}\).
