Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$

+ ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} =  - 1$, nghiệm kia là ${x_2} =  - \dfrac{c}{a}.$

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$)

Phương trình  $m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2m - 1 = 0\,\left( {m \ne 0} \right)$ có $a = m;b = 3m - 1;c = 2m - 1$

Vì $a - b + c = m - 3m + 1 + 2m - 1 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} =  - 1;{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{m}$.

Phương trình $5{x^2} + 21x - 26 = 0$ có $a + b + c = 5 + 21 - 26 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 1;{x_2} =  - \dfrac{{26}}{5}$. Khi đó $B = 5.\left( {x - 1} \right)\left( {x + \dfrac{{26}}{5}} \right)$.

Ta có $S = u + v = 14,P = uv = 40$ . Nhận thấy ${S^2} = 196 > 160 = 4P$ nên $u,v$ là hai nghiệm của phương trình

${x^2} - 14x + 40 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 10\end{array} \right.$

Vậy $u = 4;v = 10$ (vì $u < v$) nên $u - 2v = 4 - 2.10 =  - 16$.

Ta có $S = 2 + \sqrt 7  + 2 - \sqrt 7  = 4$ và $P = \left( {2 + \sqrt 7 } \right)\left( {2 - \sqrt 7 } \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = 4 - 7 =  - 3$

Nhận thấy ${S^2} = 16 >  - 12 = 4P$ nên hai số $2 + \sqrt 7$ và $2 - \sqrt 7$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 4x - 3 = 0$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 5\\{x_1} \cdot {x_2} = 3m + 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 3m + 15\\{x_1}.{x_2} = 3m + 6\end{array} \right.$$\Rightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 3m + 15 - 3m - 6 = 9$

Vậy hệ thức cần tìm là $3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 9$.

Phương trình $3{x^2} + \left( {2m + 7} \right)x - 3m + 5 = 0$$\left( {a = 3;b = 2m + 7;c =  - 3m + 5} \right)$

Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $ac < 0 \Leftrightarrow 3.\left( { - 3m + 5} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 3m + 5 < 0 \Leftrightarrow 3m > 5 \Leftrightarrow m > \dfrac{5}{3}$

Vậy $m > \dfrac{5}{3}$ là giá trị cần tìm.

Phương trình $3{x^2} + 7x + m = 0$ $\left( {a = 3;b = 7;c = m} \right)$

Ta có $\Delta  = {7^2} - 4.3.m = 49 - 12m$

Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi-ét ta có $S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{7}{3};P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{3}$

Vì $a = 1 \ne 0$ nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49 - 12m > 0\\\dfrac{m}{3} > 0\\ - \dfrac{7}{3} < 0\,\left( {luôn\,\,đúng} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{49}}{{12}}\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow 0 < m < \dfrac{{49}}{{12}}$

Vậy $0 < m < \dfrac{{49}}{{12}}$ là giá trị cần tìm.

Phương trình ${x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 2m + 2 = 0$$\left( {a = 1;b = 2m - 1;c = {m^2} - 2m + 2} \right)$

Ta có $\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2m + 2} \right) = 4m - 7$;

Gọi ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét ta có

$S = {x_1} + {x_2} = 1 - 2m;P = {x_1}.{x_2} = {m^2} - 2m + 2$

Vì $a = 1 \ne 0$ nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 7 > 0\\1 - 2m > 0\\{m^2} - 2m + 2 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{7}{4}\\m < \dfrac{1}{2}\\{\left( {m - 1} \right)^2} + 1 > 0\left( {luôn \,\, đúng} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \dfrac{7}{4}\\ m < \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\left( {vô\,lý} \right)$

Vậy không có giá trị của $m$ thỏa mãn đề bài.

Phương trình $(m - 1){x^2} + 3mx + 2m + 1 = 0$$\left( {a = m - 1;b = 3m;c = 2m + 1} \right)$

Ta có $\Delta  = {\left( {3m} \right)^2} - 4.\left( {2m + 1} \right).\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}$

Gọi ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì theo Vi-ét ta có $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}}$

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\{\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\left( {luôn \,đúng} \right)\\\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} > 0\end{array} \right.$

Ta có $\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{1}{2}\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{1}{2}\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ là giá trị cần tìm.

Phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2m = {m^2} + 1 > 0;$$\,\,\forall m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = 2m\end{array} \right.$

Xét $x_1^3 + x_2^3 = 8$$\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  8$$\Leftrightarrow {\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right]^3} - 3.2m\left[ {2\left( {m + 1} \right)} \right] = 8$

$\Leftrightarrow 8\left( {{m^3} + 3{m^2} + 3m + 1} \right) - 6m\left( {2m + 2} \right) = 8$$\Leftrightarrow 8{m^3} + 12{m^2} + 12m = 0$$\Leftrightarrow m\left( {2{m^2} + 3m + 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\2{m^2} + 3m + 3 = 0\end{array} \right.$

Phương trình $2{m^2} + 3m + 3 = 0$ có ${\Delta _1} = {3^2} - 4.2.3 =  - 15 < 0$ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta  = 4{m^2} - 4\left( {2m - 1} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 = 4{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall m$

Phương trình  có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ với mọi $m.$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.$

Xét $x_1^2 + x_2^2 = 10$$\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10$$\Leftrightarrow 4{m^2} - 2\left( {2m - 1} \right) = 10$$\Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 2 - 10 = 0$$\Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 8 = 0$

$\Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 2m + m - 2 = 0$$\Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) + \left( {m - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 1\end{array} \right.$

Vậy $m =  - 2;m = 1$ là các giá trị cần tìm.

Phương trình ${x^2} + 2x + m - 1 = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta ' = {1^2} - (m - 1) = 2 - m$.

Phương trình có hai nghiệm ${x_1}\,\,;\,\,{x_2}$$\Leftrightarrow {\Delta ^{'}} \ge 0 \Leftrightarrow 2 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2.$

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: ${x_1} + {x_2} =  - 2\,\,\,(1)\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = m - 1\,\,\,(2).$

Theo đề bài ta có: $3{x_1} + 2{x_2} = 1\,\,\,(3)$.

Từ (1) và (3) ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\\3{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} + 2{x_2} =  - 4\\3{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} =  - 7\end{array} \right.$. 

Thế vào (2) ta được: $5.( - 7) = m - 1 \Leftrightarrow m =  - 34$ (thỏa mãn)

Phương trình ${x^2} - 2(m + 4)x + {m^2} - 8 = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta ' = {(m + 4)^2} - ({m^2} - 8) = 8m + 24$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1}\,\,;\,\,{x_2}$$\Leftrightarrow {\Delta ^{'}} \ge 0 \Leftrightarrow 8m + 24 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 3.$

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: ${x_1} + {x_2} = 2(m + 4)\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = {m^2} - 8\,\,\,.$

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2} \\= 2(m + 4) - 3({m^2} - 8) =  - 3{m^2} + 2m + 32\\ =  - 3\left( {{m^2} - \dfrac{2}{3}m - \dfrac{{32}}{3}} \right) \\=  - 3{\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{{97}}{3}.\end{array}$

Nhận thấy $A \le \dfrac{{97}}{3}$ và dấu “=” xảy ra khi $m - \dfrac{1}{3} = 0$$\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}\left( {TM} \right)$

Vậy giá trị lớn nhất của A là $\dfrac{{97}}{3}$ khi $m = \dfrac{1}{3}$.

Phương trình ${x^2} + 2(m + 1)x + 4m = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;\forall m$

Nên phương trình  luôn có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = 4m\end{array} \right.$

Xét ${x_1}({x_2} - 2) + {x_2}({x_1} - 2) > 6$$\Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) > 6$$\Leftrightarrow 8m + 4\left( {m + 1} \right) - 6 < 0$$\Leftrightarrow 12m -2 > 0 \Leftrightarrow m >   \dfrac{1}{6}.$

Vậy $m >  \dfrac{1}{6}$ là giá trị cần tìm.

Ta có: $\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {3m - 2} \right) = 4 - 3m + 2 = 6 - 3m$.

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2$.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4\\{x_1}{x_2} = 3m - 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)$.

Theo bài ra ta có: ${x_1} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - 2{x_2}$.

Thế vào hệ (*) ta có: 

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}1 - 2{x_2} + {x_2} =  - 4\\\left( {1 - 2{x_2}} \right).{x_2} = 3m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\\left( {1 - 2.5} \right).5 = 3m - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\3m - 2 =  - 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\m =  - \dfrac{{43}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m =  - \dfrac{{43}}{3}$.

Vì $x = 2$ là một nghiệm của phương trình nên thay $x = 2$ vào phương trình ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^2} + 4.2 + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m =  - \dfrac{{10}}{3}\end{array}$

Vậy khi $m =  - \dfrac{{10}}{3}$ thì phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2$.

Thay $m =  - 1$ vào phương trình đã cho ta có: 

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 5x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 5\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 5\end{array} \right.\end{array}$

Vậy khi $m =  - 1$ thì tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1; - 5} \right\}$.