Công thức nghiệm thu gọn

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{{b'}}{a}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,}}_2 =  - \dfrac{{b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Phương trình ${x^2} + 4x + 2m + 1 = 0$ có $\Delta ' = {2^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4 - 2m - 1 = 3 - 2m$.

Để phương trình có nghiệm kép thì $\Delta  = 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$.

Vậy với $m = \dfrac{3}{2}$ thì phương trình đã cho có nghiệp kép.

Với $m = 1$, phương trình đã cho trở thành: ${x^2} + 4x + 3 = 0$.

Ta có: $\Delta'=2^2-3=1>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}{x_1} =\dfrac{-2+1}{1} =  - 1\\{x_2} =  - \dfrac{-2-1}{1} =  - 3\end{array} \right.$.

Vậy khi $m = 1$ thì tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}$.

Với $m = 1$, phương trình đã cho trở thành: ${x^2} + 4x + 3 = 0$.

Ta có: $\Delta'=2^2-3=1>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}{x_1} =\dfrac{-2+1}{1} =  - 1\\{x_2} =  - \dfrac{-2-1}{1} =  - 3\end{array} \right.$.

Vậy khi $m = 1$ thì tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}$.

Phương trình $3{x^2} - 2mx - 1 = 0$ có $\Delta ' = b{'^2} - ac = {m^2} + 3.$

Ta có: $\Delta ' = {14^2} - 1.( - 128) = 196 + 128 = 324 = {18^2}$

$\Rightarrow \Delta ' > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \dfrac{{ - 14 - 18}}{1} =  - 32$  và ${x_2} = \dfrac{{ - 14 + 18}}{1} = 4$

Vậy tập  nghiệm của phương trình đã cho là $S = {\rm{\{ }} - {\rm{32; 4\} }}$

Phương trình $m{x^2} + (4m + 2)x - 4m = 0$ 

+ TH1: $m = 0 \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

+ TH2 : $m \ne 0$ ta có phương trình bậc 2 : $m{x^2} + (4m + 2)x - 4m = 0$

Có : $\Delta ' = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 4{m^2} = 8{m^2} + 4m + 1 = 8\left( {{m^2} + 2m.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}}} \right) + \dfrac{1}{2} = 8{\left( {m + \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình luôn có 2 nghiệm (ktm).

Vậy khi $m = 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.

$2m{{x}^{2}}-2(2m-1)x+2m-3=0$

+) Với $m=0$ ta có phương trình$\Leftrightarrow 2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.$

+) Với $m\ne 0$ ta có : $\Delta '={{\left[ -(2m-1) \right]}^{2}}-2m(2m-3)=2m+1$.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow 2m\ge -1\Leftrightarrow m\ge \dfrac{-1}{2}$

Kết hợp các TH ta thấy  phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge \dfrac{-1}{2}$.

$\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,2{{x}^{2}}-4mx-3{{m}^{2}}-5=0 \\  & \Delta '={{(-2m)}^{2}}-2.(-3{{m}^{2}}-5)=4{{m}^{2}}+6{{m}^{2}}+10=10{{m}^{2}}+10>0 \\ \end{align}$

$\Rightarrow$ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

$\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}=2(m+1)x-{{m}^{2}}-9 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}+9=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}$ 

Để (d) tiếp xúc (P) thì phương trình (1) có nghiệm kép

$\begin{align}  & \Leftrightarrow \Delta '=0 \\  & \Leftrightarrow {{(m+1)}^{2}}-({{m}^{2}}+9)=0 \\  & \Leftrightarrow 2m-8=0 \\  & \Leftrightarrow m=4 \\ \end{align}$

Vậy với $m=4$ thì đường thẳng (d) tiếp xúc với (P).

(P) đi qua điểm  $A\left( { - 2;4} \right)$ nên $4 = a.{\left( { - 2} \right)^2} = 4a \Leftrightarrow a = 1$

Vậy phương trình parabol (P) là $y = {x^2}$

(P) tiếp xúc với  (d) thì phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta ' = {( - (m - 1))^2} - m + 1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - m + 1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = 1 \hfill \cr m = 2 \hfill \cr}  \right.$

Nếu m = 1 thì hoành độ giao điểm là x = 0 . Vậy tiếp điểm  $\left( {0;0} \right)$

Nếu m = 2 thì hoành độ giao điểm là x = 1 . Vậy tiếp điểm  $\left( {1;1} \right)$

Để phương trình $3{x^2} - 4x + 2m = 0$  vô nghiệm thì  $\Delta ' = {( - 2)^2} - 3.2m < 0 \Leftrightarrow 4 - 6m < 0$$\displaystyle \Leftrightarrow m > {2 \over 3}$  

Vậy $\displaystyle m > {2 \over 3}$  thì phương trình vô nghiệm

Để phương trình $(m + 1){x^2} - 2(m + 1)x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì: $\eqalign{& \left\{ \matrix{m + 1 \ne 0 \hfill \cr \Delta ' = {( - (m + 1))^2} - (m + 1) > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m \ne  - 1 \hfill \cr {m^2} + 2m + 1 - m - 1 > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne  - 1 \hfill \cr {m^2} + m > 0 \hfill \cr}  \right.  \cr &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m \ne  - 1 \hfill \cr m(m + 1) > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m \ne  - 1 \hfill \cr  \left[ \matrix{m > 0 \hfill \cr   m <  - 1 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m > 0 \hfill \cr  m <  - 1 \hfill \cr}  \right. \cr}$

Vậy m > 0 hoặc m < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{{b'}}{a}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,}}_2 =  - \dfrac{{b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Phương trình $16{x^2} - 24x + 9 = 0$ có $a = 16;b' =  - 12;c = 9$ suy ra

$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 12} \right)^2} - 9.16 = 0$

Nên phương trình có nghiệm kép.

Thay $x =  - 3$ vào phương trình $\left( {3m + 1} \right){x^2} - \left( {5 - m} \right)x - 9 = 0$ ta được: $\left( {3m + 1} \right){\left( { - 3} \right)^2} - \left( {5 - m} \right)\left( { - 3} \right) - 9 = 0 \Leftrightarrow 24m + 15 = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{8}$

Vậy $m =  - \dfrac{5}{8}$ là giá trị cần tìm.

Phương trình $3{x^2} - 2x = {x^2} + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 3 = 0$ có $a = 2;b' =  - 1;c =  - 3$ suy ra

$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = 7 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

${x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{2}$ ; ${x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{2}$.

Phương trình $(m + 1){x^2} - 2(m + 1)x + 1 = 0$ có $a = m + 1;b' =  - \left( {m + 1} \right);c = 1$

Suy ra $\Delta ' = {\left[ { - (m + 1)} \right]^2} - (m + 1) = {m^2} + m$

Để phương trình $(m + 1){x^2} - 2(m + 1)x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\{m^2} + m > 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m(m + 1) > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m + 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 1\end{array} \right.$

Vậy $m > 0$ hoặc $m <  - 1$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Phương trình $m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0$ có $a = m;b' =  - 2\left( {m - 1} \right);c = 2$

Suy ra $\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m.2 = 4{m^2} - 10m + 4$

TH1: $m = 0$ ta có phương trình $4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}$  nên loại $m = 0.$

TH2: $m \ne 0$

Để phương trình có vô nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\4{m^2} - 10m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2{m^2} - 5m + 2 < 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2{m^2} - 4m - m + 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2m\left( {m - 2} \right) - \left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {2m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\m - 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > 0\\m - 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\m > 2\end{array} \right.\left( {VL} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m < 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 2$

Vậy $\dfrac{1}{2} < m < 2$ là giá trị cần tìm.

Để phương trình $m{x^2} - 2(m - 1)x + 2 = 0$ có nghiệm kép thì: $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {( - (m - 1))^2} - m.2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - 2m + 1 - 2m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - 4m + 1 = 0\end{array} \right.$

Giải phương trình ${m^2} - 4m + 1 = 0$

Ta có $\Delta'_m= (-2)^2-1.1=3$ nên $\left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.$

Kết hợp với $m\ne 0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.$

Nếu $m = 2 + \sqrt 3$ thì phương trình có nghiệm kép là ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{m} = \dfrac{{2 + \sqrt 3  - 1}}{{2 + \sqrt 3 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$

Nếu $m = 2 - \sqrt 3$ thì phương trình có nghiệm kép là ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{m} = \dfrac{{2 - \sqrt 3  - 1}}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}$