Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi
Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$
Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$
Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,}}_2 = - \dfrac{{b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$
Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm kép.
Phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) có \(\Delta ' = {2^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4 - 2m - 1 = 3 - 2m\).
Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta = 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\).
Vậy với \(m = \dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có nghiệp kép.
Giải phương trình với \(m = 1\).
Với \(m = 1\), phương trình đã cho trở thành: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).
Ta có: \(\Delta'=2^2-3=1>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =\dfrac{-2+1}{1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{-2-1}{1} = - 3\end{array} \right.\).
Vậy khi \(m = 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
Giải phương trình với \(m = 1\).
Với \(m = 1\), phương trình đã cho trở thành: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).
Ta có: \(\Delta'=2^2-3=1>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =\dfrac{-2+1}{1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{-2-1}{1} = - 3\end{array} \right.\).
Vậy khi \(m = 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
Biệt thức \(\Delta '\) của phương trình \(3{x^2} - 2mx - 1 = 0\) là
Phương trình \(3{x^2} - 2mx - 1 = 0\) có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {m^2} + 3.\)
Giải phương trình \({x^2} + 28x - 128 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {14^2} - 1.( - 128) = 196 + 128 = 324 = {18^2}\)
\( \Rightarrow \Delta ' > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \dfrac{{ - 14 - 18}}{1} = - 32\) và \({x_2} = \dfrac{{ - 14 + 18}}{1} = 4\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = {\rm{\{ }} - {\rm{32; 4\} }}\)
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất :\(m{x^2} + (4m + 2)x - 4m = 0\)
Phương trình \(m{x^2} + (4m + 2)x - 4m = 0\)
+ TH1: \(m = 0 \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
+ TH2 : \(m \ne 0\) ta có phương trình bậc 2 : \(m{x^2} + (4m + 2)x - 4m = 0\)
Có : \(\Delta ' = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 4{m^2} = 8{m^2} + 4m + 1 = 8\left( {{m^2} + 2m.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}}} \right) + \dfrac{1}{2} = 8{\left( {m + \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có 2 nghiệm (ktm).
Vậy khi \(m = 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Cho phương trình \(2m{{x}^{2}}-2(2m-1)x+2m-3=0\). Tìm m để phương trình có nghiệm.
\(2m{{x}^{2}}-2(2m-1)x+2m-3=0\)
+) Với \(m=0\) ta có phương trình\(\Leftrightarrow 2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.\)
+) Với \(m\ne 0\) ta có : \(\Delta '={{\left[ -(2m-1) \right]}^{2}}-2m(2m-3)=2m+1\).
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta '\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow 2m\ge -1\Leftrightarrow m\ge \dfrac{-1}{2}\)
Kết hợp các TH ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge \dfrac{-1}{2}\).
Phương trình: \(2{{x}^{2}}-4mx-3{{m}^{2}}-5=0\)
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,2{{x}^{2}}-4mx-3{{m}^{2}}-5=0 \\ & \Delta '={{(-2m)}^{2}}-2.(-3{{m}^{2}}-5)=4{{m}^{2}}+6{{m}^{2}}+10=10{{m}^{2}}+10>0 \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Cho Parabol (P): \(y={{x}^{2}}\) và đường thẳng (d): \(y=2(m+1)x-{{m}^{2}}-9\). Tìm m để (d) tiếp xúc với (P).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}=2(m+1)x-{{m}^{2}}-9 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}+9=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\)
Để (d) tiếp xúc (P) thì phương trình (1) có nghiệm kép
\(\begin{align} & \Leftrightarrow \Delta '=0 \\ & \Leftrightarrow {{(m+1)}^{2}}-({{m}^{2}}+9)=0 \\ & \Leftrightarrow 2m-8=0 \\ & \Leftrightarrow m=4 \\ \end{align}\)
Vậy với \(m=4\) thì đường thẳng (d) tiếp xúc với (P).
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số \(y = 2(m - 1)x - (m - 1)\).Toạ độ tiếp điểm là
(P) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) nên \(4 = a.{\left( { - 2} \right)^2} = 4a \Leftrightarrow a = 1\)
Vậy phương trình parabol (P) là \(y = {x^2}\)
(P) tiếp xúc với (d) thì phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0\) có nghiệm kép
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {( - (m - 1))^2} - m + 1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - m + 1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = 1 \hfill \cr m = 2 \hfill \cr} \right.\)
Nếu m = 1 thì hoành độ giao điểm là x = 0 . Vậy tiếp điểm \(\left( {0;0} \right)\)
Nếu m = 2 thì hoành độ giao điểm là x = 1 . Vậy tiếp điểm \(\left( {1;1} \right)\)
Phương trình \(3{x^2} - 4x + 2m = 0\) vô nghiệm khi
Để phương trình \(3{x^2} - 4x + 2m = 0\) vô nghiệm thì \(\Delta ' = {( - 2)^2} - 3.2m < 0 \Leftrightarrow 4 - 6m < 0 \)\(\displaystyle \Leftrightarrow m > {2 \over 3}\)
Vậy \(\displaystyle m > {2 \over 3}\) thì phương trình vô nghiệm
Phương trình \((m + 1){x^2} - 2(m + 1)x + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi
Để phương trình \((m + 1){x^2} - 2(m + 1)x + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt thì: \(\eqalign{& \left\{ \matrix{m + 1 \ne 0 \hfill \cr \Delta ' = {( - (m + 1))^2} - (m + 1) > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m \ne - 1 \hfill \cr {m^2} + 2m + 1 - m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne - 1 \hfill \cr {m^2} + m > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m \ne - 1 \hfill \cr m(m + 1) > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m \ne - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{m > 0 \hfill \cr m < - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m > 0 \hfill \cr m < - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy m > 0 hoặc m < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có biệt thức \(b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac\). Phương trình đã cho vô nghiệm khi
Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)\) với \(b = 2b'\) và biệt thức \(\Delta ' = b{'^2} - ac.\)
Trường hợp 1. Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}\)
Trường hợp 3. Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_{1,}}_2 = - \dfrac{{b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Tính \(\Delta '\) và tìm số nghiệm của phương trình \(16{x^2} - 24x + 9 = 0\) .
Phương trình \(16{x^2} - 24x + 9 = 0\) có \(a = 16;b' = - 12;c = 9\) suy ra
\(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 12} \right)^2} - 9.16 = 0\)
Nên phương trình có nghiệm kép.
Tìm \(m\) để phương trình \(\left( {3m + 1} \right){x^2} - \left( {5 - m} \right)x - 9 = 0\) có nghiệm là \(x = - 3\).
Thay \(x = - 3\) vào phương trình \(\left( {3m + 1} \right){x^2} - \left( {5 - m} \right)x - 9 = 0\) ta được: \(\left( {3m + 1} \right){\left( { - 3} \right)^2} - \left( {5 - m} \right)\left( { - 3} \right) - 9 = 0 \Leftrightarrow 24m + 15 = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{8}\)
Vậy \(m = - \dfrac{5}{8}\) là giá trị cần tìm.
Tính \(\Delta '\) và tìm nghiệm của phương trình \(3{x^2} - 2x = {x^2} + 3\) .
Phương trình \(3{x^2} - 2x = {x^2} + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 3 = 0\) có \(a = 2;b' = - 1;c = - 3\) suy ra
\(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = 7 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\) ; \({x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\).
Cho phương trình \((m + 1){x^2} - 2(m + 1)x + 1 = 0\). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \((m + 1){x^2} - 2(m + 1)x + 1 = 0\) có \(a = m + 1;b' = - \left( {m + 1} \right);c = 1\)
Suy ra \(\Delta ' = {\left[ { - (m + 1)} \right]^2} - (m + 1) = {m^2} + m\)
Để phương trình \((m + 1){x^2} - 2(m + 1)x + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\{m^2} + m > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m(m + 1) > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m + 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 1\end{array} \right.\)
Vậy \(m > 0\) hoặc \(m < - 1\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Cho phương trình \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình vô nghiệm
Phương trình \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\) có \(a = m;b' = - 2\left( {m - 1} \right);c = 2\)
Suy ra \(\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m.2 = 4{m^2} - 10m + 4\)
TH1: \(m = 0\) ta có phương trình \(4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\) nên loại \(m = 0.\)
TH2: \(m \ne 0\)
Để phương trình có vô nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\4{m^2} - 10m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2{m^2} - 5m + 2 < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2{m^2} - 4m - m + 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2m\left( {m - 2} \right) - \left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {2m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\m - 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > 0\\m - 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{2}\\m > 2\end{array} \right.\left( {VL} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m < 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 2\)
Vậy \(\dfrac{1}{2} < m < 2\) là giá trị cần tìm.
Tìm \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + 2 = 0\) có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó
Để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + 2 = 0\) có nghiệm kép thì: \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {( - (m - 1))^2} - m.2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - 2m + 1 - 2m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - 4m + 1 = 0\end{array} \right.\)
Giải phương trình \({m^2} - 4m + 1 = 0\)
Ta có \(\Delta'_m= (-2)^2-1.1=3\) nên \(\left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Kết hợp với \(m\ne 0\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Nếu \(m = 2 + \sqrt 3 \) thì phương trình có nghiệm kép là \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{m} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 - 1}}{{2 + \sqrt 3 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}\)
Nếu \(m = 2 - \sqrt 3 \) thì phương trình có nghiệm kép là \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{m} = \dfrac{{2 - \sqrt 3 - 1}}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}\)
