Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\2x + y = 4\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là
Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(2\) rồi trừ từng vế của hai phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\2x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\4x + 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3\left( { - 2} \right) = 6\\y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 2} \right)\)
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\3x - 2y = - 3\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x + y$
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\3x - 2y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = - 4\\9x - 6y = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13x = - 13\\2x + 3y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right)\)
$ \Rightarrow x - y = - 1 - 0 = - 1$.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $6x + 3\sqrt 3 y$
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \) rồi cộng từng vế của hai phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 6 + y\sqrt 2 = 4\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x\sqrt 6 = 6\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}.\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\1 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\y\sqrt 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)
$ \Rightarrow 6x + 3\sqrt 3 y = 6.\dfrac{{\sqrt 6 }}{6} + 3\sqrt 3 .\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 6 - \dfrac{3}{2}\sqrt 6 = - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0,3\sqrt x + 0,5\sqrt y = 3\\1,5\sqrt x - 2\sqrt y = 1,5\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x.y$
ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(5\) rồi trừ từng vế của hai phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}0,3\sqrt x + 0,5\sqrt y = 3\\1,5\sqrt x - 2\sqrt y = 1,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,5\sqrt x + 2,5\sqrt y = 15\\1,5\sqrt x - 2\sqrt y = 1,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4,5\sqrt y = 13,5\\1,5\sqrt x - 2\sqrt y = 1,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y = 3\\1,5\sqrt x - 2.3 = 1,5\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 9\\1,5\sqrt x = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 9\\\sqrt x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 9\\x = 25\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {25;9} \right)\)
$ \Rightarrow xy = 25.9 = 225.$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = 2\\2x - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{{5x}}{y}$
ĐK: $y \ne 0$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = 2\\2x - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + \dfrac{2}{y} = 4\\2x - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = 2\\\dfrac{5}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{5}{3}\\x + \dfrac{1}{{\dfrac{5}{3}}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{5}\\y = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{7}{5};\dfrac{5}{3}} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{{5x}}{y} = \dfrac{{21}}{5}$
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) - 3(x - y) = 4\\x + 4y = 2x - y + 5\end{array} \right.\) là
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2(x + y) - 3(x - y) = 4\\x + 4y = 2x - y + 5\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 3x + 3y = 4\\x + 4y - 2x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 5y = 4\\ - x + 5y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 1\\ - x + 5y = 5\end{array} \right.\left( {VL} \right)$
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + y}}{5} = \dfrac{{x - y}}{3}\\\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{2} + 1\end{array} \right..\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + y}}{5} = \dfrac{{x - y}}{3}\\\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{2} + 1\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 5x - 5y\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 8y\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 8\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {2;8} \right)$.
$ \Rightarrow x > 0;y > 0$
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(2x + 4)(6 - y) = (11 - x)(2y + 6)\\3(x + 1)(y + 1) = (3x + 4)(y + 2)\end{array} \right.\) tương đương với hệ phương trình nào dưới đây?
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(2x + 4)(6 - y) = (11 - x)(2y + 6)\\3(x + 1)(y + 1) = (3x + 4)(y + 2)\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x - 2xy + 24 - 4y = 22y + 66 - 2xy - 6x\\3xy + 3x + 3y + 3 = 3xy + 6x + 4y + 8\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}18x - 26y - 42 = 0\\ - 3x - y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9x - 13y = 21\\3x + y = - 5\end{array} \right.$
Kết luận đúng về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {y + 1} = 2\\2\sqrt {x + 3} + \sqrt {y + 1} = 4\end{array} \right.\)
Điều kiện: $x \ge - 3;y \ge - 1$
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {y + 1} = 2\\2\sqrt {x + 3} + \sqrt {y + 1} = 4\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x + 3} - 4\sqrt {y + 1} = 4\\2\sqrt {x + 3} + \sqrt {y + 1} = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {y + 1} = 2\\ - 5\sqrt {y + 1} = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\\sqrt {x + 3} - 2.\sqrt {\left( { - 1} \right) + 1} = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\\sqrt {x + 3} = 2\end{array} \right.$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x + 3 = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = 1\end{array} (tm)\right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 1} \right)$.
Nên \(x + y = 1 + \left( { - 1} \right) = 0.\)
Tìm $a,b$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4ax + 2by = - 3\\3bx + ay = 8\end{array} \right.$ có nghiệm là $\left( {2; - 3} \right)$.
Thay $x = 2;y = - 3$ vào hệ phương trình ta được
$\left\{ \begin{array}{l}4a.2 + 2b.\left( { - 3} \right) = - 3\\3b.2 + a\left( { - 3} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a - 6b = - 3\\ - 3a + 6b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = 5\\ - 3a + 6b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ - 3.1 + 6b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\6b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \dfrac{{11}}{6}\end{array} \right.$
Vậy $a = 1;b = \dfrac{{11}}{6}$
Nghiệm $\left( {x;y} \right)$của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{y + 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\) có tính chất là:
ĐK: \(x \ne 2;y \ne 1\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{y + 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{y + 1}} = 2\\2.\dfrac{1}{{x - 2}} - 3.\dfrac{1}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\)
Đặt \(\dfrac{1}{{x - 2}} = u;\dfrac{1}{{y - 1}} = v\,\,\left( {u;v \ne 0} \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\2u - 3v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + 2v = 4\\2u - 3v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5v = 3\\u + v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{3}{5}\\u + \dfrac{3}{5} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{3}{5}\\u = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\,\left( {TM} \right)\)
Thay lại cách đặt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \dfrac{5}{7}\\y - 1 = \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{8}{3}} \right)\)
Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình :\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{4} - \dfrac{y}{2} = x + y + 1\\\dfrac{{x - 2}}{2} + \dfrac{{y - 1}}{3} = x + y - 1\end{array} \right.\)
cũng là nghiệm của phương trình \(\left( {m + 2} \right)x + 7my = m - 225\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{4} - \dfrac{y}{2} = x + y + 1\\\dfrac{{x - 2}}{2} + \dfrac{{y - 1}}{3} = x + y - 1\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 - 2y = 4x + 4y + 4\\3x - 6 + 2y - 2 = 6x + 6y - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 6y = - 3\\3x + 4y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}\\x = 0\end{array} \right.$
Thay $x = 0;y = - \dfrac{1}{2}$ vào phương trình \(\left( {m + 2} \right)x + 7my = m - 225\) ta được
\(\left( {m + 2} \right).0 + 7m\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = m - 225 \Leftrightarrow \dfrac{9}{2}m = 225 \Leftrightarrow m = 50.\)
Tìm \(a,b\) biết đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {\sqrt 3 ;2} \right);B\left( {0;2} \right)\).
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {\sqrt 3 ;2} \right) \Leftrightarrow \sqrt 3 a + b = 2\) (1)
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {0;2} \right) \Leftrightarrow 0.a + b = 2\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 a + b = 2\\0.a + b = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\\sqrt 3 .a + 2 = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 0;b = 2\)
Gọi \(\left( {{x_0};y{ _0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 7\\x + 2y = - 4\end{array} \right.\). Tính \(S = {x_0} + {y_0}.\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 7\\x + 2y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\x + 2y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\x + 2.\left( { - 3} \right) = - 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\x - 6 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\x = 2\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left( {2; - 3} \right)\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.
\( \Rightarrow {x_0} = 2,\,\,{y_0} = - 3\).
Vậy \(S = {x_0} + {y_0} = 2 + \left( { - 3} \right) = - 1\).
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 8\\x + 3y = 1\end{array} \right.\) ta được nghiệm là:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 8\\x + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\x + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\7 + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = - 2\end{array} \right.\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {7; - 2} \right)\).
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & (a-2)x+5by=25 \\ & 2ax-(b-2)y=5 \\\end{align} \right.\). Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm (x;y)=(3;-1).
\(\left\{ \begin{align} & (a-2)x+5by=25 \\ & 2ax-(b-2)y=5 \\\end{align} \right.\,\,\,(2)\)
Thay \(x=3,y=-1\) vào hệ (2) ta được
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}(a - 2).3 + 5b.( - 1) = 25\\2a.3 - (b - 2).( - 1) = 5\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 6 - 5b = 25\\6a + b - 2 = 5\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 5b = 31\\6a + b = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 10b = 62\\6a + b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 10b - 6a - b = 62 - 7\\6a = 7 - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 11b = 55\\6a = 7 - b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\6a = 7 - ( - 5)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\6a = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\a = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(a=2,\,b=-5\) thì hệ (2) có nghiệm \((x,y)=(3,-1)\).
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y = - 24\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y = - 24\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x + 7y - \left( {8x - 3y} \right) = 16 - \left( { - 24} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\10y = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\8x + 7.4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\12x + 3y = 27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 3y+12x+3y =1+ 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\14x = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)
$ \Rightarrow x - y = 2 - 1 = 1$.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x + 3\sqrt 3 y$
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\x\sqrt 2 + y\sqrt 6 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right)y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\\y = \dfrac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\x\sqrt 2 - \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\x = 1\end{array} \right.$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)
$ \Rightarrow x + 3\sqrt 3 y = 1 + 3\sqrt 2 - 3 = 3\sqrt 2 - 2$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x.y$
ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\4\sqrt x + 2\sqrt y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\sqrt y = 0\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y = 0\\2\sqrt x = 2\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow x.y = 0.\)