Bài tập ôn tập chương 3

Điều kiện: $x \ne 2,\,\,\,y \ne  - \dfrac{1}{3}.$

Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{x - 2}}\\v = \dfrac{1}{{3y + 1}}\end{array} \right..$  Khi đó ta có hệ phương trình

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + 4v = 5\\2u - 4v =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u = 3\\u + 4v = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.$ 

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = 1\\\dfrac{1}{{3y + 1}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\3y + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right) = \left( {3;0} \right).$

Đáp án A: Có chứa $\sqrt x ;\sqrt y$  nên loại

Đáp án B: Chuyển thành hệ $\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 3\\3x - y = 1\end{array} \right.$    là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Đáp án B: Bậc của $x$ là $3$ và bậc của $y$ là $2$ nên loại

Đáp án D: Xuất hiện phương trình với 3 ẩn x, y, z  nên loại.

Hệ phương trình không phải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ B và hệ D nên loại B, D.

- Giải hệ phương trình A

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y =  - 1\\3x - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y =  - 1\\6x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 2y - \left( {x - 2y} \right) = 8 - \left( { - 1} \right)\\x - 2y =  - 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 9\\x - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{9}{5}\\\dfrac{9}{5} - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{9}{5}\\2y = \dfrac{{14}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{9}{5}\\y = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.$

Nghiệm của hệ phương trình trên là $\left( {\dfrac{9}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$

$\Rightarrow$ Cặp số $(x;y) = (1;3)$ không là nghiệm của hệ phương trình A

- Giải hệ phương trình C

$\left\{ \begin{array}{l}5x + 6y = 19\\ - x - y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - y\\5\left( {3 - y} \right) + 6y = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - y\\15 - 5y + 6y = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - y\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 4\end{array} \right.$

    $\Rightarrow$ Cặp số $(x;y) = ( - 1;4)$ là nghiệm của phương trình C

Thay $m = 2$ vào hệ phương trình đã cho ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 1\\x - 4y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 1\\x = 4y + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4y + 3\\2\left( {4y + 3} \right) - 2y = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4y + 3\\8y + 6 - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4y + 3\\6y =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \dfrac{5}{6}\\x = 4\left( { - \dfrac{5}{6}} \right) + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \dfrac{5}{6}\\x =  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Vậy với $m = 2$ thì hệ phương trình có nghiệm $\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{5}{6}} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y =  - 8\\4x + 3y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x - 20y =  - 32\\12x + 9y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x - 20y - \left( {12x + 9y} \right) =  - 32 - \left( { - 3} \right)\\12x + 9y =  - 3\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 29y =  - 29\\12x + 9y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\12x + 9.1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\12x =  - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 1\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)$

Thay  $\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{2}{3}\\y =  - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$ vào hệ phương trình đã cho ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}a.\left( { - \dfrac{2}{3}} \right) + a.\left( { - \dfrac{4}{3}} \right) = {a^2}\\ - \dfrac{2}{3} + a.\left( { - \dfrac{4}{3}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4a = 3{a^2}\\ - \dfrac{4}{3}a = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\3{a^2} + 6a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\3a\left( {a + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow a =  - 2$

Vậy $a =  - 2$ là giá trị cần tìm.

Giải hệ phương trình (I) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 3\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y - \left( {3x + y} \right) = 3 - 1\\3x + y = 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}2y = 2\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\3x + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 0\end{array} \right.$

Hai phương trình tương đương $\Leftrightarrow$ hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (0; 1) cũng là nghiệm của phương trình (II).

Thay $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.$ vào hệ phương trình (II) ta được $\left\{ \begin{array}{l}0 - n.1 = 1\\0 + m.1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n =  - 1\\m = 1\end{array} \right.$

Vậy $n =  - 1;m =1$.

Với $m \ne  - 3$ thì $m + 3 \ne 0$ nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm khi:

$\dfrac{{2m}}{2} = \dfrac{{m + 2}}{3} = \dfrac{4}{{m + 3}}$ ( $m \ne  - 3$)$\left\{ \begin{array}{l}3m = m + 2\\m\left( {m + 3} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = 2\\{m^2} + 3m - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\{m^2} + 4m - m - 4 = 0\end{array} \right.$  

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m\left( {m + 4} \right) - \left( {m + 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow m = 1$

Vậy $m = 1.$

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\y + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\y \ge  - 3\end{array} \right.$

Đặt $\dfrac{1}{{x - 2}} = u;\,\,\sqrt {y + 3}  = v\,\,\,\,\left( {u \ne 0;v \ge 0} \right).$

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}u + 3v = 7\\ - 3u + 2v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 7 - 3v\\ - 3\left( {7 - 3v} \right) + 2v = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 7 - 3v\\ - 21 + 9v + 2v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 7 - 3v\\11v = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 2\\u = 7 - 3.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 2\\u = 1\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Thay lại cách đặt, ta được

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = 1\\\sqrt {y + 3}  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\y + 3 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Đặt $\left| {3x - 2} \right| = u \ge 0$

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3u - 2y = 4\\2u + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u - 2y = 4\\4u + 2y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u - 2y = 4\\3u - 2y + 4u + 2y = 4 + 10\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}3u - 2y = 4\\7u = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\3.2 - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\2y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\left( {TM} \right)\\y = 1\end{array} \right.$

Với $u = 2 \Leftrightarrow \left| {3x - 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 2\\3x - 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 4\\3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{3}\\x = 0\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $\left( {\dfrac{4}{3};1} \right);\left( {0;1} \right)$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 10 - m\\x + my = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 - my\\m.\left( {4 - my} \right) + 4y = 10 - m\left( * \right)\end{array} \right.$

Phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow 4m - {m^2}y + 4y = 10 - m \Leftrightarrow y\left( {4 - {m^2}} \right) = 10 - 5m$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne  - 2\end{array} \right.$

Khi đó $y = \dfrac{{10 - 5m}}{{4 - {m^2}}} = \dfrac{{5\left( {2 - m} \right)}}{{\left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)}} = \dfrac{5}{{m + 2}}$

Thay $y = \dfrac{5}{{m + 2}}$ vào $x = 4 - my = 4 - m.\dfrac{5}{{m + 2}} = \dfrac{{4m + 8 - 5m}}{{m + 2}} = \dfrac{{ - m + 8}}{{m + 2}}$ $= \dfrac{{ - \left( {m + 2} \right) + 10}}{{m + 2}} =  - 1 + \dfrac{{10}}{{m + 2}}$

Với $m \ne  \pm 2$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \dfrac{{10}}{{m + 2}}\\y = \dfrac{5}{{m + 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \dfrac{{10}}{{m + 2}}\\2y = \dfrac{{10}}{{m + 2}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow x - 2y =  - 1 + \dfrac{{10}}{{m + 2}} - \dfrac{{10}}{{m + 2}} \Leftrightarrow x - 2y =  - 1$

Vậy $M\left( {x;y} \right)$ luôn thuộc đường thẳng $x - 2y =  - 1$ cố định.

$\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y = m + 1\\2x + my = 2m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{m + 1 - mx}}{2}\\2x + m.\dfrac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1\left( * \right)\end{array} \right.$

Phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow 4x + m\left( {m + 1 - mx} \right) = 4m - 2 \Leftrightarrow 4x + {m^2} + m - {m^2}x = 4m - 2$

$\Leftrightarrow \left( {4 - {m^2}} \right)x =  - {m^2} + 3m - 2 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x = {m^2} - 3m + 2$ (1)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2$

Khi đó $x = \dfrac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{{m^2} - m - 2m + 2}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{m\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 2}}$

Suy ra $y = \dfrac{{m + 1 - mx}}{2} = \dfrac{{m + 1 - m.\dfrac{{m - 1}}{{m + 2}}}}{2} = \dfrac{{\left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) - m\left( {m - 1} \right)}}{{2\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{{m^2} + 3m + 2 - {m^2} + m}}{2} = \dfrac{{4m + 2}}{2} = 2m + 1$

Nhận thấy với $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow y = 2m + 1 \in \mathbb{Z}$ nên để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất $\Rightarrow x$ nguyên hay $x  = \dfrac{{m - 1}}{{m + 2}} = \dfrac{{m + 2 - 3}}{{m + 2}} = 1 - \dfrac{3}{{m + 2}}$ là số nguyên

$\Rightarrow m + 2 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}$ $\Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 1; - 5;1} \right\}\,\left( {TM} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}x + my = 2\\mx - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - my\\m\left( {2 - my} \right) - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - my\\2m - {m^2}y - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - my\\\left( {{m^2} + 2} \right)y = 2m - 1\left( * \right)\end{array} \right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow {m^2} + 2 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} \ne  - 2$ (luôn đúng) nên hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi $m.$

Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - my\\\left( {{m^2} + 2} \right)y = 2m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = 2 - m.\dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = \dfrac{{2\left( {{m^2} + 2} \right) - 2{m^2} + m}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = \dfrac{{4 + m}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn $x > 0;y < 0$  $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4 + m}}{{{m^2} + 2}} > 0\\\dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + m > 0\\2m - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 4\\m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 < m < \dfrac{1}{2}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}mx + y =  - 1\\x + y =  - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + y - \left( {x + y} \right) =  - 1 - \left( { - m} \right)\\x + y =  - m\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx - x =  - 1 + m\\x + y =  - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {m - 1} \right) = m - 1\left( * \right)\\x + y =  - m\end{array} \right.$

Đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne   1$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x = m - 1\\x + y =  - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{m - 1}}{{m - 1}}\\y =  - x - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1 - m\end{array} \right.$

Theo bài ra ${y^2} = x \Leftrightarrow {\left( { - 1 - m} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = 1 \Leftrightarrow {m^2} + 2m = 0$$\Leftrightarrow m\left( {m + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 2\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Vậy $m = 0;m =  - 2$

Gọi vận tốc của $A$ và $B$ lần lượt là $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( {km/h;{\rm{ }}x,{\rm{ }}y > 0} \right)$

Hai người đi ngược chiều và gặp nhau sau  $3h$  nên ta có phương trình : $3x + 3y = 210\,\,(1)$

Nếu A tăng vận tốc thêm  $5{\rm{ }}km/h$ và $B$ giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B$ nên ta có phương trình: $x + 5 = y - 5\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 210\\x + 5 = y - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 70\\x - y =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 60\\x + y = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 40\end{array} \right.(tmdk)$

Vậy vận tốc của A và B lần lượt là $30km/h$ và $40km/h.$

Gọi vận tốc dự định của xe máy là x (km/h, $x > 2$ ).

Thời gian dự định đi từ A đến B là y (h, y > 0).

Quãng đường AB là: $xy$ (km)

Nếu xe máy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì đến B sớm hơn 2h nên ta có phương trình:

$(x + 5)(y - 2) = xy\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$

Nếu xe máy giảm vận tốc đi 2 km/h thì thì đến B muộn 1h nên ta có phương trình:

$(x - 2)(y + 1) = xy\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}(x + 5)(y - 2) = xy\\(x - 2)(y + 1) = xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 5y = 10\\x - 2y = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 5y = 10\\2x - 4y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 14\\2x - 4.14 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 14\\x = 30\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Vậy vận tốc dự định của xe máy là 30 km/h và thời gian dự định đi từ A đến B là 14h.

Ta có  $35' = \dfrac{{35}}{{60}} = \dfrac{7}{{12}}h$, $30' = \dfrac{1}{2}h$

Gọi quãng đường AB là x (km, x > 0) và thời gian dự định là y  $\left( {h;\,\,y > \dfrac{1}{2}} \right).$

Nếu đi với vận tốc 45 km/h sẽ tới B chậm 30 phút$= \dfrac{1}{2}h$  nên thời gian lúc này là $y + \dfrac{1}{2}\left( h \right)$, ta có phương trình: $x = 50\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$

Nếu đi với vận tốc 60km/h sẽ tới B sớm $35' = \dfrac{7}{{12}}h$ nên ta có: $x = 60\left( {y - \dfrac{7}{{12}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 50\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\\x = 60\left( {y - \dfrac{7}{{12}}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}50\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right) = 60\left( {y - \dfrac{7}{{12}}} \right)\\x = 50\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}50y + 25 = 60y - 35\\x = 50\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10y = 60\\x = 50\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6\\x = 50\left( {6 + \dfrac{1}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6\\x = 325\end{array} \right.$  (TM )

Vậy quãng đường AB là 325km.

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là $x$ (sản phẩm);

số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là $y$ (sản phẩm) $\left( {x,y \in {N^*}} \right)$.

Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 900 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 900\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$

Tháng thứ 2 tổ I giảm 15% và tổ II giảm  năng suất đi 25% so với tháng thứ nhất nên 2 tổ đã sản xuất được 750 sản phẩm, ta có: $x - \dfrac{{15}}{{100}}x + y - \dfrac{{25}}{{100}}y = 750 \Leftrightarrow 0,85x + 0,75y = 750\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 900\\0,85x + 0,75y = 750\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,75x + 0,75y = 675\\0,85x + 0,75y = 750\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,1x = 75\\x + y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 750\\x + y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 750\\y = 150\end{array} \right.$(tmdk)

Vậy trong tháng thứ nhất tổ I sản xuất được $750$  sản phẩm.

Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là x (học sinh) $(x \in N^*,x < 1000)$;

số học sinh của trường thứ 2 dự thi là y (học sinh) $(y \in N^*;\,\,y < 1000)$.

Hai trường có tất cả 1000 học sinh tham gia 1 cuộc thi nên ta có phương trình: $x + y = 1000\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$

Số học sinh thi đỗ của cả hai trường chiếm $86\%$ nên có tổng số học sinh thi đỗ là $86\% .1000 = 860$ học sinh

Trường A có 80% học sinh đạt, trường 2 có 90% đạt nên cả 2 trường có 860 học sinh đạt, ta có: $0,8x + 0,9y = 860\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1000\\0,8x + 0,9y = 860\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,8x + 0,8y = 800\\0,8x + 0,9y = 860\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}0,1y = 60\\x + y = 1000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 600\\x = 400\end{array} \right.$(tmdk)

Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là 400 học sinh; số học sinh của trường thứ 2 dự thi là 600 học sinh.

Gọi khối lượng thép chứa 10% Cacbon đem trộn là x tấn,

Gọi khối lượng thép chứa 20%  Cacbon đem trộn là y tấn $(x,y > 0)$.

Tổng khối lượng thép là 1000 tấn nên ta có phương trình $x + y = 1000\,\,\left( 1 \right)$

Lượng Cacbon có trong 1000 tấn thép chứa 16% Cacbon là $16\% .1000 = 160$ tấn

Lượng Cacbon có trong $x$ tấn thép chứa 10% Cacbon là $\dfrac{{10}}{{100}}x = 0,1x\,$ tấn

Lượng Cacbon có trong $y$ tấn thép chứa 20% Cacbon là $\dfrac{{20}}{{100}}y = 0,2y\,$ tấn

Từ đó ta có phương trình $0,1x + 0,2y = 160\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1000\\0,1x + 0,2y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1000\\x + 2y = 1600\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 600\\x + y = 1000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 600\\x = 400\end{array} \right.$(tmdk)

Vậy khối lượng thép chứa 20% Cacbon đem trộn là 600 tấn.