Giá trị của $m$ để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 2\\mx - 2y = 1\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 0\end{array} \right.\)  là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 2\\mx - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - my\\m\left( {2 - my} \right) - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - my\\2m - {m^2}y - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - my\\\left( {{m^2} + 2} \right)y = 2m - 1\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} \ne  - 2\) (luôn đúng) nên hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m.\)

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - my\\\left( {{m^2} + 2} \right)y = 2m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = 2 - m.\dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = \dfrac{{2\left( {{m^2} + 2} \right) - 2{m^2} + m}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = \dfrac{{4 + m}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn \(x > 0;y < 0\)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4 + m}}{{{m^2} + 2}} > 0\\\dfrac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + m > 0\\2m - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 4\\m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 < m < \dfrac{1}{2}\)