Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(x > 0,\,\,y < 0\) là:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\2x - y = m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = 2x - m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được
\(3x + 2\left( {2x - m} \right) = 10 \Leftrightarrow 3x + 4x - 2m = 10 \Leftrightarrow 7x = 2m + 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{{2m + 10}}{7}\)
Thay \(x = \dfrac{{2m + 10}}{7}\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(y = 2.\dfrac{{2m + 10}}{7} - m = \dfrac{{-3m + 20}}{7}\)
Để \(x > 0,\,\,y < 0\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m + 10}}{7} > 0\\\dfrac{{-3m +20}}{7} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 10 > 0\\-3m +20< 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 5\\m > \dfrac{{20}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{{20}}{3}\).
Vậy \( m > \dfrac{{20}}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giải hệ phương trình khi \(m = 9\) ta được nghiệm (x;y) là:
Với \(m = 9\) hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\2x - y = 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\4x - 2y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 28\\y = 2x - 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2.4 - 9 = - 1\end{array} \right.\)
Vậy với \(m = 9\) hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x,y} \right)\) là \(\left( {4, - 1} \right)\).
Biết hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3ax + y = b\\2ax - 2by = 3\end{array} \right.$ có nghiệm $x = - 1$; $y = - 2.$ Tính $14\left( {a - b} \right)$
Thay $x = - 1$; $y = - 2$ vào hệ ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}3a\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = b\\2.a\left( { - 1} \right) - 2b\left( { - 2} \right) = 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a - 2 = b\\ - 2a + 4b = 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2 - 3a\\ - 2a + 4\left( { - 2 - 3a} \right) = 3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2 - 3a\\14a = - 11\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{{11}}{{14}}\\b = - 2 - 3.\left( { - \dfrac{{11}}{{14}}} \right)\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{{11}}{{14}}\\b = \dfrac{5}{{14}}\end{array} \right.$
Vậy $a = \dfrac{{ - 11}}{{14}}$; $b = \dfrac{5}{{14}}$ thì hệ phương trình có nghiệm $x = - 1$; $y = - 2.$
$ \Rightarrow 14\left( {a - b} \right) = - 16.$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2m + 1\\x + 2y = - m + 2\end{array} \right.$ ($m$ là tham số) . Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $x - y = 1$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2m + 1\\x + 2y = - m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 4m + 2\\x + 2y = - m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 3m + 4\\x + 2y = - m + 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 4}}{7}\\\dfrac{{3m + 4}}{7} + 2y = - m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 4}}{7}\\2y = \dfrac{{ - 7m + 14}}{7} - \dfrac{{3m + 4}}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 4}}{7}\\y = \dfrac{{ - 5m + 5}}{7}\end{array} \right.$
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{3m + 4}}{7};\dfrac{{ - 5m + 5}}{7}} \right)$.
Để $x - y = 1$ thì $\dfrac{{3m + 4}}{7} - \dfrac{{ - 5m + 5}}{7} = 1 \Leftrightarrow 8m - 1 = 7 \Leftrightarrow 8m = 8 \Leftrightarrow m = 1.$
Vậy với $m = 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn $x - y = 1$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = \dfrac{7}{2} - m\\4x - y = 5m\end{array} \right.$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ mà \(m > \dfrac{1}{2}\) để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: ${x^2} + {y^2} = \dfrac{25}{16}$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = \dfrac{7}{2} - m\\4x - y = 5m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 7 - 2m\\4x - y = 5m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7y = 7 - 7m\\4x - y = 5m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\4x - \left( {1 - m} \right) = 5m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - m\\x = \dfrac{{4m + 1}}{4}\end{array} \right.$
Thay vào ${x^2} + {y^2} = \dfrac{25}{16}$ ta có
${x^2} + {y^2} = \dfrac{25}{16} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{4m + 1}}{4}} \right)^2} + {\left( {1 - m} \right)^2} = \dfrac{25}{16}\\ \Leftrightarrow 16{m^2} + 8m + 1 + 16{m^2} - 32m + 16 = 25$
\( \Leftrightarrow 32{m^2} - 24m - 8 = 0 \)\(\Leftrightarrow 4{m^2} - 3m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + m - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {4m + 1} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =- \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Mà \(m > \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = 1\) thỏa mãn.
Vậy $m = 1.$
Với \(m = 1\) thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = m + 1\\x + 2y = 2m + 3\end{array} \right.\) có cặp nghiệm \((x;y)\) là:
Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình đã cho ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 4\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 9\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {3;1} \right)$ khi $m = 1$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - my = m\left( 1 \right)\\mx + y = 1\left( 2 \right)\end{array} \right.$ ($m$ là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình
Từ phương trình (1): $x - my = m \Leftrightarrow x = m + my$ thế vào phương trình (2) ta được phương trình:
$m\left( {m + my} \right) + y = 1 \Leftrightarrow {m^2} + {m^2}y + y = 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)y = 1 - {m^2} \Leftrightarrow y = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{1 + {m^2}}}$ (vì \(1 + {m^2} > 0;\,\forall m\)) suy ra $x = m + m.\dfrac{{1 - {m^2}}}{{1 + {m^2}}} = \dfrac{{2m}}{{1 + {m^2}}}$ với mọi $m$
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2m}}{{1 + {m^2}}};\dfrac{{1 - {m^2}}}{{1 + {m^2}}}} \right)$
$ \Rightarrow x - y = \dfrac{{2m}}{{1 + {m^2}}} - \dfrac{{1 - {m^2}}}{{1 + {m^2}}} = \dfrac{{{m^2} + 2m - 1}}{{1 + {m^2}}}$.
Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m + 1\\2x + my = 1 - m\end{array} \right.\)có nghiệm duy nhất với mọi $m$. Tìm nghiệm duy nhất đó theo $m$.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m + 1\\2x + my = 1 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m - 1\\2x + m\left( {mx - 2m - 1} \right) = 1 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m - 1\\2x + {m^2}x - 2{m^2} - m = 1 - m\end{array} \right.\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({m^2} + 2)x = 2{m^2} + 1{\rm{ }}(1)\\y = mx - 2m - 1{\rm{ }}\,{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$
Ta có: ${m^2} + 2 > 0;\,\forall m$ nên PT $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $\forall m$
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$
Từ $\left( 1 \right)$ ta có:$x = \dfrac{{2{m^2} + 1}}{{{m^2} + 2}}$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta có $y = m.\dfrac{{2{m^2} + 1}}{{{m^2} + 2}} - 2m - 1 = \dfrac{{ - {m^2} - 3m - 2}}{{{m^2} + 2}}$
Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2{m^2} + 1}}{{{m^2} + 2}};\dfrac{{ - {m^2} - 3m - 2}}{{{m^2} + 2}}} \right)$
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - my = 3m - 1\\2x - y = m + 5\end{array} \right.\). Tìm $m$ để có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ sao cho biểu thức \(S = {x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - my = 3m - 1\\2x - y = m + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\\\left( {m - 1} \right)x - m\left( {2x - m - 5} \right) = 3m - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\\\left( {m - 1} \right)x - 2mx + {m^2} + 5m = 3m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\\ - \left( {m + 1} \right)x = - {m^2} - 5m + 3m - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\\\left( {m + 1} \right)x = {m^2} + 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - m - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {m + 1} \right)x = {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay \(m \ne - 1\).
Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra \(x = \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{m + 1}} = m + 1\), thay \(x = m + 1\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được \(y = 2\left( {m + 1} \right) - m - 5 = m - 3.\)
Vậy với \(m \ne - 1\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {m + 1;m - 3} \right)\)
Ta xét \(S = {x^2} + {y^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} = {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 6m + 9\)
\( = 2{m^2} - 4m + 10 = 2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 8 = 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 8\)
Vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall m \Rightarrow 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 8 \ge 8;\,\forall m\)
Hay \(S \ge 8;\,\forall m\). Dấu “=” xảy ra khi \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\left( {TM} \right)\)
Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 3\\4x + my = 6\end{array} \right.\) ($m$ là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 1\end{array} \right.$
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 3\\4x + my = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - mx\\4x + m\left( {3 - mx} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - mx\\4x + 3m - {m^2}x = 6\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - mx\\\left( {4 - {m^2}} \right)x = 6 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - mx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {{m^2} - 4} \right)x = 3\left( {m - 2} \right)\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2$ $\left( * \right)$
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{{m + 2}}\\y = 3 - \dfrac{3m}{{m + 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{{m + 2}}\\y = \dfrac{{ 6}}{{m + 2}}\end{array} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{m + 2}} > 0\\\dfrac{{ 6}}{{m + 2}} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\\dfrac{{4-m }}{{m + 2}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\4-m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m < 4\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow -2<m<4\)
Kết hợp với $\left( * \right)$ ta được giá trị $m$ cần tìm là $-2<m<4;m \ne 2$.
Với giá trị nào của \(m\) thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right.\) có vô số nghiệm.
\(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\\x + my = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x + m(2m - mx) = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x + 2{m^2} - {m^2}x = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2m - mx\\x({m^2} - 1) = 2{m^2} - m - 1\end{array} \right.\)
Với \(m^2-1=0\)\(\Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Nếu \(m = 1\) ta được \(0x = 0\) (đúng với \(\forall x\)) \( \Rightarrow \) hệ phương trình có vô số nghiệm
Nếu \(m = - 1\) ta được \(0x = 2\) (vô lí) \( \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy $m=1$ thì hệ đã cho vô số nghiệm.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = {m^2}\\2x + my = - {m^3} + 2m + 2\end{array} \right.\). Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tính \(x - y\) theo \(m.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = {m^2}\\2x + my = - {m^3} + 2m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - {m^2}\\2x + m\left( {mx - {m^2}} \right) = - {m^3} + 2m + 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - {m^2}\\x\left( {{m^2} + 2} \right) = 2m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 2}}{{{m^2} + 2}}\\y = m.\dfrac{{2m + 2}}{{{m^2} + 2}} - {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 2}}{{{m^2} + 2}}\\y = \dfrac{{ - {m^4} + 2m}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.\) (vì \({m^2} + 2 > 0;\forall m\) )
Suy ra \(x - y = \dfrac{{{m^4} + 2}}{{{m^2} + 2}}\) .
Tìm giá trị của m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\mx - y = m\end{array} \right.\) có nghiệm nguyên duy nhất
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\mx - y = m\end{array} \right. \Rightarrow x + mx = 2 + m \Rightarrow x(m + 1) = m + 2\)
Nếu \(m = - 1 \Rightarrow 0.x = 1\) (vô lí)
Nếu \(m \ne - 1 \Rightarrow x = \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}} = 1 + \dfrac{1}{{m + 1}}\)
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất \( \Rightarrow x\) nguyên
\( \Rightarrow m + 1 = \pm 1\) \( \Rightarrow m = 0;m = - 2\)
Với \(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Với \(m = - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\). Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m(1 - my) - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m - {m^2}y - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\y({m^2} + 1) = 2m\end{array} \right.\)
Do \({m^2} + 1 \ge 1>0 \Rightarrow y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}} \\\Rightarrow x = 1 - my = 1 - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}} = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\)
Xét \({x^2} + {y^2} = \dfrac{{4{m^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} + \dfrac{{{{(1 - {m^2})}^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{4{m^2} + 1 - 2{m^2} + {m^4}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{{{(1 + {m^2})}^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = 1\)
Vậy \({x^2} + {y^2} = 1\) không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + (m + 1)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right.\) . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm \((x;y)\) thỏa mãn \(2x + 2y = 5\)
Từ hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + (m + 1)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right.\) và \(2x + 2y = 5\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = - 2\\2x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x - 2y = - 4\\2x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10x = 1\\2x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{10}}\\y = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\)
Thay \(x = \dfrac{1}{{10}}\) và \(y = \dfrac{{12}}{5}\) vào phương trình \(x + (m + 1)y = 1\) ta được \(\dfrac{1}{{10}} + \left( {m + 1} \right).\dfrac{{12}}{5} = 1 \Leftrightarrow 1 + 24\left( {m + 1} \right) = 10 \Leftrightarrow 24m = - 15 \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{8}\)
Biết hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = a\\bx + ay = 5\end{array} \right.$ có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$Tính $10\left( {a + b} \right)$
Thay $x = 1$; $y = 3$ vào hệ ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.3 = a\\b.1 + a.3 = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}a - 3b = 2\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}3a - 9b = 6\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}10b = - 1\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - 1}}{{10}}\\a = \dfrac{{17}}{{10}}\end{array} \right.$.
Vậy $a = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$; $y = \dfrac{{17}}{{10}}$ thì hệ phương trình có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$
$ \Rightarrow 10\left( {a + b} \right) = 16$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right.$ ($m$ là tham số) . Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn $x + y = - 3$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\2x - 3y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 2m + 6\\2x - 3y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = m + 3\\7y = m + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5m + 9}}{7}\\y = \dfrac{{m + 6}}{7}\end{array} \right.$
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{5m + 9}}{7};\dfrac{{m + 6}}{7}} \right)$.
Lại có $x + y = - 3$ hay $\dfrac{{5m + 9}}{7} + \dfrac{{m + 6}}{7} = - 3 \Leftrightarrow 5m + 9 + m + 6 = - 21 \Leftrightarrow 6m = - 36 \Leftrightarrow m = - 6$
Vậy với $m = - 6$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn $x + y = - 3$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: ${x^2} - 2{y^2} = - 2$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1-2x\\x - 2(5m-1-2x) = 2\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}y = 5m - 1-2x\\5x= 10m\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y =m-1\end{array} \right.$
Thay vào ${x^2} - 2{y^2} = - 2$ ta có
${x^2} - 2{y^2} = - 2 \Leftrightarrow {(2m)^2} - 2{(m - 1)^2} = - 2 \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.$
Vậy $m \in \left\{ {-2;0} \right\}$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}(m - 1)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right.$ ($m$ là tham số) . Nghiệm của hệ phương trình khi $m = 2$ là
Thay $m = 2$ vào hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\2x + y = 3\end{array} \right.$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\2x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {1;1} \right)$ khi $m = 2$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}(m - 1)x + y = 2\\mx + y = m + 1\end{array} \right.$ ($m$ là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình
Từ $\left( {m - 1} \right)x + y = 2$ thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:
$mx + 2-\left( {m - 1} \right)x = m + 1 \Leftrightarrow x = m-1$ suy ra $y = 2-{\left( {m - 1} \right)^2}$ với mọi $m$
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {m - 1;2-{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \right)$
$2x + {\rm{ }}y = 2\left( {m - 1} \right) + 2-{\left( {m - 1} \right)^2} = - {m^2} + 4m - 1$
$= 3-{\left( {m - 2} \right)^2} \le 3$ với mọi $m$.
