Biết rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}(m - 2)x - 3y = - 5\\x + my = 3\end{array} \right.$có nghiệm duy nhất với mọi $m$. Tìm nghiệm duy nhất đó theo $m$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}(m - 2)x - 3y = - 5\\x + my = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(m - 2)(3 - my) - 3y = - 5\\x = 3 - my\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - {m^2}y - 6 + 2my - 3y = - 5\\x = 3 - my\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({m^2} - 2m + 3)y = 3m - 1{\rm{ }}(1)\\x = 3 - my{\rm{ }}\,{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$
Ta có: ${m^2} - 2m + 3 = {(m - 1)^2} + 2 > 0 \,\,\,\forall m$ nên PT $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $\forall m$
Hay hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$
Từ $\left( 1 \right)$ ta có:$y = \dfrac{{3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta có $x = \dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}}$
Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2m + 9\\x + y = 5\end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tìm $m$ để biểu thức $A = xy + x - 1$ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2m + 9\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 2\\y = 3 - m\end{array} \right. \Rightarrow A = xy + x - 1 = 8 - {\left( {m - 1} \right)^2}$ $ \Rightarrow {A_{max}} = 8$ khi $m = 1$.
Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right.$
Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( 1 \right)\\mx + y = 2m\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Từ (2) $ \Rightarrow y = 2m - mx$ thay vào (1) ta được $x + m\left( {2m - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow 2{m^2} - {m^2}x + x = m + 1$
$ \Leftrightarrow \left( {1 - {m^2}} \right)x = - 2{m^2} + m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 2{m^2} - m - 1$ $\left( 3 \right)$
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left( 3 \right)$có nghiệm duy nhất ${m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$ $\left( * \right)$
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{m + 1}}\end{array} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}} \ge 2\\\dfrac{m}{{m + 1}} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\\\dfrac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1$
Kết hợp với $\left( * \right)$ ta được giá trị $m$ cần tìm là $m < - 1$.
Cho hệ phương trình :$\left\{ \begin{array}{l}2x + ay = - 4\\ax - 3y = 5\end{array} \right.$. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu \(a = 0\), hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}2x = - 4\\ - 3y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
+ Nếu $a \ne 0$, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: $\dfrac{2}{a} \ne \dfrac{a}{{ - 3}} \Leftrightarrow {a^2} \ne - 6$ (luôn đúng, vì ${a^2} \ge 0$ với mọi \(a\))
Do đó, với $a \ne 0$, hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi \(a\).
Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - y = a + 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{\left( 2 \right)}\end{array}}&{}\end{array}\end{array} \right.$ ($a$ là tham số)
Với $a \ne 0$ hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$. Tính $x + y$ theo $a$
Từ PT $\left( 1 \right)$ ta có: $y = \left( {a + 1} \right)x - \left( {a + 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)$ thế vào PT $\left( 2 \right)$ ta được: $x + \left( {a - 1} \right)\left[ {\left( {a + 1} \right)x - \left( {a + 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow x + \left( {{a^2} - 1} \right)x - \left( {{a^2} - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {a^2}x = {a^2} + 1\,\,\,\,\left( 3 \right)$
Với $a \ne 0$, phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}$. Thay vào $\left( * \right)$ ta có:
$y = \left( {a + 1} \right)\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} - \left( {a + 1} \right) = \dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) - {a^2}\left( {a + 1} \right)}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^3} + a + {a^2} + 1 - {a^3} - {a^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}$
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}};\dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}} \right)$
$ \Rightarrow x + y = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} + \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + a + 2}}{{{a^2}}}$
Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - y = a + 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{\left( 2 \right)}\end{array}}&{}\end{array}\end{array} \right.$
($a$ là tham số)
Với $a \ne 0$ hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$. Tìm các số nguyên $a$ để hệ phương trình có nghiệm nguyên
Từ PT $\left( 1 \right)$ ta có: $y = \left( {a + 1} \right)x - \left( {a + 1} \right)$ (*) thế vào PT $\left( 2 \right)$ ta được: $x + \left( {a - 1} \right)\left[ {\left( {a + 1} \right)x - \left( {a + 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow x + \left( {{a^2} - 1} \right)x - \left( {{a^2} - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {a^2}x = {a^2} + 1 \,\,\,\, (3)$
Với $a \ne 0$, phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}$. Thay vào $\left( * \right)$ ta có:
$y = \left( {a + 1} \right)\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} - \left( {a + 1} \right) = \dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) - {a^2}\left( {a + 1} \right)}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^3} + a + {a^2} + 1 - {a^3} - {a^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}$
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}};\dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}} \right)$
Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \mathbb{Z}}\\{y \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}}\\{\dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {a \in \mathbb{Z}} \right)}\end{array}$
Điều kiện cần: $x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z} $ mà $a^2 > 0$
\( \Rightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1\) (TM \(a \ne 0\))
Điều kiện đủ:
$a = - 1 \Rightarrow y = 0 \in \mathbb{Z}$ (nhận)
$a = 1 \Rightarrow y = 2 \in \mathbb{Z}$ (nhận)
Vậy $a = \pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\mx - y = m\end{array} \right..\) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), tìm điều kiện của m để \(x > 1\) và \(y > 0.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\mx - y = m\end{array} \right..\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\m\left( {2 - 2y} \right) - y = m\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\\left( {2m + 1} \right)y = m\end{array} \right.$
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $m \ne - \dfrac{1}{2} $
Suy ra $y = \dfrac{m}{{2m + 1}} \Rightarrow x = 2 - 2.\dfrac{m}{{2m + 1}}$$ \Rightarrow x = \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}\end{array} \right.$
Để $\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}} > 1\\\dfrac{m}{{2m + 1}} > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{2m + 1}} > 0\\\dfrac{m}{{2m + 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{1}{2}\\m > 0\end{array} \right. \Rightarrow m > 0$
Kết hợp điều kiện $m \ne - \dfrac{1}{2}$ ta có $m>0.$
Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..\) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), tìm hệ thức liên hệ giữa $x, y$ không phụ thuộc vào $m$
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\4x - m\left( {mx - 2m} \right) = m + 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\x\left( {{m^2} - 4} \right) = 2{m^2} - m - 6\end{array} \right.$
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \left\{ { 2; -2} \right\}$
Khi đó $x = \dfrac{{2{m^2} - m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}$$ \Rightarrow y = m.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2m$$ = \dfrac{{ - m}}{{m + 2}}$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}\\y = \dfrac{{ - m}}{{m + 2}}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \dfrac{1}{{m + 2}}\\y = - 1 + \dfrac{2}{{m + 2}}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 4 - \dfrac{2}{{m + 2}}\\y = - 1 + \dfrac{2}{{m + 2}}\end{array} \right.$$ \Rightarrow 2x + y = 3$.
Vậy hệ thức không phụ thuộc vào $m$ là $2x + y = 3$.
Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..\) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), tìm giá trị của m để : \(6x - 2y = 13.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\4x - m\left( {mx - 2m} \right) = m + 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\x\left( {{m^2} - 4} \right) = 2{m^2} - m - 6\end{array} \right.$
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \left\{ { -2;2} \right\}$
Khi đó $x = \dfrac{{2{m^2} - m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}$$ \Rightarrow y = m.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2m$.
Thay $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}\\y = \dfrac{{ - m}}{{m + 2}}\end{array} \right.$ vào phương trình \(6x - 2y = 13\) ta được
$6.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2.\dfrac{{ - m}}{{m + 2}} = 13$
$\Leftrightarrow \dfrac{{14m + 18}}{{m + 2}} = 13$
$\Rightarrow 14m + 18 = 13m + 26 $
$\Leftrightarrow m = 8\left( {TM} \right)$
Vậy $m = 8$ là giá trị cần tìm.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\2x - y = m\end{array} \right.\)(\(m\) là tham số)
Giải hệ phương trình khi \(m = 9\) ta được nghiệm (x;y) là:
Với \(m = 9\) hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\2x - y = 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\4x - 2y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 28\\y = 2x - 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2.4 - 9 = - 1\end{array} \right.\)
Vậy với \(m = 9\) hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x,y} \right)\) là \(\left( {4, - 1} \right)\).
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\2x - y = m\end{array} \right.\)(\(m\) là tham số)
Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(x > 0,\,\,y < 0\) là:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\\2x - y = m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 10\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = 2x - m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được
\(3x + 2\left( {2x - m} \right) = 10 \Leftrightarrow 3x + 4x - 2m = 10 \Leftrightarrow 7x = 2m + 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{{2m + 10}}{7}\)
Thay \(x = \dfrac{{2m + 10}}{7}\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(y = 2.\dfrac{{2m + 10}}{7} - m = \dfrac{{-3m + 20}}{7}\)
Để \(x > 0,\,\,y < 0\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m + 10}}{7} > 0\\\dfrac{{-3m +20}}{7} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 10 > 0\\-3m +20< 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 5\\m > \dfrac{{20}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{{20}}{3}\).
Vậy \( m > \dfrac{{20}}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
