Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right.$

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( 1 \right)\\mx + y = 2m\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ (2) $ \Rightarrow y = 2m - mx$ thay vào (1) ta được $x + m\left( {2m - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow 2{m^2} - {m^2}x + x = m + 1$

$ \Leftrightarrow \left( {1 - {m^2}} \right)x =  - 2{m^2} + m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 2{m^2} - m - 1$ $\left( 3 \right)$         

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left( 3 \right)$có nghiệm duy nhất ${m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1$ $\left( * \right)$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{m + 1}}\end{array} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m + 1}}{{m + 1}} \ge 2\\\dfrac{m}{{m + 1}} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\\\dfrac{{ - 1}}{{m + 1}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - 1$

Kết hợp với $\left( * \right)$ ta được giá trị $m$ cần tìm là $m <  - 1$.