Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB ,M di động trên nửa đường tròn.Trên nửa mp AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I, tia phân giác của góc AIM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F , tia BE cắt Ax tại H , cắt AM tại K. Cmr tam giác AHK là tam giác gì?

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Theo giả thiết `AE` là tia phân giác $\widehat{IAM} → \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

$→ AE=ME(...)⇒ \widehat{ABE}=\widehat{MBE}$ (2 góc nội tiếp chắn cung bằng nhau)

$⇒ BE$ là tia phân giác $\widehat{ABF} (1)$

Theo trên ta có: $\widehat{AEB}=90^o→ BE⊥AF$ hay $BE$ là đừơng cao của $ΔABF(2)$

Từ `(1)` và `(2)` suy ra: $ΔBAF$ cân tại `B` 

`BAF` là tam giác cân tại `B` có `BE` là đcao nên đồng thời là đường trung tuyến $→E$ là trung điểm $AF (3)$

Từ `BE⊥AF→ AF⊥HK(4)` , theo trên `AE` là tia phân giác $\widehat{IAM}$ hay `AE` là tia phân giác $\widehat{HAK}(5)$ 

Từ `(4)` và `(5)` suy ra: `HAK` là tam giác cân tại `A` (điều phải chứng minh)