Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) có vô số nghiệm khi hai đường thẳng \(d:ax + by = c \) và \(d':a'x + b'y = c' \) trùng nhau, suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) (các hệ số \(a';b';c'\)khác 0)

Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 5y =  - 1\\5x + y = 2\end{array} \right.\)  có $\dfrac{{ - 1}}{5} \ne \dfrac{5}{1}$ nên hệ phương trình  có nghiệm duy nhất.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 4\\\left( {m - 1} \right)x + 2y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 4\\2y = \left( {1 - m} \right)x + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 4\\y = \dfrac{{1 - m}}{2}x + \dfrac{m}{2}\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 4\\\left( {m - 1} \right)x + 2y = m\end{array} \right.\)  vô nghiệm thì đường thẳng \(d:y = 2x - 4\) song song với đường thẳng \(d':y = \dfrac{{1 - m}}{2}x + \dfrac{m}{2}\)  suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 - m}}{2} = 2\\\dfrac{m}{2} \ne  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m = 4\\m \ne  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 3\\m \ne  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 3\)

Xét hệ \(\left( I \right):\left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 1\,\\y = x + 1\,\end{array} \right.\)  .

Nhận thấy rằng hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 1\) trùng nhau nên hệ \(\left( I \right)\) có vô số nghiệm.

Xét hệ \(\left( {II} \right)\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 5\\3y + 5 = 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 2x - 5\\3y = 2x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}\\y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\) 

Nhận thấy rằng hai đường thẳng $\left( {{d_3}} \right):y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}$ và $\left( {{d_4}} \right):y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}$ trùng nhau nên hệ \(\left( {II} \right)\) có vô số nghiệm.

Vậy cả hai hệ đã cho đều có vô số nghiệm.

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - \left( {m - 2} \right)y = 2\\\left( {m - 1} \right)x - 2y = m - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\2y = \left( {m - 1} \right)x - m + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)

TH1: Với \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}0.y = x - 2\\y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng \(x = 2\) và \(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\) cắt nhau.

TH2: Với \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{{m - 2}}x - \dfrac{2}{{m - 2}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình  đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng \(d:y = \dfrac{1}{{m - 2}}x - \dfrac{2}{{m - 2}}\) và \(d':y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\) cắt nhau

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{m - 2}} \ne \dfrac{{m - 1}}{2} \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ne 2 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 2 \Leftrightarrow {m^2} - 3m \ne 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 3\end{array} \right.\)

Suy ra $m \ne \left\{ {0;2;3} \right\}$

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có $ m\ne \left\{ {0;3} \right\}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(m \ne \left\{ {0;3} \right\}\)

Thay lần lượt các cặp số $\left( {1;2} \right)$;$\left( {8; - 3} \right)$;$\left( {3; - 8} \right)$ và $\left( {3;8} \right)$ vào hệ phương  trình ta được

+) Với cặp số $\left( {1;2} \right)$ thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}5.1 + 2 = 7\\ - 1 - 3.2 = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 = 7\\ - 7 = 21\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại A.

+) Với cặp số $\left( {8; - 3} \right)$ thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}5.8 + \left( { - 3} \right) = 7\\ - 8 - 3\left( { - 3} \right) = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}37 = 7\\1 = 21\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại B.

+) Với cặp số $\left( {3;8} \right)$ thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}5.3 + 8 = 7\\ - 3 - 3.8 = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}23 = 7\\ - 27 = 21\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại D.

+) Với cặp số $\left( {3; - 8} \right)$ thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}5.3 + \left( { - 8} \right) = 7\\ - 3 - 3.\left( { - 8} \right) = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 = 7\\21 = 21\end{array} \right.\) (luôn đúng) nên chọn C.

Để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 2} \right)x + y = 2m - 8\\{m^2}x + 2y =  - 3\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 1;3} \right)\) làm nghiệm thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) + 3 = 2m - 8\\{m^2}\left( { - 1} \right) + 2.3 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - 2 + 3 = 2m - 8\\ - {m^2} + 6 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m = 9\\{m^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\).

Vậy \(m = 3\)

+) Thay $x = 3;y =  - 5$ vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 1\\x + y = 2\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 3\left( { - 5} \right) = 1\\3 + \left( { - 5} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}18 = 1\\ - 2 = 2\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại A.

+) Thay $x = 3;y =  - 5$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x - 3y = 5\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l} - 5 =  - 1\\3 - 3.\left( { - 5} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 =  - 1\\18 = 5\end{array} \right.$ (vô lý) nên loại C.

+) Thay $x = 3;y =  - 5$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 0\\x - 3y = 0\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}4.3 - \left( { - 5} \right) = 0\\3 - 3.\left( { - 5} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}17 = 0\\18 = 0\end{array} \right.$ (vô lý) nên loại D.

+) Thay $x = 3;y =  - 5$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}3.3 + \left( { - 5} \right) = 4\\2.3 - \left( { - 5} \right) = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = 4\\11 = 11\end{array} \right.$ (luôn đúng) nên chọn B.

+ TH1: Với \(m = 0\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}5y =  - 15\\ - 4x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x =  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)  hay hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên loại \(m = 0.\)

+ TH2: Với \(m \ne 0\).

Để hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}5mx + 5y =  - \dfrac{{15}}{2}\\ - 4x - my = 2m + 1\end{array} \right.\)  có vô số nghiệm thì $\dfrac{{5m}}{{ - 4}} = \dfrac{5}{{ - m}} = \dfrac{{ - 15}}{{2\left( {2m + 1} \right)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5{m^2} =  - 20\\10\left( {2m + 1} \right) = 15m\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\20m + 10 = 15m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\\m =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow m =  - 2$(TM )

Ta có $d:4x + 2y =  - 5$$ \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 4x - 5}}{2}$ và $d':2x - y =  - 1$$ \Leftrightarrow y = 2x + 1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $\dfrac{{ - 4x - 5}}{2} = 2x + 1 \Leftrightarrow  - 4x - 5 = 4x + 2 \Leftrightarrow 8x =  - 7 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{7}{8}$$ \Rightarrow y = 2x + 1 = 2.\left( { - \dfrac{7}{8}} \right) + 1 =  - \dfrac{3}{4}$

Vậy tọa độ giao điểm của $d$ và $d'$ là $\left( { - \dfrac{7}{8}; - \dfrac{3}{4}} \right)$

Suy ra nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y =  - 5\\2x - y =  - 1\end{array} \right.$ là $\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( { - \dfrac{7}{8}; - \dfrac{3}{4}} \right)$

Từ đó ${x_0}.{y_0} = \left( { - \dfrac{7}{8}} \right).\left( { - \dfrac{3}{4}} \right) = \dfrac{{21}}{{32}}$.

\((\sqrt{3}-1)x-y=1\,\,\,\,\,\,(1)\)

Thay x = 0, y = -1 vào vế trái của (1) ta được: \((\sqrt{3}-1).0-(-1)=0+1=1\) .

Vậy (0; -1) là nghiệm của (1).

Thay \((\sqrt{3},2-\sqrt{3})\) vào vế trái của (1) ta được: \((\sqrt{3}-1).\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})=3-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=1\).

Vậy \((\sqrt{3},2-\sqrt{3})\) là nghiệm của (1).

Thay \((1;\sqrt{3}-3)\) vào vế trái của (1) ta được: \((\sqrt{3}-1).1-(\sqrt{3}-3)=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+3=2\ne 1\).

Vậy  \((1;\sqrt{3}-3)\)không là nghiệm của (1).

Thay \((\sqrt{3}+1;1)\) vào vế trái của (1) ta được: \((\sqrt{3}-1).(\sqrt{3}+1)-1=3-1-1=1\).

Vậy \((\sqrt{3}+1;1)\) là nghiệm của (1).

\(\begin{align}  & ({{d}_{1}}):\,\,\,\,\,(3a-1)x+2by=56 \\ & ({{d}_{2}}):\,\,\,\,\,0,5ax-(3b+2)y=3 \\\end{align}\)

Đường thẳng \(({{d}_{1}})\) và \(({{d}_{2}})\) cắt nhau tại điểm \(M(2;-5)\) nên tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{align}  & (3a-1)x+2by=56 \\ & 0,5ax-(3b+2)y=3 \\\end{align} \right.\)

Thay \(x=2;\,\,y=-5\) vào hệ phương trình trên ta được

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}(3a - 1).2 + 2b.( - 5) = 56\\0,5a.2 - (3b + 2).( - 5) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 2 - 10b = 56\\a + 15b + 10 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 10b = 58\\a + 15b = - 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 5b = 29\\a + 15b = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 5b = 29\\a = - 7 - 15b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3( - 7 - 15b) - 5b = 29\\a = - 7 - 15b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 21 - 45b - 5b = 29\\a = - 7 - 15b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 50b = 50\\a = - 7 - 15b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\a = - 7 - 15.( - 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\a = 8\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với a = 8, b = -1 thì hai đường thẳng \(({{d}_{1}})\) và \(({{d}_{2}})\) cắt nhau tại điểm M(2; -5).

Hệ phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{1}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{a}{1}\Leftrightarrow a=2.\)

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

- Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)

- Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) (các hệ số khác 0)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

- Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)

- Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\)

Thay lần lượt các cặp số $\left( {21; - 15} \right)$;$\left( {1;1} \right)$;$\left( {1; - 1} \right)$ và $\left( { - 21;15} \right)$ vào hệ phương  trình ta được

+) Với cặp số $\left( {21; - 15} \right)$ thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2.21 + 3.15 = 3\\ - 4.21 + 5.15 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}87 = 3\\ - 9 = 9\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại B.

+) Với cặp số $\left( {1;1} \right)$ thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 3.1 = 3\\ - 4.1 - 5.1 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = 3\\ - 9 = 9\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại C.

+) Với cặp số $\left( {1; - 1} \right)$ thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 3.\left( { - 1} \right) = 3\\ - 4.1 - 5.\left( { - 1} \right) = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 3\\1 = 9\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại D.

+) Với cặp số $\left( { - 21;15} \right)$ thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 21} \right) + 3.15 = 3\\ - 4.\left( { - 21} \right) - 5.15 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = 3\\9 = 9\end{array} \right.\) (luôn đúng) nên chọn A.

+) Thay $x =  - 2;y =  - 3$ vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\2x + y = 4\end{array} \right.\) ta được $\left\{ \begin{array}{l} - 2 - \left( { - 3} \right) = 1 \ne 3\\2.\left( { - 2} \right) - 3 =  - 7 \ne 4\end{array} \right.$ nên loại A.

+) Thay $x =  - 2;y =  - 3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - 3y = 8\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) =  - 1\\ - 2 - 3.\left( { - 3} \right) = 7 \ne 8\end{array} \right.$ nên loại B.

+) Thay $x =  - 2;y =  - 3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 0\\x - 3y = 5\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}4.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 3} \right) =  - 2 \ne 0\\ - 2 - 3.\left( { - 3} \right) = 7 \ne 5\end{array} \right.$ nên loại D.

+) Thay $x =  - 2;y =  - 3$ vào hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - 3y = 7\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) =  - 1\\ - 2 - 3.\left( { - 3} \right) = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - 1\\7 = 7\end{array} \right.$ nên chọn C.

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y =  - 3\\3x - 2y = 7\end{array} \right.\)  có $\dfrac{{ - 2}}{3} \ne \dfrac{1}{{ - 2}}$ nên hệ phương trình  có nghiệm duy nhất.

Để hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.\)  vô nghiệm thì $\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{1} \ne \dfrac{{2m}}{1} $

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow m = 1\)