Cho hệ \(\left( I \right):\left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = x + 1\end{array} \right.\) và hệ \(\left( {II} \right)\,:\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 5\\3y + 5 = 2x\end{array} \right.\) . Chọn kết luận đúng.
Trả lời bởi giáo viên
Xét hệ \(\left( I \right):\left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 1\,\\y = x + 1\,\end{array} \right.\) .
Nhận thấy rằng hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 1\) trùng nhau nên hệ \(\left( I \right)\) có vô số nghiệm.
Xét hệ \(\left( {II} \right)\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 5\\3y + 5 = 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 2x - 5\\3y = 2x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}\\y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)
Nhận thấy rằng hai đường thẳng $\left( {{d_3}} \right):y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}$ và $\left( {{d_4}} \right):y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}$ trùng nhau nên hệ \(\left( {II} \right)\) có vô số nghiệm.
Vậy cả hai hệ đã cho đều có vô số nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,\,(2)\end{array} \right.$ có \(d\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(d'\) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\), khi đó
Trường hợp 1. \(d \cap d' = A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\);
Trường hợp 2. \(d//d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm;
Trường hợp 3. \(d \equiv d' \Leftrightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm.