Xác định giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}x - \left( {m - 2} \right)y = 2\\\left( {m - 1} \right)x - 2y = m - 5\end{array} \right.\)   có nghiệm duy nhất

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - \left( {m - 2} \right)y = 2\\\left( {m - 1} \right)x - 2y = m - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\2y = \left( {m - 1} \right)x - m + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)

TH1: Với \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}0.y = x - 2\\y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng \(x = 2\) và \(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\) cắt nhau.

TH2: Với \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)y = x - 2\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{{m - 2}}x - \dfrac{2}{{m - 2}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình  đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng \(d:y = \dfrac{1}{{m - 2}}x - \dfrac{2}{{m - 2}}\) và \(d':y = \dfrac{{m - 1}}{2}x - \dfrac{m}{2} + \dfrac{5}{2}\) cắt nhau

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{m - 2}} \ne \dfrac{{m - 1}}{2} \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ne 2 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 2 \Leftrightarrow {m^2} - 3m \ne 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 3\end{array} \right.\)

Suy ra $m \ne \left\{ {0;2;3} \right\}$

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có $ m\ne \left\{ {0;3} \right\}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(m \ne \left\{ {0;3} \right\}\)