Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - 2y = 3\\3\sqrt 2 x - 6y = 5\end{array} \right.$  có $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 6}} \ne \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{5}$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

Để hệ phương trình  $\left\{ \begin{array}{l}mx - 2y = 1\\2x - my = 2{m^2}\end{array} \right.$  có nghiệm duy nhất thì $\dfrac{m}{2} \ne \dfrac{{ - 2}}{{ - m}} \Leftrightarrow {m^2} \ne 4 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2$

Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - mx + y =  - 2m\\x + {m^2}y = 9\end{array} \right.$nhận cặp $\left( {1;2} \right)$ làm nghiệm thì

$\left\{ \begin{array}{l} - m.1 + 2 =  - 2m\\1 + {m^2}.2 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = -2\\m =  \pm 2\end{array} \right. \Rightarrow m = -2$.

Vậy $m = -2$.

Để hệ phương trình  $\left\{ \begin{array}{l}3mx + y =  - 2m\\ - 3x - my =  - 1 + 3m\end{array} \right.$  có vô số nghiệm thì $\dfrac{{3m}}{{ - 3}} = \dfrac{1}{{ - m}} = \dfrac{{ - 2m}}{{ - 1 + 3m}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} = 3\\2{m^2} = 3m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\2{m^2} - 3m + 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\\left( {2m - 1} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow m = 1$

Ta có $d: - 2x + y = 3$$\Leftrightarrow y = 2x + 3$ và $d':x + y = 5$$\Leftrightarrow y = 5 - x$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $2x + 3 = 5 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$$\Rightarrow y = 5 - x = 5 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{{13}}{3}$

Vậy tọa độ giao điểm của $d$ và $d'$ là $\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)$

Suy ra nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\x + y = 5\end{array} \right.$ là $\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)$

Từ đó ${y_0} - {x_0} = \dfrac{{13}}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{{11}}{3}$.

Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx - 2y = 3m\\2x - my =  - 4 - 4m\end{array} \right.$nhận cặp $\left( { - 1;2} \right)$ làm nghiệm thì

$\left\{ \begin{array}{l}m.\left( { - 1} \right) - 2.2 = 3m\\2.\left( { - 1} \right) - m.2 =  - 4 - 4m\end{array} \right.$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m =  - 4\\2m =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow m =  - 1$

Vậy $m =  - 1$