Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

B nằm chính giữa cung $DF$ nên sđ $\overparen {BD}$ = sđ$\overparen {BF}$

Mặt khác góc tại E và I là hai góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên

$\begin{array}{l}\widehat E = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen {BD} - sđ \overparen{AC}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen {BF} - sđ\overparen {AC}} \right) = \widehat I\end{array}$

Theo đề bài ta có

$\widehat E = \widehat I = {25^0}$

Vì cung $AB =$ cung $BC =$ cung $CD$ nên gọi số đo mỗi cung là $a$ độ. Ta có số đo cung $AD$ là $360^\circ  - 3a$

Vì $\widehat {BIC}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên

 $\widehat {BIC} = \dfrac{{a + 360^\circ  - 3a}}{2} = 80^\circ  \Rightarrow a = 100^\circ  \Rightarrow$ số đo cung $AD$ là $360^\circ  - 3.100^\circ  = 60^\circ$

$\widehat {ACD}$ là góc nội tiếp chắn cung $AD$ nên $\widehat {ACD} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$ .

Ta có $\widehat {CEF}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên $\widehat {CEF} = \dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{AmC} +$ sđ $\overparen{BM}$ )

Và $\widehat {MDC} = \dfrac{1}{2}$ sđ$\overparen{MC}$ (góc nội tiếp chắn cung $MC$)

Từ đó $\widehat {CEF} + \widehat {CDF} = \dfrac{1}{2}$ (sđ$\overparen{AmC} +$ sđ $\overparen{BM}$$+$ sđ $\overparen{MC})$

Mà cung $AnM =$ cung $MB$ nên $\widehat {EFD} + \widehat {ECD}$

$= \dfrac{1}{2}$ (sđ$\overparen{AmC} +$ sđ $\overparen{AnM}$$+$ sđ $\overparen{MC}$) =$\dfrac{1}{2}.360^\circ  = 180^\circ .$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {CNA}$ là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên $\widehat {CNB} = \dfrac{1}{2}$ (số đo cung $AC -$ số đo cung $MB$ )

Mà số đo cung $MB = \dfrac{1}{2}$ số đo cung $AC$  nên $\widehat {CNA} = \dfrac{1}{2}$số đo cung $MB$ .

Lại có $\widehat {MCB} = \dfrac{1}{2}$ số đo cung $MB$ (góc nội tiếp) nên $\widehat {MCB} = \widehat {BNC} \Rightarrow \Delta BNC$ cân tại $B \Rightarrow BN = BC$

Xét $\Delta COB$ vuông cân tại $O$ ta có $BC = \sqrt {O{C^2} + O{B^2}}  = R\sqrt 2$ nên $BN = R\sqrt 2$

Suy ra $NO = NB + OB = R + \sqrt 2 R = R\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$

Khi đó ${S_{ONC}} = \dfrac{1}{2}NO.CO = \dfrac{1}{2}.\left( {1 + \sqrt 2 } \right)R.R = \dfrac{{\sqrt 2  + 1}}{2}{R^2}$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {CNA}$ là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên $\widehat {CNB} = \dfrac{1}{2}$ (số đo cung $AC -$ số đo cung $MB$ )

$= \dfrac{1}{2}\left( {90^\circ  - 45^\circ } \right) = 22,5^\circ$

Vì hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau nên sđ$\overparen{AC} =$ sđ$\overparen{AD} = sđ\overparen{BD} = sđ\overparen{BC} = \dfrac{{360^\circ }}{4} = 90^\circ$

Vì $M$ là điểm chính giữa cung $BC$  nên $sđ\overparen{MC} = sđ\overparen{MB} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {MEC}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên $\widehat {MEC} = \dfrac{1}{2}$ (số đo cung $AD +$ số đo cung $MC$ )

$= \dfrac{{90^\circ  + 45^\circ }}{2} = 67,5^\circ$

Vì hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau nên sđ$\overparen{AC} =$ sđ$\overparen{AD} = sđ\overparen{BD} = sđ\overparen{BC} = \dfrac{{360^\circ }}{4} = 90^\circ$

Vì $M$ là điểm chính giữa cung $BC$  nên $sđ\overparen{MC} = sđ\overparen{MB} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {MEC}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên $\widehat {MEC} = \dfrac{1}{2}$ (số đo cung $AD +$ số đo cung $MC$ )

$= \dfrac{{90^\circ  + 45^\circ }}{2} = 67,5^\circ$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BMC} = \dfrac{1}{2}$ (số đo cung $BmC -$ số đo cung $BnC$ ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)

Và $\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}$ Số đo cung $BnC$

Mà $3\widehat {BAC} = \widehat {BMC}$  nên $\dfrac{1}{2}$ (sđ $BmC -$ sđ$BnC$ )$= \dfrac{3}{2}$ sđ$BnC$

$\Rightarrow$ số đo cung $BmC = 4$. Số đo cung $BnC$  mà số đo cung $BmC +$ số đo cung $BnC$$= 360^\circ$

Nên số đo cung $BnC$ là $\dfrac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ$ , do đó $\widehat {BAC} = \dfrac{{72^\circ }}{2} = 36^\circ$ .

Xét $\Delta AOC$ vuông cân tại $O$ có $AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}}  = R\sqrt 2  \Rightarrow AO = AE$  nên $\Delta AEC$ cân tại $A \Rightarrow \widehat {ACE} = \widehat {AEC}$

Hay $\dfrac{1}{2}$ (số đo cung $AD +$ số đo cung $DF$ ) $= \dfrac{1}{2}$ (số đo cung $AC +$ số đo cung $BF$ ) mà cung $AD =$ cung $AC$

Nên cung $DF$ $=$ cung $BF$.

Lại có cung $DF$$=$ cung $BF$ nên $\widehat {NOF} = \widehat {EOF} \Rightarrow \widehat {AOF} = \widehat {COF}$

Suy ra $\Delta OAF = \Delta OCF\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {OFE} = \widehat {OFN}$

Suy ra $\Delta OEF = \Delta ONF\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow ON = OE = \left( {\sqrt 2  - 1} \right)R$

Ta có $\widehat {{\rm{AS}}C}$ là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn nên

$\widehat {{\rm{AS}}C}$=$\dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AB} - sđ\overparen{CD}} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AC} - sđ\overparen{CD}} \right)$$= \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AD}$

$= \widehat {ABD} = \widehat {DCA}$

Xét $\Delta COB$ vuông cân tại $O$ ta có

$BC = \sqrt {O{C^2} + O{B^2}}  = R\sqrt 2$

nên $BN = R\sqrt 2$

Khi đó ${S_{BNC}} = \dfrac{1}{2}NB.CO = \dfrac{{{R^2}\sqrt 2 }}{2}$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {CNA}$ là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên

$\widehat {CNB} = \dfrac{1}{2}$  $(sđ \overparen{AC}-sđ \overparen{MB})$

Mà sđ $\overparen{MB}$$= \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{AC}$  nên $\widehat {CNA} = \dfrac{1}{2}$sđ $\overparen{MB}$

Lại có $\widehat {MCB} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{MB}$ (góc nội tiếp) nên $\widehat {MCB} = \widehat {BNC} \Rightarrow \Delta BNC$ cân tại $B \Rightarrow BN = BC$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {MEC}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên

$\widehat {MEC} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AD} +$ sđ $\overparen{MC}$ )

Và $\widehat {MCE} = \widehat {MCD}$

$= \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BD} +$ sđ $\overparen{BM}$ )

mà cung $MB =$ cung $MC$

và cung $AD =$ cung $BD$

Từ đó $\widehat {MEC} = \widehat {MCE} \Rightarrow \Delta MEC$ cân tại $M$ . 

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {MEC}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên

$\widehat {MEC} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AD} +$ sđ $\overparen{MC}$ )

Và $\widehat {MCE} = \widehat {MCD}$

$= \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BD} +$ sđ $\overparen{BM}$ )

mà cung $MB =$ cung $MC$

và cung $AD =$ cung $BD$

Từ đó $\widehat {MEC} = \widehat {MCE} \Rightarrow \Delta MEC$ cân tại $M$ . 

Vì tam giác $BMN$ cân tại $B$ có $BH$ là đường cao nên $BH$ cũng là đường phân giác.

$\Rightarrow \widehat {CBF} = \widehat {DBF}$

$\Rightarrow$ cung $CF =$ cung $DF$

$\Rightarrow \widehat {DBF} = \widehat {CDF}$ (hệ quả góc nội tiếp)

$\Rightarrow \Delta FED\backsim\Delta FDB\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{FD}}{{FB}} \Rightarrow FE.FB = F{D^2}$ .

Xét $\left( O \right)$ có đường thẳng $AM$ cắt đường tròn tại $I;K$ .

Khi đó

$\widehat {BAK} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK} -$ sđ $\overparen{BI}$ );

$\widehat {CAK} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} -$ sđ $\overparen{CI}$ )

Mà $\widehat {BAK} = \widehat {CAK}$

$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK}-$ sđ $\overparen{BI}$ )

$= \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} -$ sđ $\overparen{CI}$ )

Nên $\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK} +$ sđ $\overparen{CI}$ )

$=\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} +$ sđ $\overparen{BI}$ )

Hay $\widehat {BMN} = \widehat {BNM}$

$\Rightarrow \Delta BMN$ cân tại $B$ .

Xét $\left( O \right)$ có đường thẳng $AM$ cắt đường tròn tại $I;K$ .

Khi đó

$\widehat {BAK} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK} -$ sđ $\overparen{BI}$ );

$\widehat {CAK} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} -$ sđ $\overparen{CI}$ )

Mà $\widehat {BAK} = \widehat {CAK}$

$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK}-$ sđ $\overparen{BI}$ )

$= \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} -$ sđ $\overparen{CI}$ )

Nên $\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK} +$ sđ $\overparen{CI}$ )

$=\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} +$ sđ $\overparen{BI}$ )

Hay $\widehat {BMN} = \widehat {BNM}$

$\Rightarrow \Delta BMN$ cân tại $B$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {KBC} = \widehat {CDB}$ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Lại có $\widehat {CDB} = \widehat {CBD}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Nên $\widehat {CBD} = \widehat {KBC} \Rightarrow BC$ là tia phân giác góc $KBD$ .