Bài tập ôn tập chương 5

Ta có: $CD = ED - EC = 10\sqrt 6  - 10\sqrt 2$$= 10\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\,\,\,cm \approx 10,35\,\,cm$

Áp dụng định lý Pitago cho$\Delta BEC$ vuông tại $E$ ta có:

$\begin{array}{l}EC = \sqrt {B{C^2} - B{E^2}}  = \sqrt {{{20}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = 10\sqrt 2 \,\,cm.\end{array}$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta có:

$DB = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}}  = 20\sqrt 2 \,\,cm.$

Mà $\Delta ABD$ có $AB = AD = 20\,cm \Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại$A.$

$\Rightarrow \angle ABD = \angle ADB = {45^0}$ (tính chất tam giác cân).

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 20\,cm\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.

$\Rightarrow BC = 20\,cm;\,\,\,\angle BAC = \angle BCA = {60^0}.$

Lại có: $AC = AD = 20\,\,cm \Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $A$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC = \dfrac{{{{180}^0} - \angle CAD}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - \angle BAC} \right)}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right)}}{2} = {75^0}.\\ \Rightarrow \angle EDB = \angle ADC - \angle ADB = {75^0} - {45^0} = {30^0}.\end{array}$

Xét $\Delta BED$ vuông tại $E$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BE = BD.\sin \angle EDB = 20\sqrt 2 .\sin {30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{1}{2} = 10\sqrt 2 \,\,cm.\\ED = BD.cos\angle EDB = 20\sqrt 2 .cos{30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,cm.\end{array} \right.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta có:

$DB = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}}  = 20\sqrt 2 \,\,cm.$

Mà $\Delta ABD$ có $AB = AD = 20\,cm \Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại$A.$

$\Rightarrow \angle ABD = \angle ADB = {45^0}$ (tính chất tam giác cân).

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 20\,cm\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.

$\Rightarrow BC = 20\,cm;\,\,\,\angle BAC = \angle BCA = {60^0}.$

Lại có: $AC = AD = 20\,\,cm \Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $A$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC = \dfrac{{{{180}^0} - \angle CAD}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - \angle BAC} \right)}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right)}}{2} = {75^0}.\\ \Rightarrow \angle EDB = \angle ADC - \angle ADB = {75^0} - {45^0} = {30^0}.\end{array}$

Xét $\Delta BED$ vuông tại $E$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BE = BD.\sin \angle EDB = 20\sqrt 2 .\sin {30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{1}{2} = 10\sqrt 2 \,\,cm.\\ED = BD.cos\angle EDB = 20\sqrt 2 .cos{30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,cm.\end{array} \right.$

Vì $AE$ là tia phân giác góc $A$ nên ta có:

$\Rightarrow \dfrac{{BE}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{{BE + EC}}{{AB + AC}}$$= \dfrac{{BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{{25}}{{15 + 20}} = \dfrac{5}{7}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BE = \dfrac{5}{7}AB = \dfrac{5}{7}.15 = \dfrac{{75}}{7}\\EC = \dfrac{5}{7}AC = \dfrac{5}{7}.20 = \dfrac{{100}}{7}\end{array} \right..$

Áp dụng định lý Pytago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: 

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $\Leftrightarrow B{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625$$\Rightarrow BC = 25$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$  ta có:

$sinB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{20}}{{25}} \Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$  ta có:

$\angle B + \angle C = {90^0}$$\Leftrightarrow {53^0}8' + \angle C = {90^0}$$\Leftrightarrow \angle C \approx {36^0}52'$

Áp dụng định lý Pytago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: 

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $\Leftrightarrow B{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625$$\Rightarrow BC = 25$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$  ta có:

$sinB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{20}}{{25}} \Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$  ta có:

$\angle B + \angle C = {90^0}$$\Leftrightarrow {53^0}8' + \angle C = {90^0}$$\Leftrightarrow \angle C \approx {36^0}52'$

Ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.3,6.7,5 = 13,5\,\,c{m^2}.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $\Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + 4,{5^2} = 56,25$$\Rightarrow BC = 7,5\,\,cm.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$  ta có:

$sinB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{4,5}}{{7,5}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \angle B \approx {36^0}52'$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$  ta có:

$\angle B + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow {36^0}52' + \angle C = {90^0}$$\Leftrightarrow \angle C \approx {53^0}8'$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có:

$AH.BC = AB.AC$$\Leftrightarrow AH.7,5 = 4,5.6$$\Leftrightarrow AH = 3,6$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $\Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + 4,{5^2} = 56,25$$\Rightarrow BC = 7,5\,\,cm.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$  ta có:

$sinB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{4,5}}{{7,5}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \angle B \approx {36^0}52'$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$  ta có:

$\angle B + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow {36^0}52' + \angle C = {90^0}$$\Leftrightarrow \angle C \approx {53^0}8'$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có:

$AH.BC = AB.AC$$\Leftrightarrow AH.7,5 = 4,5.6$$\Leftrightarrow AH = 3,6$

Vì $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC \Rightarrow M$ là trung điểm $BC$$\Rightarrow BM = MC = \dfrac{{BC}}{2} \approx 3,66$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ có đường cao $AH$ ta có:

$AH.BC = AB.AC$$\Leftrightarrow AH.7,32 = 6.4,2$$\Leftrightarrow AH \approx 3,44$

$A{B^2} = BH.CB$$\Leftrightarrow {6^2} = BH.7,32$$\Leftrightarrow BH \approx 4,92$

Ta có: $BM + MH = BH \Leftrightarrow MH = 4,92 - 3,66 \approx 1,26$

${S_{\Delta AHM}} = \dfrac{1}{2}AH.MH \approx \dfrac{1}{2}.3,44.1,26 \approx 2,17\,\,\,\left( {đvdt} \right)$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$AC = AB.tan\angle B = 6.tan{35^0} \approx 4,2$
$AB = BC.\cos \angle B \Rightarrow 6 = BC.\cos {35^0} \Rightarrow BC \approx 7,32$
Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$\angle B + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow {35^0} + \angle C = {90^0}$$\Leftrightarrow \angle C = {55^0}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$AC = AB.tan\angle B = 6.tan{35^0} \approx 4,2$
$AB = BC.\cos \angle B \Rightarrow 6 = BC.\cos {35^0} \Rightarrow BC \approx 7,32$
Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$\angle B + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow {35^0} + \angle C = {90^0}$$\Leftrightarrow \angle C = {55^0}$

Ta thấy $AH.BC = AB.AC$  nên D sai.

+ Xét tam giác $AHB$  vuông tại $H$  có $\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}$  nên A đúng.

+ Xét tam giác $ABC$  vuông tại $A$  có $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}}$  nên B đúng.

+ Xét tam giác $ABC$  vuông tại $A$  có $\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}$  nên C đúng.

+ Xét tam giác $AHC$  vuông tại $H$  có $\tan C = \dfrac{{AH}}{{CH}}$  nên D sai.

Nếu $\alpha$ là một góc nhọn bất kỳ  thì  ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\tan \alpha .\cot \alpha  = 1$

$\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$  nên cả A, B, C đều đúng

Với $\alpha ;\beta$  là hai góc nhọn bất kì và $\alpha  < \beta$ thì

$\sin \alpha  < \sin \beta ;\,\cos \alpha  > \cos \beta ;\tan \alpha  < \tan \beta ;\cot \alpha  > \cot \beta .$

Vậy A, B, D sai, C đúng.

Xét tam giác $MNP$ vuông tại $M,$ có $MK \bot NP$  ta có $M{K^2} = NK.PK$  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay ${x^2} = 6.9 \Leftrightarrow {x^2} = 54 \Rightarrow x = 3\sqrt 6 \,.$

Ta có $\tan a.\cot a = 1$ nên $\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}} = \dfrac{1}{3}.$

Xét tam giác $ABC$  vuông tại $A.$

+ Theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AC = 4cm$

+ Theo hệ  thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = \dfrac{9}{5} = 1,8cm$

Mà $BH + CH = BC \Rightarrow CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2\,cm.$

Lại có $AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4cm$

Vậy $BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 2,4\,cm$