Tính $BE$?

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta có:

$DB = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}}  = 20\sqrt 2 \,\,cm.$

Mà $\Delta ABD$ có $AB = AD = 20\,cm \Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại$A.$

$\Rightarrow \angle ABD = \angle ADB = {45^0}$ (tính chất tam giác cân).

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 20\,cm\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.

$\Rightarrow BC = 20\,cm;\,\,\,\angle BAC = \angle BCA = {60^0}.$

Lại có: $AC = AD = 20\,\,cm \Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $A$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC = \dfrac{{{{180}^0} - \angle CAD}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - \angle BAC} \right)}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right)}}{2} = {75^0}.\\ \Rightarrow \angle EDB = \angle ADC - \angle ADB = {75^0} - {45^0} = {30^0}.\end{array}$

Xét $\Delta BED$ vuông tại $E$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BE = BD.\sin \angle EDB = 20\sqrt 2 .\sin {30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{1}{2} = 10\sqrt 2 \,\,cm.\\ED = BD.cos\angle EDB = 20\sqrt 2 .cos{30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,cm.\end{array} \right.$