Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Xét \(\Delta ADB\) vuông tại \(A\) có:

\(AH\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(BD\)

\( \Rightarrow H{A^2} = HB.HD = 8.18 \Rightarrow HA = 12\left( {cm} \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có:

\(DH\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(AC\)

\( \Rightarrow H{D^2} = HA.HC \Rightarrow {18^2} = 12HC\)\( \Rightarrow HC = 27\left( {cm} \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

Ta có: \(AC = AH + HC = 12 + 27 = 39\,\,cm.\)

            \(BD = BH + HD = 8 + 18 = 26\,\,cm.\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{AC.BD}}{2} = \dfrac{{26.39}}{2} = 507\,\,c{m^2}.\)

Ta có $AB = 9;AC = 12;BC = 15$

$ \Rightarrow AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}}$$ = \dfrac{{12.9}}{{15}} = 7,2$ $A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH $$= \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} $$= \dfrac{{81}}{{15}} = 5,4$

$ \Rightarrow CH = BC - BH = 15 - 5,4 = 9,6$

Vậy $AH = 7,2;BH = 5,4;CH = 9,6$.

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.50 = 30.40 \Leftrightarrow AH = 24\,\,cm.\)

Theo giả thiết:  \(AB:AC = 3:4\),

suy ra \(\dfrac{{AB}}{3} = \dfrac{{AC}}{4} = \dfrac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = 3\). Do đó \(AB = 3.3 = 9\)\(\left( {cm} \right)\); \(AC = 3.4 = 12\left( {cm} \right)\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Py-ta-go ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \)\(= {9^2} + {12^2} = 225\), suy ra \(BC = 15cm\).

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\) \( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,cm.\)

Vì \(AM\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow M\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow BM = MC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.50 = 25\,\,cm.\)

Ta có: \(MH = BM - BH = 25 - 18 = 7\,\,cm.\)

Theo giả thiết:  \(AB:AC = 3:4\),

suy ra \(\dfrac{{AB}}{3} = \dfrac{{AC}}{4} = \dfrac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = 3\). Do đó \(AB = 3.3 = 9\)\(\left( {cm} \right)\); \(AC = 3.4 = 12\left( {cm} \right)\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Py-ta-go ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \)\(= {9^2} + {12^2} = 225\), suy ra \(BC = 15cm\).

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\) \( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,cm.\)

Vì \(AM\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow M\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow BM = MC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.50 = 25\,\,cm.\)

Ta có: \(MH = BM - BH = 25 - 18 = 7\,\,cm.\)

Ta có: \(\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow HC = 4HB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH\)\( \Leftrightarrow {4^2} = 4B{H^2} \Leftrightarrow BH = 2\,\,\,\left( {cm} \right)\)\( \Rightarrow CH = 8\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 2 + 8 = 10\,\,\,\left( {cm} \right)\,\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow A{B^2} = 2.10\)\( \Leftrightarrow AB = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow 20 + A{C^2} = 100 \Leftrightarrow A{C^2} = 80\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {80}  = 4\sqrt 5 \,\,cm.\)

Vậy chu vi tam giác\(ABC\) là: \(4\sqrt 5  + 2\sqrt 5  + 10 = 6\sqrt 5  + 10\,\,cm.\)

Ta có: \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow AB = \dfrac{3}{7}AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{42}^2}}} = \dfrac{{49}}{{9A{C^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{42}^2}}} = \dfrac{{58}}{{9A{C^2}}} \Leftrightarrow A{C^2} = 11368\\ \Leftrightarrow AC = 14\sqrt {58} \,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AB = \dfrac{3}{7}.14\sqrt {58}  = 6\sqrt {58} \left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{C^2} = {\left( {6\sqrt {58} } \right)^2} + {\left( {14\sqrt {58} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 13456 \Rightarrow BC = 116\,\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt {58} } \right)^2} = 116.BH \Leftrightarrow BH = 18\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow CH = BC - BH = 116 - 18 = 98\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.18.37,5 = 337,5\,\,c{m^2}.\)

Theo đề bài ta có: các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}\\ \Leftrightarrow 18 = \dfrac{{\dfrac{3}{4}AC.AC}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{16}}A{C^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{3}{4}A{C^2}}}{{\dfrac{5}{4}AC}} = \dfrac{3}{5}AC\\ \Leftrightarrow AC = \dfrac{{18.5}}{3} = 30\,\,cm.\\ \Rightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3}{4}.30 = 22,5\,\,cm.\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {22,{5^2} + {{30}^2}}  = 37,5\,\,cm.\)

\( \Rightarrow \) Chu vi \(\Delta ABC:\,\,\,AB + BC + CA = 22,5 + 30 + 37,5 = 90\,\,cm.\)

Theo đề bài ta có: các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}\\ \Leftrightarrow 18 = \dfrac{{\dfrac{3}{4}AC.AC}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{16}}A{C^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{3}{4}A{C^2}}}{{\dfrac{5}{4}AC}} = \dfrac{3}{5}AC\\ \Leftrightarrow AC = \dfrac{{18.5}}{3} = 30\,\,cm.\\ \Rightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3}{4}.30 = 22,5\,\,cm.\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {22,{5^2} + {{30}^2}}  = 37,5\,\,cm.\)

\( \Rightarrow \) Chu vi \(\Delta ABC:\,\,\,AB + BC + CA = 22,5 + 30 + 37,5 = 90\,\,cm.\)

Tam giác vuông $AHB$ có $B{H^2} = BD.AB \Rightarrow BD = \dfrac{{B{H^2}}}{{AB}}$

Tam giác vuông $AHC$ có $H{C^2} = AC.EC \Rightarrow EC = \dfrac{{H{C^2}}}{{AC}}$

Từ đó $\dfrac{{BD}}{{EC}} = \dfrac{{H{B^2}}}{{AB}}:\dfrac{{H{C^2}}}{{AC}} = \dfrac{{H{B^2}}}{{H{C^2}}}.\dfrac{{AC}}{{AB}}$ mà theo câu trước  thì $\dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}$ nên $\dfrac{{BD}}{{EC}} = \dfrac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}}.\dfrac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{EC}} = \dfrac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}$

Xét tam giác vuông $ABC$ có $AH$ là đường cao nên $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Nên $\dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{BH.BC}}{{CH.BC}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}$

Xét tam giác vuông $ABC$ có $AH$ là đường cao nên $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Nên $\dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{BH.BC}}{{CH.BC}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}$

Vì $DM \bot DE;$$EN \bot DE \Rightarrow DM{\rm{//}}EN;$$\widehat D = \widehat E = 90^\circ $ nên $DENM$ là hình thang vuông

Theo kết quả hai câu trước ta có: $DM = \dfrac{{BH}}{2} = 2;$$EN = \dfrac{{CH}}{2} = 4,5;DE = 6$

Nên ${S_{DENM}} = \dfrac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} $$= 19,5\,c{m^2}$

+) Ta có $\widehat {NEC} + \widehat {AED} = 90^\circ $ mà $\widehat {AED} = \widehat {HAE}$ (do $AEHD$ là hình chữ nhật) và $\widehat {HAE} = \widehat {ABC}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$)  nên $\widehat {NEC} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ mà $\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ nên $\widehat {ACB} = \widehat {NEC}$ hay $\Delta NEC$ cân tại $N$$ \Rightarrow EN = NC$.$\left( 1 \right)$
+) $\widehat {NEC} + \widehat {HEN} = 90^\circ $ mà $\widehat {NEC} = \widehat {NCE} \Rightarrow \widehat {NCE} + \widehat {HEN} = 90^\circ $, lại có $\widehat {NCE} + \widehat {NHE} = 90^\circ $ nên $\widehat {NEH} = \widehat {NHE}$ hay $\Delta NEH$ cân tại $N$ suy ra $NE = NH$, $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta có $NH = NC$

Tương tự ta có $MH = MB$ nên $MN = MH + NH = \dfrac{1}{2}HB + \dfrac{1}{2}HC = \dfrac{1}{2}BC$.

Tứ giác $AEHD$ là hình chữ nhật vì $\widehat A = \widehat E = \widehat D = 90^\circ $ nên $DE = AH$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $A{H^2} = HB.HC$$ = 4.9 = 36 \Rightarrow AH = 6$

Nên $DE = 6\,cm$.

Tứ giác $AEHD$ là hình chữ nhật vì $\widehat A = \widehat E = \widehat D = 90^\circ $ nên $DE = AH$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $A{H^2} = HB.HC$$ = 4.9 = 36 \Rightarrow AH = 6$

Nên $DE = 6\,cm$.

Từ câu trước ta có $CM.CD = CN.CE $$\Leftrightarrow \dfrac{{CM}}{{CN}} = \dfrac{{CE}}{{CD}}$

Xét $\Delta CMN$ và $\Delta CED$ có $\widehat C$ chung và $\dfrac{{CM}}{{CN}} = \dfrac{{CE}}{{CD}}$ nên $\Delta CMN\backsim\Delta CED\,\,\left( {c - g - c} \right)$