Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) . Biết \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{7}\), đường cao \(AH = 42cm\). Tính \(BH,HC\).

Ta có: \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow AB = \dfrac{3}{7}AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{42}^2}}} = \dfrac{{49}}{{9A{C^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{42}^2}}} = \dfrac{{58}}{{9A{C^2}}} \Leftrightarrow A{C^2} = 11368\\ \Leftrightarrow AC = 14\sqrt {58} \,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AB = \dfrac{3}{7}.14\sqrt {58}  = 6\sqrt {58} \left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{C^2} = {\left( {6\sqrt {58} } \right)^2} + {\left( {14\sqrt {58} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 13456 \Rightarrow BC = 116\,\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt {58} } \right)^2} = 116.BH \Leftrightarrow BH = 18\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow CH = BC - BH = 116 - 18 = 98\,\,\,\left( {cm} \right).\)