Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình

Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\).

Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2m - 1}} = \left| {\dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\)    (4)

Từ (4) suy ra \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\). Với điều kiện \(m > \dfrac{1}{2}\) ta có:

\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{5}\left( l \right)\\m = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\).

Vậy \(m = \dfrac{7}{5}\).

Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\).

Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện)

Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\).

Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện)

Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne  \pm 1\)

Khi đó  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)  suy ra \(y = x - 2.\)

Nên \(xy = x.\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 2x + 1 - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge  - 1\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(x = 1 \Leftrightarrow 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m + 1}} = 2 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0\).

Vậy với \(m = 0\) thì \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne  \pm 1\)

Khi đó  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Suy ra: $x - y = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} - \left( {1 - \dfrac{2}{{m + 1}}} \right) = 2$

Vậy điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình \(y = x - 2\).

Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\). Thay vào phương trình (1) ta được:\(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Vậy \(x,y\) nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{{m + 1}}\) nguyên. Do đó \(m + 1\) chỉ có thể là \( - 2; - 1;1;2\). Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\) (thỏa mãn)  hoặc \(m = 1\) (loại).

Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\). Thay vào phương trình (1) ta được:\(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Vậy \(x,y\) nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{{m + 1}}\) nguyên. Do đó \(m + 1\) chỉ có thể là \( - 2; - 1;1;2\). Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\) (thỏa mãn)  hoặc \(m = 1\) (loại).

Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\).

Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện)

Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\). Thay vào phương trình (1) ta được:\(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Vậy \(x,y\) nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{{m + 1}}\) nguyên. Do đó \(m + 1\) chỉ có thể là \( - 2; - 1;1;2\). Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\) (thỏa mãn)  hoặc \(m = 1\) (loại).

Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\).

Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện)

Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\).

Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2m - 1}} = \left| {\dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\)    (4)

Từ (4) suy ra \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\). Với điều kiện \(m > \dfrac{1}{2}\) ta có:

\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{5}\left( l \right)\\m = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\).

Vậy \(m = \dfrac{7}{5}\).

Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\). Thay vào phương trình (1) ta được:\(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\)   (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Vậy \(x,y\) nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{{m + 1}}\) nguyên. Do đó \(m + 1\) chỉ có thể là \( - 2; - 1;1;2\). Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\) (thỏa mãn)  hoặc \(m = 1\) (loại).

Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne  \pm 1\)

Khi đó  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Suy ra: $x - y = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} - \left( {1 - \dfrac{2}{{m + 1}}} \right) = 2$

Vậy điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình \(y = x - 2\).

Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne  \pm 1\)

Khi đó  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)  suy ra \(y = x - 2.\)

Nên \(xy = x.\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 2x + 1 - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge  - 1\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(x = 1 \Leftrightarrow 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m + 1}} = 2 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0\).

Vậy với \(m = 0\) thì \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{(x + y)^2} + y = 3\,\\2({x^2} + {y^2} + xy) + x = 5\,\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 4xy + 2{y^2} + 2y = 6\\2{x^2} + 2{y^2} + 2xy + x = 5\end{array} \right.\)

Suy ra \(2xy + 2y - x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow (x + 1)(2y - 1) = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(y = \dfrac{1}{2}\)

Với \(x =  - 1\), ta được \({y^2} - y - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Ta được hai nghiệm \(( - 1; - 1)\)và \(( - 1;2)\)

Với \(y = \dfrac{1}{2}\), ta được \({x^2} + x - \dfrac{9}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {10} }}{2}\)

Ta được hai nghiệm \(\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {10} }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)và \(\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt {10} }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

Vậy hệ có bốn nghiệm \(( - 1; - 1)\); \(( - 1;2)\); \(\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {10} }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)và \(\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt {10} }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).

ĐK:  \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge \dfrac{1}{3}\\x + 2y \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1-2y\\y \ge \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

Xét  \(\sqrt {3y - 1}  + \sqrt {x + 2y - 1}  = 0 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{3}\)

Thay vào (2) không thỏa mãn.

Xét \(\sqrt {3y - 1}  + \sqrt {x + 2y - 1}  \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{3}\\y \ne \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y\left( {x - y} \right) = \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {3y - 1}  + \sqrt {x + 2y - 1} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\y + \dfrac{1}{{\sqrt {3y - 1}  + \sqrt {x + 2y - 1} }} = 0\,\,\left( {VN\,{\rm{do }}\,y \ge \dfrac{1}{3}} \right)\end{array} \right.\)

Với $x = y,$ thay vào (2) ta được:

\({x^4} - 4{x^3} + 7{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)  

Khi đó: $y = 1$ (TM). Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {1;1} \right).$

Nên $x.y=1.$

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}S + 2P = 2\\S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{2 - S}}{2}\\S\left( {{S^2} - \dfrac{{6 - 3S}}{2}} \right) = 8\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {S - 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2\\
x.y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0;y = 2\\
y = 0;x = 2
\end{array} \right.\)

Vậy hệ có hai nghiệm.

Đặt \(a = \sqrt[3]{x},b = \sqrt[3]{y}\) hệ đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 3\left( {{a^2}b + {b^2}a} \right)\\a + b = 6\end{array} \right.\).  

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = a + b\\P = ab\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) thì hệ đã cho trở thành.

\(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{S^3} - 3SP} \right) = 3SP\\S = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {36 - 3P} \right) = 3P\\S = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 8\end{array} \right. (TM).\)

Hay 

\(\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 6\\
a.b = 8
\end{array} \right. \Rightarrow a\left( {6 - a} \right) = 8 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 8 = 0\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 \Rightarrow x = 8\\b = 4 \Rightarrow y = 64\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = 4 \Rightarrow x = 64\\b = 2 \Rightarrow y = 8\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {8;64} \right),\left( {64;8} \right)\)

Suy ra ${x_1} + {x_2} = 72.$

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}xy \ge 0\\x,y \ge  - 1\end{array} \right.\) .

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành:

\( \left\{ \begin{array}{l}S - \sqrt P  = 3\\S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1}  = 16\end{array} \right.\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = {\left( {S - 3} \right)^2}\,\, (S \ge 3)\\2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1}  = 14 - S\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le S \le 14;P = {\left( {S - 3} \right)^2}\\4\left( {{S^2} -5S + 10} \right) = 196 - 28S + {S^2}\end{array} \right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le S \le 14;P = \left( {S - 3} \right)^2\\{3S^2} + 8S - 156 = 0\end{array} \right.$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 9 \end{array} \right.\).

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 6\\
x.y = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 6\\
{x^2} - 6x + 9 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 3\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\).

Suy ra \(x + 2y = 9.\)

Điều kiện: \(xy > 0.\)

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + 2\sqrt {xy} = 16\\
x + y + 2\sqrt {xy} = 16
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = x + y \\\Leftrightarrow {(x - y)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = y
\end{array}$

Thay $x=y$ vào $x + y + 2\sqrt {xy} = 16$ ta được \(2x + 2\left| x \right| = 16 \Leftrightarrow x + \left| x \right| = 8 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = x = 4\)

Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;4} \right)\)

Khi đó \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{4}{4} = 1.\)