Liên hệ giữa cung và dây

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Nên cung $MN <$ cung $PQ$ thì $MN < PQ.$

Kẻ $KH \bot CD$ và $AB$ lần lượt tại $K$ và $H$.

Suy ra $OK$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {DOC}$$\Rightarrow \widehat {DOK} = \widehat {COK}$

Và $OH$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {AOB}$$\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}$

Do đó $\widehat {AOH} + \widehat {DOK} = \widehat {BOH} + \widehat {COK} \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {COB}$

Nên số đo cung $AD$ bằng số đo cung $BC$, từ đó $AD = BC$.

Vì $DC//AB;AD = BC$ nên $ABCD$ là hình thang cân nên $AC = BD$

Phương án A, B, D đúng và C sai.

Vì cung $AC$ có số đo $50^\circ$ nên $\widehat {AOC} = 50^\circ$

Vì $AO \bot CD;AO{\rm{//}}DE \Rightarrow CD \bot DE$$\Rightarrow \widehat {CDE} = 90^\circ$ mà $C,D,E \in \left( O \right)$ nên $CE$ là đường kính hay $C;O;E$ thẳng hàng

Xét $\left( O \right)$ có $OA$ là đường cao trong tam giác cân $ODC$ nên $OA$ cũng là đường phân giác $\Rightarrow \widehat {COA} = \widehat {AOD} = 50^\circ$

Lại thấy $\widehat {BOE} = \widehat {AOC} = 50^\circ$ (đối đỉnh) suy ra $\widehat {AOC} = \widehat {AOD} = \widehat {BOE} = 50^\circ$ (D đúng) và suy ra  cung $AC$ bằng cung $BE$ nên B đúng.

Ta có  $\widehat {DOE} = 180^\circ  - \widehat {AOD} - \widehat {BOE} = 80^\circ$  nên cung $AD <$ cung $DE \Rightarrow AD < DE$ hay đáp án A sai.

Lại có $\widehat {AOE} = \widehat {AOD} + \widehat {DOE} = 50^\circ  + 80^\circ  = 130^\circ$ và $\widehat {BOD} = \widehat {BOE} + \widehat {DOE} = 50^\circ  + 80^\circ  = 130^\circ$

Nên $\widehat {AOE} = \widehat {BOD}$ suy ra số đo cung $AE =$ số đo cung $BD.$ Do đó C đúng.

Phương án B, C, D đúng và A sai.

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây ( không đi qua tâm ) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+) Hai đường kính của đường tròn luôn bằng nhau nhưng chưa chắc đã vuông góc với nhau.

Suy ra A, B, C đúng, D sai.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 70^\circ  \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 70^\circ }}{2} = 55^\circ$

Vì $\widehat A > \widehat B = \widehat C$ nên theo mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có $BC > AB = AC$

Theo mối liên hệ giữa cung và dây ta có cung $BC$ $>$ cung $AB$ $=$ cung $AC$.

Vì $\widehat {EOF} < \widehat {MON}$ nên cung $EF$ nhỏ hơn cung $MN$, từ đó dây $EF < MN$ (*)

Xét tam giác $OEF$ cân tại $O$ có $\widehat {EOF} = 90^\circ$ nên theo định lý Pytago ta có  $E{F^2} = O{F^2} + O{E^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}$

$\Rightarrow EF = \sqrt 2 R.$ (**)

$MN$ là dây không đi qua tâm nên $MN < 2R$ (***)

Từ (*) , (**) và (***) ta có $\sqrt 2 R < MN < 2R$

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng $HB;MB;MH$.

Xét tam giác $BCH$ vuông tại $H$ có $\cos B = \dfrac{{HB}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{HB}}{{BC}} = \cos 30^\circ  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}BC$ (*)

Xét tam giác $HBC$ vuông tại $H$ có $HM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM = BM = CM = \dfrac{{BC}}{2}$  (**)

Mà $\dfrac{{BC}}{2} < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}BC$ nên từ (*) và (**) ta có $BM = HM < HB$

Suy ra cung $MB =$ cung $HM <$ cung $HB$.

Hay cung $HB$ là cung lớn nhất nên B sai.

Vì hai dây $MC{\rm{//}}AN$ nên hai cung $AM$ và cung $CN$ bằng nhau, hay $AM = CN$

Suy ra $MCNA$ là hình thang cân $\Rightarrow MN = AC$.

Gọi $H$ là giao của $CD$ và $AB$. Khi đó vì $AB \bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow AH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác vuông $AHO$, theo định lý Pytago ta có $OH = \sqrt {A{O^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$

$\Rightarrow CH = R + \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}R$

Theo định lý Pytago cho tam giác $ACH$ vuông ta có $AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}{R^2} + \dfrac{{2{R^2}}}{4}}  = \sqrt {\dfrac{{8 + 4\sqrt 2 }}{4}{R^2}}  = \sqrt {2 + \sqrt 2 } .R$

Vậy $MN = R\sqrt {2 + \sqrt 2 }$.

Xét $\left( O \right)$ có $BE$ là đường kính và $A \in \left( O \right)$$\Rightarrow AE \bot AB$ mà $CD \bot AB$$\Rightarrow AE{\rm{//}}CD$

Nên cung $AC$ bằng cung $ED$ hay $AC = ED$

Xét các tam giác vuông $\Delta IAC$ và $\Delta IBD$ ta có $I{A^2} + I{C^2} = A{C^2};I{B^2} + I{D^2} = B{D^2}$$\Rightarrow I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = A{C^2} + B{D^2}$$= E{D^2} + B{D^2}$

Mà $\Delta BED$ vuông tại $D$ nên $E{D^2} + B{D^2} = E{B^2}$

Hay $I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = B{E^2}$  nên C đúng mà $BE \ne AD$ nên D sai.

Xét các tam giác vuông $\Delta IAD$ và $\Delta IBC$ ta có

$I{A^2} + I{D^2} = A{D^2};I{B^2} + I{C^2} = B{C^2}$$\Rightarrow I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = A{D^2} + B{C^2}$

Vậy A, B, C đúng, D sai.

Vì $OA$ là đường kính của đường tròn $\left( {O'} \right)$ và $E,F \in \left( {O'} \right)$ nên $\Delta OEA$ vuông tại $E;\,\Delta OFA$ vuông tại $F.$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông $OEA$ và $OFA$ ta có : $A{E^2} = A{O^2} - O{E^2}$ và $A{F^2} = A{O^2} - A{E^2}$ mà $OE = OF$ (theo câu trước)

$\Rightarrow A{E^2} = A{F^2} \Rightarrow AE = AF$.

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow$ $E$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow$ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ bằng cung $BD$ nên $BC = BD \Rightarrow OE = OF$ hay cung $OE =$ cung $OF.$

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow$ $E$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow$ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ bằng cung $BD$ nên $BC = BD \Rightarrow OE = OF$ hay cung $OE =$ cung $OF.$

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow$ $E$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow$ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ nhỏ hơn cung $BD$ nên

$BC < BD \Rightarrow OE < OF$ .

Theo định lý Pytago ta có : $A{E^2} = A{O^2} - O{E^2}$ và $A{F^2} = A{O^2} - O{F^2}$ mà $OE < OF$

$\Rightarrow A{E^2} > A{F^2} \Rightarrow AE > AF$.

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow$ $E$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow$ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ nhỏ hơn cung $BD$ nên

$BC < BD \Rightarrow OE < OF$ .

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow$ $E$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow$ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ nhỏ hơn cung $BD$ nên

$BC < BD \Rightarrow OE < OF$ .

Kẻ $KH \bot CD$ và $KH \bot AB$ lần lượt tại $K$ và $H$.

Suy ra $OK$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {DOC}$ $\Rightarrow \widehat {DOK} = \widehat {COK}$

Và $OH$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {AOB}$ $\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}$

Do đó $\widehat {AOH} + \widehat {DOK} = \widehat {BOH} + \widehat {COK} \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {COB}$

Nên số đo cung $AD$ bằng số đo cung $BC$, từ đó $AD = BC$.

Phương án A, C, D sai, B đúng.

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Nên dây $AB > CD$ thì cung $AB$ lớn hơn cung $CD$

Kẻ $KH \bot CD$ và $KH \bot AB$ lần lượt tại $K$ và $H$.

Suy ra $OK$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {DOC}$$\Rightarrow \widehat {DOK} = \widehat {COK}$

Và $OH$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {AOB}$$\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}$

Do đó $\widehat {AOH} + \widehat {DOK} = \widehat {BOH} + \widehat {COK} \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {COB}$

Nên số đo cung $AD$ bằng số đo cung $BC$, từ đó $AD = BC$.

Phương án A, C, D sai và B đúng.

Vì $AO \bot CD;AO{\rm{//}}DE \Rightarrow CD \bot DE$$\Rightarrow \widehat {CDE} = 90^\circ$ mà $C,D,E \in \left( O \right)$ nên $CE$ là đường kính hay $C;O;E$ thẳng hàng

Xét $\left( O \right)$ có $OA$ là đường cao trong tam giác cân $ODC$ nên $OA$ cũng là đường phân giác $\Rightarrow \widehat {COA} = \widehat {AOD}$

Suy ra cung $AD$ bằng cung $AC$ nên dây $AD = AC$

Lại thấy $\widehat {AOC} = \widehat {BOE}$ (đối đỉnh) nên cung $AC$ bằng cung $BE$ suy ra dây $AC = BE$.

Phương án A, B, C đúng.