Liên hệ giữa cung và dây

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Nên cung $MN < $ cung \(PQ\) thì \(MN < PQ.\)

Kẻ $KH \bot CD$ và $AB$ lần lượt tại $K$ và $H$.

Suy ra $OK$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {DOC}$$ \Rightarrow \widehat {DOK} = \widehat {COK}$

Và $OH$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {AOB}$$ \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}$

Do đó $\widehat {AOH} + \widehat {DOK} = \widehat {BOH} + \widehat {COK} \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {COB}$

Nên số đo cung $AD$ bằng số đo cung $BC$, từ đó $AD = BC$.

Vì \(DC//AB;AD = BC\) nên \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AC = BD\)

Phương án A, B, D đúng và C sai.

Vì cung \(AC\) có số đo \(50^\circ \) nên \(\widehat {AOC} = 50^\circ \)

Vì $AO \bot CD;AO{\rm{//}}DE \Rightarrow CD \bot DE$$ \Rightarrow \widehat {CDE} = 90^\circ $ mà $C,D,E \in \left( O \right)$ nên $CE$ là đường kính hay $C;O;E$ thẳng hàng

Xét $\left( O \right)$ có $OA$ là đường cao trong tam giác cân $ODC$ nên $OA$ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat {COA} = \widehat {AOD} = 50^\circ $

Lại thấy $\widehat {BOE} = \widehat {AOC} = 50^\circ $ (đối đỉnh) suy ra $\widehat {AOC} = \widehat {AOD} = \widehat {BOE} = 50^\circ $ (D đúng) và suy ra  cung $AC$ bằng cung $BE$ nên B đúng.

Ta có  \(\widehat {DOE} = 180^\circ  - \widehat {AOD} - \widehat {BOE} = 80^\circ \)  nên cung \(AD < \) cung \(DE \Rightarrow AD < DE\) hay đáp án A sai.

Lại có \(\widehat {AOE} = \widehat {AOD} + \widehat {DOE} = 50^\circ  + 80^\circ  = 130^\circ \) và \(\widehat {BOD} = \widehat {BOE} + \widehat {DOE} = 50^\circ  + 80^\circ  = 130^\circ \)

Nên \(\widehat {AOE} = \widehat {BOD}\) suy ra số đo cung \(AE = \) số đo cung \(BD.\) Do đó C đúng.

Phương án B, C, D đúng và A sai.

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây ( không đi qua tâm ) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+) Hai đường kính của đường tròn luôn bằng nhau nhưng chưa chắc đã vuông góc với nhau.

Suy ra A, B, C đúng, D sai.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = 70^\circ  \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 70^\circ }}{2} = 55^\circ $

Vì $\widehat A > \widehat B = \widehat C$ nên theo mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có $BC > AB = AC$

Theo mối liên hệ giữa cung và dây ta có cung $BC$ $ > $ cung $AB$ $ = $ cung $AC$.

Vì $\widehat {EOF} < \widehat {MON}$ nên cung $EF$ nhỏ hơn cung $MN$, từ đó dây $EF < MN$ (*)

Xét tam giác $OEF$ cân tại $O$ có $\widehat {EOF} = 90^\circ $ nên theo định lý Pytago ta có  $E{F^2} = O{F^2} + O{E^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}$

\( \Rightarrow EF = \sqrt 2 R.\) (**)

$MN$ là dây không đi qua tâm nên $MN < 2R$ (***)

Từ (*) , (**) và (***) ta có $\sqrt 2 R < MN < 2R$

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng $HB;MB;MH$.

Xét tam giác $BCH$ vuông tại $H$ có $\cos B = \dfrac{{HB}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{HB}}{{BC}} = \cos 30^\circ  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}BC$ (*)

Xét tam giác \(HBC\) vuông tại \(H\) có \(HM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(HM = BM = CM = \dfrac{{BC}}{2}\)  (**)

Mà \(\dfrac{{BC}}{2} < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}BC\) nên từ (*) và (**) ta có \(BM = HM < HB\)

Suy ra cung $MB = $ cung \(HM < \) cung \(HB\).

Hay cung \(HB\) là cung lớn nhất nên B sai.

Vì hai dây $MC{\rm{//}}AN$ nên hai cung $AM$ và cung $CN$ bằng nhau, hay $AM = CN$

Suy ra $MCNA$ là hình thang cân $ \Rightarrow MN = AC$.

Gọi $H$ là giao của $CD$ và $AB$. Khi đó vì $AB \bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow AH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác vuông $AHO$, theo định lý Pytago ta có $OH = \sqrt {A{O^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$

$ \Rightarrow CH = R + \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}R$

Theo định lý Pytago cho tam giác $ACH$ vuông ta có $AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}{R^2} + \dfrac{{2{R^2}}}{4}}  = \sqrt {\dfrac{{8 + 4\sqrt 2 }}{4}{R^2}}  = \sqrt {2 + \sqrt 2 } .R$

Vậy $MN = R\sqrt {2 + \sqrt 2 } $.

Xét $\left( O \right)$ có $BE$ là đường kính và $A \in \left( O \right)$$ \Rightarrow AE \bot AB$ mà $CD \bot AB$$ \Rightarrow AE{\rm{//}}CD$

Nên cung $AC$ bằng cung $ED$ hay $AC = ED$

Xét các tam giác vuông $\Delta IAC$ và $\Delta IBD$ ta có $I{A^2} + I{C^2} = A{C^2};I{B^2} + I{D^2} = B{D^2} $$\Rightarrow I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = A{C^2} + B{D^2} $$= E{D^2} + B{D^2}$

Mà $\Delta BED$ vuông tại $D$ nên $E{D^2} + B{D^2} = E{B^2}$

Hay $I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = B{E^2}$  nên C đúng mà \(BE \ne AD\) nên D sai.

Xét các tam giác vuông $\Delta IAD$ và $\Delta IBC$ ta có

$I{A^2} + I{D^2} = A{D^2};I{B^2} + I{C^2} = B{C^2}$$ \Rightarrow I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = A{D^2} + B{C^2}$

Vậy A, B, C đúng, D sai.

Vì \(OA\) là đường kính của đường tròn \(\left( {O'} \right)\) và \(E,F \in \left( {O'} \right)\) nên \(\Delta OEA\) vuông tại \(E;\,\Delta OFA\) vuông tại \(F.\)

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông \(OEA\) và \(OFA\) ta có : $A{E^2} = A{O^2} - O{E^2}$ và $A{F^2} = A{O^2} - A{E^2}$ mà $OE = OF$ (theo câu trước)

$ \Rightarrow A{E^2} = A{F^2} \Rightarrow AE = AF$.

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$ \Rightarrow $ $E$ là trung điểm của $AC$ $ \Rightarrow $ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ bằng cung $BD$ nên $BC = BD \Rightarrow OE = OF$ hay cung \(OE = \) cung \(OF.\)

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$ \Rightarrow $ $E$ là trung điểm của $AC$ $ \Rightarrow $ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ bằng cung $BD$ nên $BC = BD \Rightarrow OE = OF$ hay cung \(OE = \) cung \(OF.\)

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$ \Rightarrow $ $E$ là trung điểm của $AC$

$ \Rightarrow $ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ nhỏ hơn cung $BD$ nên

$BC < BD \Rightarrow OE < OF$ .

Theo định lý Pytago ta có : $A{E^2} = A{O^2} - O{E^2}$ và $A{F^2} = A{O^2} - O{F^2}$ mà $OE < OF$

$ \Rightarrow A{E^2} > A{F^2} \Rightarrow AE > AF$.

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$ \Rightarrow $ $E$ là trung điểm của $AC$

$ \Rightarrow $ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ nhỏ hơn cung $BD$ nên

$BC < BD \Rightarrow OE < OF$ .

Xét $\left( {O'} \right)$ có $OA$ là đường kính và $E \in \left( {O'} \right)$ nên $OE \bot AC$

Tương tự với $\left( O \right)$ ta có $BC \bot AC$ nên $OE{\rm{//}}BC$ mà $O$ là trung điểm của $AB$

$ \Rightarrow $ $E$ là trung điểm của $AC$

$ \Rightarrow $ $OE = \dfrac{1}{2}BC.$

Tương tự $OF = \dfrac{1}{2}DB$ mà cung $BC$ nhỏ hơn cung $BD$ nên

$BC < BD \Rightarrow OE < OF$ .

Kẻ $KH \bot CD$ và $KH \bot AB$ lần lượt tại $K$ và $H$.

Suy ra $OK$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {DOC}$ $ \Rightarrow \widehat {DOK} = \widehat {COK}$

Và $OH$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {AOB}$ $ \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}$

Do đó $\widehat {AOH} + \widehat {DOK} = \widehat {BOH} + \widehat {COK} \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {COB}$

Nên số đo cung $AD$ bằng số đo cung $BC$, từ đó $AD = BC$.

Phương án A, C, D sai, B đúng.

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Nên dây $AB > CD$ thì cung $AB$ lớn hơn cung $CD$

Kẻ $KH \bot CD$ và $KH \bot AB$ lần lượt tại $K$ và $H$.

Suy ra $OK$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {DOC}$$ \Rightarrow \widehat {DOK} = \widehat {COK}$

Và $OH$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat {AOB}$$ \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}$

Do đó $\widehat {AOH} + \widehat {DOK} = \widehat {BOH} + \widehat {COK} \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {COB}$

Nên số đo cung $AD$ bằng số đo cung $BC$, từ đó $AD = BC$.

Phương án A, C, D sai và B đúng.

Vì $AO \bot CD;AO{\rm{//}}DE \Rightarrow CD \bot DE$$ \Rightarrow \widehat {CDE} = 90^\circ $ mà $C,D,E \in \left( O \right)$ nên $CE$ là đường kính hay $C;O;E$ thẳng hàng

Xét $\left( O \right)$ có $OA$ là đường cao trong tam giác cân $ODC$ nên $OA$ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat {COA} = \widehat {AOD}$

Suy ra cung $AD$ bằng cung $AC$ nên dây $AD = AC$

Lại thấy $\widehat {AOC} = \widehat {BOE}$ (đối đỉnh) nên cung $AC$ bằng cung $BE$ suy ra dây $AC = BE$.

Phương án A, B, C đúng.