Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

- Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó  $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.

Phương trình ${x^2} - 2x + a = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta {'_1} < 0 \Leftrightarrow 1 - a < 0 \Leftrightarrow a > 1.$

Phương trình ${x^2} + x + 2a = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow {\Delta _2} < 0 \Leftrightarrow 1 - 8a < 0 \Leftrightarrow a > \dfrac{1}{8}.$

Vậy với $a > 1$ thì hai phương trình đã cho cùng vô nghiệm.

ĐKXĐ: $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$. 

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - m}}{{x - 2}} = mx + 2\,\,\left( {x \ne 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - m = m{x^2} + 2x - 2mx - 4\\ \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m - 4 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}$

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 4m > 0\\4m - 4m + m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > 0\\m \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 4\end{array} \right.$.

Phương trình ${x^2} + 3x - m = 0$ có nghiệm khi  $\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {3^2} - 4( - m) \ge 0$$\displaystyle \Leftrightarrow 9 + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - {9 \over 4}$

$\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,2{x^3} - {x^2} + 3x + 6 = 0  \cr &  \Leftrightarrow 2{x^3} + 2{x^2} - 3{x^2} - 3x + 6x + 6 = 0  \cr &  \Leftrightarrow 2{x^2}(x + 1) - 3x(x + 1) + 6(x + 1) = 0  \cr &  \Leftrightarrow (x + 1)(2{x^2} - 3x + 6) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{x + 1 = 0 \hfill \cr 2{x^2} - 3x + 6 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x =  - 1 \hfill \cr  2{x^2} - 3x + 6 = 0 \hfill \cr}  \right. \cr}$

+) $2{x^2} - 3x + 6 = 0$

Ta có : $\Delta  = {( - 3)^2} - 4.2.6 =  - 39 < 0$ suy ra phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-1}.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x + 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x} \right) + \left( {4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) + 4\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 1; - 4} \right\}$.

Phương trình ${x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm $x = 1 \Rightarrow {1^2} + b.1 + c = 0 \Leftrightarrow b + c =  - 1.$

$\begin{array}{l}{x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} - 3{x^2} - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - 36 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 9t + 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) + 4\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 4} \right)\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 4 = 0\\t - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 3.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là : $S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.$

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

$\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) + 1 = 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {1;\,\dfrac{5}{2}} \right\}.$

$\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) + 1 = 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {1;\,\dfrac{5}{2}} \right\}.$

Với $m =  - 1$ phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x = 3$

Với $m \ne  - 1,\,\,\,\left( 1 \right)$ là phương trình bậc hai có:

$\Delta  = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} - 20m - 16 =  - 8m - 7$

Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 8m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{7}{8}$

Vậy với $m \le  - \dfrac{7}{8}$ phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm.

Với $m =  - 1$ phương trình thành: $- x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy với $m =  - 1$ phương trình có nghiệm $x = 3.$

Với $m =  - 1$ phương trình thành: $- x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy với $m =  - 1$ phương trình có nghiệm $x = 3.$

Phương trình $m{x^2} + 4(m - 1)x + 2m - 2 = 0$ có nghiệm 1 thì m phải thoả mãn phương trình 

Thay x = 1 vào phương trình ta được:

$m{.1^2} + 4(m - 1).1 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m + 4m - 4 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow 7m - 6 = 0$$\displaystyle \Leftrightarrow m = {6 \over 7}$

- Phương trình $x + \sqrt x  - 1 = 0$ có chứa căn thức nên không là phương trình bậc hai một ẩn.

-  Phương trình $2x + 2{y^2} + 3 = 9$ có chứa hai biến $x;y$  nên không là phương trình bậc hai một ẩn.

- Phương trình $\dfrac{1}{{{x^2}}} + x + 1 = 0$ có chứa ẩn ở mẫu thức nên không là phương trình bậc hai một ẩn.

- Phương trình $\sqrt 2 {x^2} + 1 = 0$ và ${x^2} + 2019x = 0$  là những phương trình bậc hai một ẩn.

Vậy có hai phương trình bậc hai một ẩn trong số các phương trình đã cho.

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Ta có $3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 9x - x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\x = 3\end{array} \right.$

Nên tích các nghiệm của phương trình là $\dfrac{1}{3}.3 = 1$.

Phương trình ${x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $1.\left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 3$.