Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn
- Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.
Cho hai phương trình \({x^2} - 2x + a = 0\) và \({x^2} + x + 2a = 0.\) Để hai phương trình cùng vô nghiệm thì:
Phương trình \({x^2} - 2x + a = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta {'_1} < 0 \Leftrightarrow 1 - a < 0 \Leftrightarrow a > 1.\)
Phương trình \({x^2} + x + 2a = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta _2} < 0 \Leftrightarrow 1 - 8a < 0 \Leftrightarrow a > \dfrac{1}{8}.\)
Vậy với \(a > 1\) thì hai phương trình đã cho cùng vô nghiệm.
Tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\dfrac{{2x - m}}{{x - 2}} = mx + 2\) có hai nghiệm phân biệt là
ĐKXĐ: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - m}}{{x - 2}} = mx + 2\,\,\left( {x \ne 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - m = m{x^2} + 2x - 2mx - 4\\ \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m - 4 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {m^2} - {m^2} + 4m > 0\\4m - 4m + m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > 0\\m \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 4\end{array} \right.\).
Tìm m để phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có nghiệm
Phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có nghiệm khi \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {3^2} - 4( - m) \ge 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow 9 + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - {9 \over 4}\)
Tập nghiệm của phương trình \(2{x^3} - {x^2} + 3x + 6 = 0\) là::
\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,2{x^3} - {x^2} + 3x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^3} + 2{x^2} - 3{x^2} - 3x + 6x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2}(x + 1) - 3x(x + 1) + 6(x + 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow (x + 1)(2{x^2} - 3x + 6) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x + 1 = 0 \hfill \cr 2{x^2} - 3x + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = - 1 \hfill \cr 2{x^2} - 3x + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) \(2{x^2} - 3x + 6 = 0\)
Ta có : \(\Delta = {( - 3)^2} - 4.2.6 = - 39 < 0\) suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-1}.
Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình \({x^2} + 5x + 4 = 0\), ta được tập nghiệm là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x + 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x} \right) + \left( {4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) + 4\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 4} \right\}\).
Cho biết \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} + bx + c = 0.\) Khi đó ta có:
Phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm \(x = 1 \Rightarrow {1^2} + b.1 + c = 0 \Leftrightarrow b + c = - 1.\)
\(\begin{array}{l}{x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} - 3{x^2} - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - 36 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 9t + 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) + 4\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 4} \right)\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 4 = 0\\t - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$.
TH1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$
TH3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
\(\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) + 1 = 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;\,\dfrac{5}{2}} \right\}.\)
\(\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) + 1 = 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;\,\dfrac{5}{2}} \right\}.\)
Với \(m = - 1\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = 3\)
Với \(m \ne - 1,\,\,\,\left( 1 \right)\) là phương trình bậc hai có:
\(\Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} - 20m - 16 = - 8m - 7\)
Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 8m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \dfrac{7}{8}\)
Vậy với \(m \le - \dfrac{7}{8}\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
Với \(m = - 1\) phương trình thành: \( - x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy với \(m = - 1\) phương trình có nghiệm \(x = 3.\)
Với \(m = - 1\) phương trình thành: \( - x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy với \(m = - 1\) phương trình có nghiệm \(x = 3.\)
Cho phương trình \(m{x^2} + 4(m - 1)x + 2m - 2 = 0\) có nghiệm bằng 1 nếu m nhận giá trị nào dưới đây ?
Phương trình \(m{x^2} + 4(m - 1)x + 2m - 2 = 0\) có nghiệm 1 thì m phải thoả mãn phương trình
Thay x = 1 vào phương trình ta được:
\(m{.1^2} + 4(m - 1).1 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m + 4m - 4 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow 7m - 6 = 0 \)\(\displaystyle \Leftrightarrow m = {6 \over 7}\)
Có bao nhiêu phương trình trong các phương trình dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn
\(\sqrt 2 {x^2} + 1 = 0\); \({x^2} + 2019x = 0\); \(x + \sqrt x - 1 = 0\); \(2x + 2{y^2} + 3 = 9\); \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + x + 1 = 0\)
- Phương trình \(x + \sqrt x - 1 = 0\) có chứa căn thức nên không là phương trình bậc hai một ẩn.
- Phương trình \(2x + 2{y^2} + 3 = 9\) có chứa hai biến \(x;y\) nên không là phương trình bậc hai một ẩn.
- Phương trình \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + x + 1 = 0\) có chứa ẩn ở mẫu thức nên không là phương trình bậc hai một ẩn.
- Phương trình \(\sqrt 2 {x^2} + 1 = 0\) và \({x^2} + 2019x = 0\) là những phương trình bậc hai một ẩn.
Vậy có hai phương trình bậc hai một ẩn trong số các phương trình đã cho.
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0\), khi đó phương trình đã cho:
Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\)
và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
TH1. Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}\)
TH3. Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac = 0\) . Khi đó phương trình có hai nghiệm là
Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\)
và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
TH1. Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}\)
TH3. Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
Không dùng công thức nghiệm, tính tích các nghiệm của phương trình \(3{x^2} - 10x + 3 = 0\).
Ta có \(3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 9x - x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\x = 3\end{array} \right.\)
Nên tích các nghiệm của phương trình là \(\dfrac{1}{3}.3 = 1\).
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
Phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(1.\left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 3\).
