Căn bậc ba

Ta có $\sqrt[3]{{125{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}} = 5a$

Ta có $\sqrt[3]{{ - \dfrac{1}{{27{a^3}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - \dfrac{1}{{3a}}} \right)}^3}}} =  - \dfrac{1}{{3a}}$

Ta có $M = 5\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{125}}.\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{125.6}} = \sqrt[3]{{750}}$

$N = 6\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{216}}.\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{216.5}} = \sqrt[3]{{1080}}$

Vì $750 < 1080 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{750}} < \sqrt[3]{{1080}} $

$\Rightarrow 5\sqrt[3]{6} < 6\sqrt[3]{5} \Leftrightarrow M < N$.

Với \(a\) ta có \(\sqrt[3]{a} = 2x \Leftrightarrow a = {\left( {2x} \right)^3} \Leftrightarrow a = 8{x^3}\)

Với mọi \(a,b\) ta có \(\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a > b;\)\(a \ge b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} \ge \sqrt[3]{b};a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\)

Suy ra A,B,C đúng, D sai.

+) \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\)

+) \(\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\)

+) Với \(b \ne 0\), ta có \(\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}\).

+)\({\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a\)

Từ đó D đúng.

Ta có: \(\sqrt[3]{{ - 125}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 5} \right)}^3}}} =  - 5\).

\(\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{216{a^3}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{1}{{6a}}} \right)}^3}}} \)\(= \dfrac{1}{{6a}}\)

Ta có: \(2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}\)\(  = 2\sqrt[3]{{{{\left( {3a} \right)}^3}}} - 3\sqrt[3]{{{{\left( {2a} \right)}^3}}} + 4\sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}}\)

\( = 2.3a - 3.2a + 4.5a = 20a\).

Ta có: \(A = \sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\)

Suy ra: \({A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} \)\(= {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + 3\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 9 + 4\sqrt 5  + 9 - 4\sqrt 5  + 3.\sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}.A\)  (vì \(A = \sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\))

\( = 18 + 3\sqrt[3]{{{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}}}.A\)\( = 18 + 3A\)

Hay \({A^3} = 3A + 18 \Leftrightarrow {A^3} - 3A - 18 = 0 \)\(\Leftrightarrow {A^3} - 27 - 3A + 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {A - 3} \right)\left( {{A^2} + 3A + 9} \right) - 3\left( {A - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {A - 3} \right)\left( {{A^2} + 3A + 6} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A - 3 = 0\\{A^2} + 3A + 6 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 3\\{\left( {A + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4} = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(A = 3.\)

Ta có: \(A = 3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{27}}.\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{54}}\).

Vì \(54 > 42 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{54}} > \sqrt[3]{{42}} \Rightarrow 3\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{{42}}\) hay \(A > B\).

Ta có: \(\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4 \Leftrightarrow 4 - 2x > {4^3} \Leftrightarrow 4 - 2x > 64 \Leftrightarrow 2x <  - 60 \Leftrightarrow x <  - 30\).

Ta có: \(\sqrt[3]{{7 + 4x}} \le 5 \Leftrightarrow 7 + 4x \le {5^3} \Leftrightarrow 7 + 4x \le 125 \Leftrightarrow 4x \le 118 \Leftrightarrow x \le 29,5\).

Nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là \(29\).

Ta có: \(\dfrac{{\sqrt[3]{{ - 64{a^5}{b^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}}}\)\( = \sqrt[3]{{\dfrac{{ - 64{a^5}{b^5}}}{{{a^2}{b^2}}}}} = \sqrt[3]{{ - 64{a^3}{b^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 4ab} \right)}^3}}} =  - 4ab\).

Ta có: \(\sqrt[3]{{2 - 3x}} =  - 3 \Leftrightarrow 2 - 3x = {\left( { - 3} \right)^3} \Leftrightarrow 2 - 3x =  - 27 \Leftrightarrow 3x = 29 \Leftrightarrow x = \dfrac{{29}}{3}\).

Ta có: \(\sqrt[3]{{{x^3} + 6{x^2}}} = x + 2 \)\( \Leftrightarrow {x^3} + 6{x^2} = {\left( {x + 2} \right)^3} \)\(\Leftrightarrow {x^3} + 6{x^2} = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8\)

\( \Leftrightarrow 12x + 8 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}\)

Vậy nghiệm của phương trình là phân số.

Ta có: \(\sqrt[3]{{x - 2}} + 2 = x \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x - 2}} = x - 2\)\( \Leftrightarrow x - 2 = {\left( {x - 2} \right)^3} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^3} - \left( {x - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2 - 1} \right)\left( {x - 2 + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \(2 + 3 + 1 = 6.\)

Ta có: \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right)^3} = {2^3}\)

\( \Leftrightarrow x + 1 + 7 - x + 3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right) = 8\)

Mà \(\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\) nên ta có phương trình

\(3\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}}. 2 + 8 = 8 \Leftrightarrow 6\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right)}} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {7 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\7 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 7\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;7} \right\}\).

Ta có: \(\sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} - \sqrt[3]{{125{x^3} + 75{x^2} + 15x + 1}}\)\( = \sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {5x + 1} \right)}^3}}}\)

\( = x - 1 - 5x - 1 =  - 4x-2.\)

Với $a$ ta có $\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow a = {x^3}$

Và $\sqrt[3]{a} =  - x \Leftrightarrow a = {\left( { - x} \right)^3} \Leftrightarrow a =  - {x^3}$