Căn bậc ba

Với mọi $a,b$ ta có $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b} \Leftrightarrow a > b$

+) $\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$

+) Với $b \ne 0$, ta có $\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}$.

+)${\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Ta có $\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{{3^3}}} = 3$.

Ta có $\sqrt[3]{{ - \dfrac{1}{{8{a^3}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - \dfrac{1}{{2a}}} \right)}^3}}} =  - \dfrac{1}{{2a}}$

Ta có $\sqrt[3]{{125{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}} = 5a$

Ta có $\sqrt[3]{{ - \dfrac{1}{{27{a^3}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - \dfrac{1}{{3a}}} \right)}^3}}} =  - \dfrac{1}{{3a}}$

Ta có $\sqrt[3]{{\dfrac{{ - 27}}{{512}}{a^3}}} + \sqrt[3]{{64{a^3}}} - \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{{1000{a^3}}}$$= \sqrt[3]{{{{\left( { - \dfrac{3}{8}a} \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {4a} \right)}^3}}} - \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {10a} \right)}^3}}}$

$= \dfrac{{ - 3}}{8}a + 4a - \dfrac{{10}}{3}a = \dfrac{{7a}}{{24}}$.

Ta có $B = \sqrt[3]{{17\sqrt 5  + 38}} - \sqrt[3]{{17\sqrt 5  - 38}}$

$= \sqrt[3]{{{2^3} + {{3.2}^2}.\sqrt 5  + 3.2.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} - 3.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}.2 + 3.\sqrt 5 {{.2}^2} - {2^3}}}$.

$= \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^3}}} = \sqrt 5  + 2 - \sqrt 5  + 2 = 4$

Ta có $A = 2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8}.\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{{24}}$ .

Vì $24 < 25 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{24}} < \sqrt[3]{{25}} \Rightarrow 2\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{{25}}$ hay $A < B$

Ta có $M = 5\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{125}}.\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{125.6}} = \sqrt[3]{{750}}$

$N = 6\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{216}}.\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{216.5}} = \sqrt[3]{{1080}}$

Vì $750 < 1080 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{750}} < \sqrt[3]{{1080}}$

$\Rightarrow 5\sqrt[3]{6} < 6\sqrt[3]{5} \Leftrightarrow M < N$.

Ta có $\sqrt[3]{{2x + 1}} >  - 3$

$\Leftrightarrow 2x + 1 > {\left( { - 3} \right)^3}$

$\Leftrightarrow 2x + 1 >  - 27$

$\Leftrightarrow 2x >  - 28$

$\Leftrightarrow x >  - 14$.

Ta có $\sqrt[3]{{3 - 2x}} \le 4 \Leftrightarrow 3 - 2x \le {4^3}$

$\Leftrightarrow 3 - 2x \le 64$ $\Leftrightarrow 2x \ge  - 61$

$\Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{{61}}{2}$.

Nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $- 30$.

Ta có $\sqrt[3]{{\dfrac{{343{a^3}{b^6}}}{{ - 125}}}}$$= \sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{{7a{b^2}}}{{ - 5}}} \right)}^3}}} =  - \dfrac{{7a{b^2}}}{5}$.

Ta có $\sqrt[3]{{2x + 1}} = 3 \Leftrightarrow 2x + 1 = {3^3}$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = 27 \Leftrightarrow 2x = 26$

$\Leftrightarrow x = 13$.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $x=13.$

Ta có $\sqrt[3]{{3x - 2}} =  - 2$$\Leftrightarrow 3x - 2 = {\left( { - 2} \right)^3} \Leftrightarrow 3x - 2 =  - 8 \Leftrightarrow 3x =  - 6 \Leftrightarrow x =  - 2$.

Ta có $\sqrt[3]{{5 + x}} - x = 5 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 5}} = x + 5$$\Leftrightarrow x + 5 = {\left( {x + 5} \right)^3} \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^3} - \left( {x + 5} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left[ {{{\left( {x + 5} \right)}^2} - 1} \right] = 0$$\Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x + 5 - 1} \right)\left( {x + 5 + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5\\x =  - 4\\x =  - 6\end{array} \right.$

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt 

Ta có $\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}} = 5$$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}}} \right)^3} = {5^3}$

$\Leftrightarrow 12 - 2x + 3\sqrt[3]{{\left( {12 - 2x} \right)\left( {23 + 2x} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}}} \right) + 23 + 2x = 125$

Mà $\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}} = 5$

nên ta có phương trình

$\Leftrightarrow 3.\sqrt[3]{{\left( {12 - 2x} \right)\left( {23 + 2x} \right)}}.5 + 35 = 125$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {12 - 2x} \right)\left( {23 + 2x} \right)}} = 6$

$\Leftrightarrow \left( {12 - 2x} \right)\left( {23 + 2x} \right)= 216$

$\Leftrightarrow  - 4{x^2} - 22x + 60 = 0$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 11x - 30 = 0$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 15x - 30 = 0$

$\Leftrightarrow 2x\left( {x - 2} \right) + 15\left( {x - 2} \right)= 0$

$\Leftrightarrow \left( {2x + 15} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{15}{2}\\x = 2\end{array} \right.$

Nên tổng các nghiệm của phương trình là

$2 + \left( { - \dfrac{15}{2}} \right) = \dfrac{{ - 11}}{2}$.

Ta có $\sqrt[3]{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} - \sqrt[3]{{8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1}}$$= \sqrt[3]{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2x + 1} \right)}^3}}}$

$= x + 1 - 2x - 1 =  - x$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \,\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\, + \,\sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\\{A^3} = {\left( {\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\, + \,\sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}} \right)^3}\\\,\,\,\,\,\,\, = \,2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}}  + 2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}}  + 3.\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}.\sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}.\left( {\sqrt[3]{{2 + 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}\, + \,\sqrt[3]{{2 - 10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} }}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \,4 + 3.\sqrt[3]{{{2^2} - {{\left( {10\sqrt {\dfrac{1}{{27}}} } \right)}^2}}}.A\\\,\,\,\,\,\,\, = \,4 + 3.\sqrt[3]{{\dfrac{8}{{27}}}}.A\\\,\,\,\,\,\,\, = \,4 + 3.\dfrac{2}{3}.A\\\,\,\,\,\,\,\, = 4 + 2A\end{array}$

Vậy giá trị của A thảo mãn phương trình ${A^3} = 4 + 2A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {A^3} - 2A - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {A^3} - 8 - 2A + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 4} \right) - 2\left( {A - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 4 - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {{A^2} + 2A + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A - 2 = 0\\{A^2} + 2A + 2 = 0\,\,\left( {vô\,\,nghiệm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow A = 2.\end{array}$

(Do ${A^2} + 2A + 2 = {\left( {A + 1} \right)^2} + 1 > 0$ với mọi A).

Vậy giá trị của $A = 2$.