Tổng các nghiệm của phương trình  \(\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}} = 5\) là

Ta có \(\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}} = 5\)$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}}} \right)^3} = {5^3}$

$ \Leftrightarrow 12 - 2x + 3\sqrt[3]{{\left( {12 - 2x} \right)\left( {23 + 2x} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}}} \right) + 23 + 2x = 125$

Mà \(\sqrt[3]{{12 - 2x}} + \sqrt[3]{{23 + 2x}} = 5\)

nên ta có phương trình

$ \Leftrightarrow 3.\sqrt[3]{{\left( {12 - 2x} \right)\left( {23 + 2x} \right)}}.5 + 35 = 125$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {12 - 2x} \right)\left( {23 + 2x} \right)}} = 6$

$ \Leftrightarrow \left( {12 - 2x} \right)\left( {23 + 2x} \right)= 216 $

$\Leftrightarrow  - 4{x^2} - 22x + 60 = 0 $

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 11x - 30 = 0$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 15x - 30 = 0 $

$\Leftrightarrow 2x\left( {x - 2} \right) + 15\left( {x - 2} \right)= 0$

$ \Leftrightarrow \left( {2x + 15} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{15}{2}\\x = 2\end{array} \right.$

Nên tổng các nghiệm của phương trình là

$2 + \left( { - \dfrac{15}{2}} \right) = \dfrac{{ - 11}}{2}$.