Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}\) với \(x \ge 0;y \ge 0;x \ne \dfrac{4}{9}y\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}\)\( = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}}{{\left( {3\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}} = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}}{{{{\left( {3\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{12\sqrt x - 8\sqrt y }}{{9x - 4y}}\)
Tính giá trị biểu thức \(\left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} \right):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }}\)
Ta có: \(\left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} \right):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }}\)\( = \left( {\dfrac{{\sqrt {100} - \sqrt {40} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}}} \right):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }}\)
\( = \left( {\dfrac{{\sqrt {20} \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 6 .\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{\sqrt 5 - 1}}} \right):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }}\)\( = \left( {2\sqrt 5 + \sqrt 6 } \right)\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } \right) = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 20 - 6 = 14\)
Cho ba biểu thức \(M = {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2};N = \dfrac{{x\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }};P = \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\). Biểu thức nào bằng với biểu thức \(x + \sqrt {xy} + y\) với \(x,y,x \ne y\) không âm.
\(M = {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2} = {\left( {\sqrt x } \right)^2} + 2\sqrt x .\sqrt y + {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x + 2\sqrt {xy} + y\)
\(N = \dfrac{{x\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^3}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} = \dfrac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {x + \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\sqrt x - \sqrt y }} = x + \sqrt {xy} + y\)
\(P = \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x - y\)
Vậy \(N = x + \sqrt {xy} + y\).
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {9{x^2} - 16} = 3\sqrt {3x - 4} \) là:
Ta có: \(\sqrt {9{x^2} - 16} = 3\sqrt {3x - 4} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} - 16} = \sqrt {9\left( {3x - 4} \right)} \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} - 16} = \sqrt {27x - 36} \)
Điều kiện: \(27x - 36 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{4}{3}\).
Với điều kiện trên ta có:
\(\sqrt {9{x^2} - 16} = \sqrt {27x - 36} \Leftrightarrow 9{x^2} - 16 = 27x - 36 \Leftrightarrow 9{x^2} - 27x + 20 = 0 \Leftrightarrow 9{x^2} - 15x - 12x + 20 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x\left( {3x - 5} \right) - 4\left( {3x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3x - 4} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 4 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{3}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: \(x = \dfrac{4}{3};x = \dfrac{5}{3}\).
Phương trình \(\sqrt {4x - 8} - 2\sqrt {\dfrac{{x - 2}}{4}} + \sqrt {9x - 18} = 8\) có nghiệm là?
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 8 \ge 0\\9x - 18 \ge 0\\\dfrac{{x - 2}}{4} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {x - 2} \right) \ge 0\\9\left( {x - 2} \right) \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)
Ta có: \(\sqrt {4x - 8} - 2\sqrt {\dfrac{{x - 2}}{4}} + \sqrt {9x - 18} = 8\)\( \Leftrightarrow \sqrt {4\left( {x - 2} \right)} - 2\sqrt {\dfrac{1}{4}.\left( {x - 2} \right)} + \sqrt {9.\left( {x - 2} \right)} = 8\)
y\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 2} - 2.\dfrac{1}{2}\sqrt {x - 2} + 3\sqrt {x - 2} = 8\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 2} - \sqrt {x - 2} + 3\sqrt {x - 2} = 8\)
\( \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 2} = 8 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} = 2 \Leftrightarrow x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6\) (TM)
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 6\).
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\)\( = \dfrac{{4a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)}} - \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{a\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\)
\( = a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right) - a\left( {2 + \sqrt 2 } \right) - a\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\)\( = a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 - 2 - \sqrt 2 - \sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\)
\( = a\left( {\sqrt 7 - 2} \right)\)
Rút gọn \(P = 3\sqrt {8x} - 5\sqrt {48x} + 9\sqrt {18x} + 5\sqrt {12x} \) với \(x > 0\)
\(\begin{array}{l}P = 3\sqrt {8x} - 5\sqrt {48x} + 9\sqrt {18x} + 5\sqrt {12x} \\ = 3\sqrt {4.2.x} - 5\sqrt {16.3.x} + 9\sqrt {9.2.x} + 5\sqrt {4.3.x} \\ = 3.2\sqrt {2x} - 5.4\sqrt {3x} + 9.3\sqrt {2x} + 5.2\sqrt {3x} \\ = 6\sqrt {2x} - 20\sqrt {3x} + 27\sqrt {2x} + 10\sqrt {3x} \\ = 33\sqrt {2x} - 10\sqrt {3x} .\end{array}\)
Giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình \(\sqrt {{x^2} - 9} - 3\sqrt {x - 3} = 0\) với \(x \ge 3\) là
Điều kiện : \(x \ge 3.\)
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 9} - 3\sqrt {x - 3} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)} - 3\sqrt {x - 3} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} \left( {\sqrt {x + 3} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3} = 0\\\sqrt {x + 3} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\sqrt {x + 3} = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x + 3 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 6\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4} - 2\sqrt {x + 2} = 0\) là:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right.\\x \ge - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \ge 2\) hoặc \(x=-2\)
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 4} - 2\sqrt {x + 2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} - 2\sqrt {x + 2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {x - 2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 2} = 0\\\sqrt {x - 2} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\\sqrt {x - 2} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 6\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt {8\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {20\sqrt 3 } \)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2\sqrt {8\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {20\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {4.2} .\sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3\sqrt {4.5} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2.2\sqrt 2 \sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 \sqrt {\sqrt 3 } - 3.2.\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 4\sqrt {2\sqrt 3 } - \left( {2 + 3.2} \right)\sqrt 5 \sqrt {\sqrt 3 } \\ = 4\sqrt {2\sqrt 3 } - 8\sqrt {5\sqrt 3 } \end{array}\)
Cho các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A,B,C > 0\), khẳng định nào sau đây là đúng?
Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A,B,C > 0\), ta có: \(\sqrt {\dfrac{A}{{BC}}} = \dfrac{{\sqrt {ABC} }}{{\left| {BC} \right|}} = \dfrac{{\sqrt {ABC} }}{{BC}}\) (vì \(B,C > 0\))
Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(A,\,B \ge 0\), ta có:
Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(A,\,B \ge 0\), ta có: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = A\sqrt B \)
Đưa thừa số \(\sqrt {144{{\left( {3 + 2a} \right)}^4}} \) ra ngoài dấu căn ta được?
Ta có: \(\sqrt {144{{\left( {3 + 2a} \right)}^4}} = \sqrt {{{12}^2}.{{\left[ {{{\left( {3 + 2a} \right)}^2}} \right]}^2}} = 12.\left| {{{\left( {3 + 2a} \right)}^2}} \right| = 12{\left( {3 + 2a} \right)^2}\)
Đưa thừa số \( - 7x\sqrt {2xy} \) (\(x \ge 0;y \ge 0\)) vào trong dấu căn ta được:
Ta có: \( - 7x\sqrt {2xy} \) \( = - \sqrt {{{\left( {7x} \right)}^2}2xy} \)\( = -\sqrt {49{x^2}.2xy} = -\sqrt {98{x^3}y} \).
Đưa thừa số \(5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \) (\(x < 0\)) vào trong dấu căn ta được:
Ta có: \(5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \)\( = - \sqrt {{{\left( {5x} \right)}^2}.\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} = \sqrt {25{x^2}\left( {\dfrac{{ - 12}}{x^3}} \right)} = - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \).
So sánh hai số \(9\sqrt 7 \) và \(8\sqrt 8 \)
Ta có: \(9\sqrt 7 = \sqrt {{9^2}.7} = \sqrt {81.7} = \sqrt {567} \); \(8\sqrt 8 = \sqrt {{8^2}.8} = \sqrt {64.8} = \sqrt {512} \)
Vì \(512 < 567 \Leftrightarrow \sqrt {512} < \sqrt {567} \Leftrightarrow 8\sqrt 8 < 9\sqrt 7 \)
Khử mẫu biểu thức sau \( - 2{x^2}y\sqrt {\dfrac{{ - 9}}{{{x^3}{y^2}}}} \) với \(x < 0;y > 0\) ta được:
Vì \(x < 0;y > 0\) nên ta có: \( - 2{x^2}y\sqrt {\dfrac{{ - 9}}{{{x^3}{y^2}}}} \)\( = - 2{x^2}y\dfrac{{\sqrt { - 9{x^3}{y^2}} }}{{\left| {{x^3}{y^2}} \right|}} = - 2{x^2}y\dfrac{{\sqrt { - 9x.{x^2}} .\sqrt {{y^2}} }}{{\left( { - {x^3}{y^2}} \right)}} = 2.\dfrac{{\sqrt { - {3^2}x} .\left| x \right|.\left| y \right|}}{{xy}} = \dfrac{{2.3\sqrt { - x} \left( { - x} \right).y}}{{xy}} = - 6\sqrt {-x} \).
Sau khi rút gọn biểu thức \(\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} + \dfrac{2}{{7 - 3\sqrt 5 }}\) là phân số tối giản \(\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
Ta có: \(\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} + \dfrac{2}{{7 - 3\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)}} + \dfrac{{2\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)}}\)
\( = \dfrac{{14 - 6\sqrt 5 }}{{{7^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}} + \dfrac{{14 + 6\sqrt 5 }}{{{7^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \dfrac{{14 - 6\sqrt 5 + 14 + 6\sqrt 5 }}{{49 - 9.5}} = \dfrac{{28}}{4} = \dfrac{7}{1}\)
Suy ra \(a = 7;b = 1 \Rightarrow a + b = 7 + 1 = 8\).
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {27x} - \sqrt {48x} + 4\sqrt {75x} + \sqrt {243x} \) với \(x \ge 0\) ta được kết quả là:
Ta có: \(\sqrt {27x} - \sqrt {48x} + 4\sqrt {75x} + \sqrt {243x} \)\( = \sqrt {9.3x} - \sqrt {16.3x} + 4\sqrt {25.3x} + \sqrt {81.3x} \)
\( = \sqrt {{3^2}.3x} - \sqrt {{4^2}.3x} + 4\sqrt {{5^2}.3x} + \sqrt {{{9}^2}.3x} \)
\( = 3\sqrt {3x} - 4\sqrt {3x} + 4.5\sqrt {3x} + 9\sqrt {3x} = \sqrt {3x} \left( {3 - 4 + 20+ 9} \right) = 28\sqrt {3x} \)
Rút gọn biểu thức \(7\sqrt x + 11y\sqrt {36{x^5}} - 2{x^2}\sqrt {16x{y^2}} - \sqrt {25x} \) với \(x \ge 0;y \ge 0\) ta được kết quả là:
Ta có: \(7\sqrt x + 11y\sqrt {36{x^5}} - 2{x^2}\sqrt {16x{y^2}} - \sqrt {25x} \)\( = 7\sqrt x + 11y\sqrt {{6^2}{x^4}.x} - 2{x^2}\sqrt {{4^2}x{y^2}} - \sqrt {{5^2}x} \)
\( = 7\sqrt x + 11y.6{x^2}\sqrt x - 2{x^2}.4.y\sqrt x - 5\sqrt x \)\( = 7\sqrt x + 66{x^2}y\sqrt x - 8{x^2}y\sqrt x - 5\sqrt x \)\( = \left( {7\sqrt x - 5\sqrt x } \right) + \left( {66{x^2}y\sqrt x - 8{x^2}y\sqrt x } \right) = 2\sqrt x + 58{x^2}y\sqrt x \)
