Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 6\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} + 5\sqrt {\dfrac{{4a}}{{25}}} \) với \(a > 0,\) ta được kết quả là:
Ta có: \(5\sqrt a + 6\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} + 5\sqrt {\dfrac{{4a}}{{25}}} \)\( = 5\sqrt a + 6\sqrt {\dfrac{1}{4}.a} - a\sqrt {4.\dfrac{1}{a}} + 5\sqrt {\dfrac{4}{{25}}.a} \) \( = 5\sqrt a + 6\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}.a} - a\sqrt {{2^2}.\dfrac{1}{a}} + 5\sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^2}.a} \) \( = 5\sqrt a + 6.\dfrac{1}{2}\sqrt a - 2a\sqrt {\dfrac{1}{a}} + 5.\dfrac{2}{5}\sqrt a \)
\( = 5\sqrt a + 3\sqrt a - 2a\dfrac{{\sqrt a }}{a} + 2\sqrt a = 5\sqrt a + 3\sqrt a - 2\sqrt a + 2\sqrt a = 8\sqrt a \)
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{3}{{6 + \sqrt {3a} }}\) với \(a \ge 0;a \ne 12\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{3}{{6 + \sqrt {3a} }} = \dfrac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{\left( {6 + \sqrt {3a} } \right)\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}} = \dfrac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{{6^2} - {{\left( {\sqrt {3a} } \right)}^2}}} = \dfrac{{3\left( {6 - \sqrt {3a} } \right)}}{{36 - 3a}} = \dfrac{{6 - \sqrt {3a} }}{{12 - a}}\)
Cho các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B > 0$, khẳng định nào sau đây là đúng?
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B < 0\end{array} \right.$
Cho các biểu thức với $A < 0$ và $B \ge 0$ , khẳng định nào sau đây là đúng?
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
Đưa thừa số $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}} $ ra ngoài dấu căn ta được ?
Ta có $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}} = \sqrt {81.{{\left[ {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right]}^2}} = \left| {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right|\sqrt {81} = 9{\left( {2 - y} \right)^2}$
Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được
Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y} = \sqrt {25{y^2}.y} = \sqrt {25{y^3}} $.
Đưa thừa số $x\sqrt {\dfrac{{ - 35}}{x}} $ ($x < 0$) vào trong dấu căn ta được
Ta có $x\sqrt {\dfrac{{ - 35}}{x}} $$ = - \sqrt {{x^2}.\dfrac{{ - 35}}{x}} = - \sqrt { - 35x} $.
So sánh hai số $5\sqrt 3 $ và $4\sqrt 5 $
Ta có $5\sqrt 3 = \sqrt {{5^2}.3} = \sqrt {25.3} = \sqrt {75} $; $4\sqrt 5 = \sqrt {{4^2}.5} = \sqrt {16.5} = \sqrt {80} $
Vì $75 < 80 \Leftrightarrow \sqrt {75} < \sqrt {80} \Leftrightarrow 5\sqrt 3 < 4\sqrt 5 $
Khử mẫu biểu thức sau $ xy\sqrt {\dfrac{4}{{x^2y^2}}} $ với $x > 0;y > 0$ ta được
Vì $x > 0;y > 0$ nên $xy > 0$. Từ đó ta có
$ xy\sqrt {\dfrac{4}{{x^2y^2}}} $$ = xy.\dfrac{{\sqrt {4} }}{\sqrt{x^2y^2}} = xy.\dfrac{2}{xy}= 2 $.
Khử mẫu biểu thức sau $ - xy\sqrt {\dfrac{3}{{xy}}} $ với $x < 0;y < 0$ ta được
Vì $x < 0;y < 0$ nên $xy > 0$. Từ đó ta có
$ - xy\sqrt {\dfrac{3}{{xy}}} $$ = - xy.\dfrac{{\sqrt {3xy} }}{{xy}} = - \sqrt {3xy} $.
Sau khi rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }}$ ta được phân số tối giản $\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $2a$ có giá trị là:
Ta có $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} \\= \dfrac{{5 - 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}} + \dfrac{{5 + 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}}\\ =\dfrac{{5 - 3\sqrt 2+5 + 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}} \\= \dfrac{{10}}{{{5^2} - {{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{25 - 18}} = \dfrac{{10}}{7}$
Suy ra $a = 10;b = 7 \Rightarrow 2a = 2.10 = 20$.
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {32x} + \sqrt {50x} - 2\sqrt {8x} + \sqrt {18x} \) với $x \ge 0$ ta được kết quả là
Ta có \(\sqrt {32x} + \sqrt {50x} - 2\sqrt {8x} + \sqrt {18x} \)$ = \sqrt {16.2x} + \sqrt {25.2x} - 2\sqrt {4.2x} + \sqrt {9.2x} = \sqrt {{4^2}.2x} + \sqrt {{5^2}.2x} - 2\sqrt {{2^2}.2x} + \sqrt {{3^2}.2x} $
$ = 4\sqrt {2x} + 5\sqrt {2x} - 4\sqrt {2x} + 3\sqrt {2x} = \sqrt {2x} \left( {4 + 5 - 4 + 3} \right) = 8\sqrt {2x} $
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} \) với $a \ge 0;b \ge 0$ ta được kết quả là
Ta có \(5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} \)$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16a{b^2}.{a^2}} - \sqrt 9 .\sqrt a $
$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25} .\sqrt {{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16} .\sqrt {{a^3}{b^2}} - 3\sqrt a $$ = \left( {5\sqrt a - 3\sqrt a } \right) - \left( {4.5\sqrt {{a^3}{b^2}} - 5.4\sqrt {{a^3}{b^3}} } \right)$$ = 2\sqrt a $
Giá trị của biểu thức \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} \) là
Ta có \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} = 2\sqrt {{4^2}.\dfrac{a}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{1}{9}.\dfrac{a}{3}} - 6\sqrt {\dfrac{4}{{25}}.\dfrac{a}{3}} \)$ = 2.4\sqrt {\dfrac{a}{3}} - 3.\dfrac{1}{3}\sqrt {\dfrac{a}{3}} - 6.\dfrac{2}{5}.\sqrt {\dfrac{a}{3}} $
$ = \sqrt {\dfrac{a}{3}} .\left( {8 - 1 - \dfrac{{12}}{5}} \right) = \dfrac{{23}}{5}\sqrt {\dfrac{a}{3}} = \dfrac{{23}}{5}.\dfrac{{\sqrt {3a} }}{3} = \dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}$
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}\)với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được
Ta có $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}.$
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{6}{{\sqrt x + \sqrt {2y} }}\)với $x \ge 0;y \ge 0$ ta được
Ta có \(\dfrac{6}{{\sqrt x + \sqrt {2y} }}\)$ = \dfrac{{6\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}}{{\left( {\sqrt x + \sqrt {2y} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}} = \dfrac{{6\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}}{{x - 2y}}$
Tính giá trị biểu thức\(\left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}.\)
Ta có \(\left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\)$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}$
$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$
$ = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } \right).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$
$= - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$
$= - \left( {7 - 5} \right) = - 2$
Giá trị biểu thức $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $ là giá trị nào sau đây?
Ta có $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2.\dfrac{{\sqrt 6 }}{3} - 4\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$$ = \sqrt 6 \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}$.
Cho ba biểu thức $P = x\sqrt y + y\sqrt x ;Q = x\sqrt x + y\sqrt y ;$
$R = x - y$. Biểu thức nào bằng với biểu thức $\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$ với $x,y$ không âm.
$P = x\sqrt y + y\sqrt x $
$= {\left( {\sqrt x } \right)^2}\sqrt y + {\left( {\sqrt y } \right)^2}\sqrt x $
$= \sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$
$Q = x\sqrt x + y\sqrt y $
$= {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3}$
$= \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)$
$R = x - y = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} $
$= \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$
Vậy $R = \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$.
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \) là
Ta có \(\sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \)$ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {4\left( {2x + 3} \right)} \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {8x + 12} $
Điều kiện: $8x + 12 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{3}{2}$.
Với điều kiện trên ta có
$\sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {8x + 12} $
$\Leftrightarrow 4{x^2} - 9 = 8x + 12 $
$\Leftrightarrow 4{x^2} - 8x - 21 = 0 $
$\Leftrightarrow 4{x^2} + 6x - 14x - 21 = 0$
$\Leftrightarrow2x\left( {2x + 3} \right) - 7\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 7 = 0\\2x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{2}\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\left( {TM} \right)$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x = \dfrac{7}{2};x = - \dfrac{3}{2}$.
