Hệ số góc của đường thẳng

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y =  - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) có \( - k\) là hệ số góc.

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có: \(a = \tan \alpha \) mà \(a < 0\) nên \(\tan \alpha  < 0\)

Đường thẳng \(d\):\(y = \dfrac{1}{3}x - 10\) có hệ số góc là \(a = \dfrac{1}{3}\).

Thay \(x = 3;y =  - 1\)  vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\left( {2m - 3} \right).3 + m =  - 1 \Leftrightarrow 7m = 8 \Leftrightarrow m = \dfrac{8}{7}\)

Suy ra \(d:y =  - \dfrac{5}{7}x + \dfrac{8}{7}\)

Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(k =  - \dfrac{5}{7}\).

Xét \(d':x - 3y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}\) có hệ số góc là \(\dfrac{1}{3}\). Mà \(d{\rm{//}}d'\) nên hệ số góc của \(d\) là \(\dfrac{1}{3}\).

Gọi \(d:y = {\rm{ax}} + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua \(2\) điểm \(M\left( { - 3;2} \right)\) và \(N\left( {1; - 1} \right)\)

\(M\) thuộc \(d \Leftrightarrow  - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\left( 1 \right)\)

\(N\) thuộc \(d \Leftrightarrow 1.a + b =  - 1 \Leftrightarrow b =  - 1 - a\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(2 + 3a =  - 1 - a \Leftrightarrow 4a =  - 3 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{3}{4}\) suy ra \(b =  - 1 - a =  - 1 + \dfrac{3}{4} =  - \dfrac{1}{4}\)

Vậy \(d:y =  - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}\).

Hệ số góc của \(d\) là \(k =  - \dfrac{3}{4}\)

Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(k = \dfrac{{m + 1}}{3}\)\(\left( {m \ne  - 1} \right)\)

Từ giả thiết suy ra \(\dfrac{{m + 1}}{3} =  - 2 \Leftrightarrow m + 1 =  - 6 \Leftrightarrow m =  - 7\).

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,$

Vì $d$ đi qua $A\left( {1;1} \right)$ nên $a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - a$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình  ta được $ - a + b = 2$$ \Rightarrow b = a + 2$

Nên ta có $1 - a = a + 2 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow b = 1 - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$

Hệ số góc của $d$ là $k =  - \dfrac{1}{2}$.

Ta có \(d':y - 2x = 0\)\( \Leftrightarrow y = 2x\)

Đường thẳng  \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) có hệ số góc \(2m + 5\)

Vì \(d \bot d' \Rightarrow \left( {2m + 5} \right).2 =  - 1 \Leftrightarrow 2m + 5 =  - \dfrac{1}{2}\)

Suy ra đường thẳng \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) có hệ số góc \(k =  - \dfrac{1}{2}\)

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có \(\tan \alpha  = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \alpha  = 30^\circ \)

Thay \(x = 1;y = 2\sqrt 5  - \sqrt 2 \) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được

\(\left( {2m - 1} \right).1 + 2\sqrt 5  = 2\sqrt 5  - \sqrt 2  \Leftrightarrow 2m - 1 =  - \sqrt 2  \Leftrightarrow m = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow d:y =  - \sqrt 2 x + 2\sqrt 5 \)

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có \(\tan \alpha  =  - \sqrt 2 .\)

Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì \(d\) có hệ số góc bằng \(2\) nên \(a = 2\left( {tm} \right)\)\( \Rightarrow y = 2x + b\)

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có \(2.2 + b = 1 \Leftrightarrow b =  - 3\)

Nên \(d:y = 2x - 3\).

Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và trục \(Ox\) là \(60^\circ \) nên \(a = \tan 60^\circ  = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow y = \sqrt 3 x + b\)

Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có \(\sqrt 3 .\sqrt 3  + b =  - 5 \Rightarrow b =  - 8\)

Nên \(d:y = \sqrt 3 x - 8\).

Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và trục \(Ox\) là \(30^\circ \) nên \(a = \tan 30^\circ  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}x + b\)

Vì đường thẳng \(d\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(6\) nên \(d\) giao với trục hoành tại \(A\left( {6;0} \right)\).

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.6 + b = 0 \Rightarrow b =  - 2\sqrt 3 \)

Nên \(d:y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}x - 2\sqrt 3 \).

Thay \(x =  - 2;y = 4\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có \(\left( {6 - \dfrac{m}{2}} \right)\left( { - 2} \right) - 2m + 3 = 4\)\( \Leftrightarrow  - 12 + m - 2m + 3 = 4 \Leftrightarrow m =  - 13\)

Khi đó \(y = \dfrac{{25}}{2}x + 29\)

Đường thẳng \(y = \dfrac{{25}}{2}x + 29\) có hệ số góc \(k = \dfrac{{25}}{2}\).

Gọi phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Vì góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(135^\circ \) nên góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và trục \(Ox\) cũng là \(135^\circ \)(do đường thẳng \(y = 1\) song song với trục \(Ox\)) nên \(a = \tan 135^\circ  =  - 1\)

\( \Rightarrow y =  - x + b\)

Vì đường thẳng \(d\) cắt trục tung tại điểm có tung độ \(4\) nên \(b = 4\).

Từ đó \(d:y =  - x + 4\).

Đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng \(\displaystyle d':y =  - {1 \over 2}x\)

\( \displaystyle \Rightarrow a.{{ - 1} \over 2} =  - 1 \Leftrightarrow a = 2\)

d đi qua  \(P\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow 2( - 1) + b = 2 \Leftrightarrow b = 4\)

Giả sử d’: ax + b

\(d' \bot d \Rightarrow a.2 =  - 1 \Leftrightarrow a =  - 0,5\)

\(d':y =  - 0,5{\rm{x}} + b\) tiếp xúc với \(\left( P \right) \Leftrightarrow \) phương trình \(\displaystyle {1 \over 2}{x^2} =  - 0,5x + b\) có nghiệm kép.

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2b = 0\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow 1 + 8b = 0 \Leftrightarrow \displaystyle b = {{ - 1} \over 8}\)

Vậy \(\displaystyle \displaystyle d:y =  - {1 \over 2}x - {1 \over 8}.\)

Ta có M là trung điểm của BC nên M thuộc BC

\(  \Rightarrow 1 - 4y + 7 = 0 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow M(1;2) \)

\( \displaystyle BC:x - 4y + 7 = 0 \Leftrightarrow y = {1 \over 4}x + {7 \over 4}  \)

\(d:y = a{\rm{x}} + b\) là đường trung trực của BC

\( \displaystyle \Rightarrow d \bot BC \Rightarrow a.{1 \over 4} =  - 1 \Leftrightarrow a =  - 4\)

Mặt khác d còn đi qua trung điểm (1; 2) của BC nên ta có: \( - 4.1 + b = 2 \Leftrightarrow b = 6\)

Vậy  \(d:y =  - 4x + 6\)

Đường thẳng $d$ có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\)có $a$ là hệ số góc.