Hệ số góc của đường thẳng

Đường thẳng $d$ có phương trình $y =  - kx + b\,\,\left( {k \ne 0} \right)$ có $- k$ là hệ số góc.

Cho đường thẳng $d$ có phương trình $y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và $d.$ Ta có: $a = \tan \alpha$ mà $a < 0$ nên $\tan \alpha  < 0$

Đường thẳng $d$:$y = \dfrac{1}{3}x - 10$ có hệ số góc là $a = \dfrac{1}{3}$.

Thay $x = 3;y =  - 1$  vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\left( {2m - 3} \right).3 + m =  - 1 \Leftrightarrow 7m = 8 \Leftrightarrow m = \dfrac{8}{7}$

Suy ra $d:y =  - \dfrac{5}{7}x + \dfrac{8}{7}$

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k =  - \dfrac{5}{7}$.

Xét $d':x - 3y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}$ có hệ số góc là $\dfrac{1}{3}$. Mà $d{\rm{//}}d'$ nên hệ số góc của $d$ là $\dfrac{1}{3}$.

Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b\,\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$

$M$ thuộc $d \Leftrightarrow  - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\left( 1 \right)$

$N$ thuộc $d \Leftrightarrow 1.a + b =  - 1 \Leftrightarrow b =  - 1 - a\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $2 + 3a =  - 1 - a \Leftrightarrow 4a =  - 3 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{3}{4}$ suy ra $b =  - 1 - a =  - 1 + \dfrac{3}{4} =  - \dfrac{1}{4}$

Vậy $d:y =  - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}$.

Hệ số góc của $d$ là $k =  - \dfrac{3}{4}$

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = \dfrac{{m + 1}}{3}$$\left( {m \ne  - 1} \right)$

Từ giả thiết suy ra $\dfrac{{m + 1}}{3} =  - 2 \Leftrightarrow m + 1 =  - 6 \Leftrightarrow m =  - 7$.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,$

Vì $d$ đi qua $A\left( {1;1} \right)$ nên $a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - a$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình  ta được $- a + b = 2$$\Rightarrow b = a + 2$

Nên ta có $1 - a = a + 2 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow b = 1 - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$

Hệ số góc của $d$ là $k =  - \dfrac{1}{2}$.

Ta có $d':y - 2x = 0$$\Leftrightarrow y = 2x$

Đường thẳng  $d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1$ có hệ số góc $2m + 5$

Vì $d \bot d' \Rightarrow \left( {2m + 5} \right).2 =  - 1 \Leftrightarrow 2m + 5 =  - \dfrac{1}{2}$

Suy ra đường thẳng $d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1$ có hệ số góc $k =  - \dfrac{1}{2}$

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và $d.$ Ta có $\tan \alpha  = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \alpha  = 30^\circ$

Thay $x = 1;y = 2\sqrt 5  - \sqrt 2$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được

$\left( {2m - 1} \right).1 + 2\sqrt 5  = 2\sqrt 5  - \sqrt 2  \Leftrightarrow 2m - 1 =  - \sqrt 2  \Leftrightarrow m = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{2}$

$\Rightarrow d:y =  - \sqrt 2 x + 2\sqrt 5$

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và $d.$ Ta có $\tan \alpha  =  - \sqrt 2 .$

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$ có hệ số góc bằng $2$ nên $a = 2\left( {tm} \right)$$\Rightarrow y = 2x + b$

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $2.2 + b = 1 \Leftrightarrow b =  - 3$

Nên $d:y = 2x - 3$.

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $\left( {a \ne 0} \right)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ là $60^\circ$ nên $a = \tan 60^\circ  = \sqrt 3$

$\Rightarrow y = \sqrt 3 x + b$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $\sqrt 3 .\sqrt 3  + b =  - 5 \Rightarrow b =  - 8$

Nên $d:y = \sqrt 3 x - 8$.

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $\left( {a \ne 0} \right)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ là $30^\circ$ nên $a = \tan 30^\circ  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

$\Rightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}x + b$

Vì đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $6$ nên $d$ giao với trục hoành tại $A\left( {6;0} \right)$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.6 + b = 0 \Rightarrow b =  - 2\sqrt 3$

Nên $d:y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}x - 2\sqrt 3$.

Thay $x =  - 2;y = 4$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $\left( {6 - \dfrac{m}{2}} \right)\left( { - 2} \right) - 2m + 3 = 4$$\Leftrightarrow  - 12 + m - 2m + 3 = 4 \Leftrightarrow m =  - 13$

Khi đó $y = \dfrac{{25}}{2}x + 29$

Đường thẳng $y = \dfrac{{25}}{2}x + 29$ có hệ số góc $k = \dfrac{{25}}{2}$.

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và đường thẳng $y = 2$ là $135^\circ$ nên góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ cũng là $135^\circ$(do đường thẳng $y = 1$ song song với trục $Ox$) nên $a = \tan 135^\circ  =  - 1$

$\Rightarrow y =  - x + b$

Vì đường thẳng $d$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $4$ nên $b = 4$.

Từ đó $d:y =  - x + 4$.

Đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng $\displaystyle d':y =  - {1 \over 2}x$

$\displaystyle \Rightarrow a.{{ - 1} \over 2} =  - 1 \Leftrightarrow a = 2$

d đi qua  $P\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow 2( - 1) + b = 2 \Leftrightarrow b = 4$

Giả sử d’: ax + b

$d' \bot d \Rightarrow a.2 =  - 1 \Leftrightarrow a =  - 0,5$

$d':y =  - 0,5{\rm{x}} + b$ tiếp xúc với $\left( P \right) \Leftrightarrow$ phương trình $\displaystyle {1 \over 2}{x^2} =  - 0,5x + b$ có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow {x^2} + x - 2b = 0$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow 1 + 8b = 0 \Leftrightarrow \displaystyle b = {{ - 1} \over 8}$

Vậy $\displaystyle \displaystyle d:y =  - {1 \over 2}x - {1 \over 8}.$

Ta có M là trung điểm của BC nên M thuộc BC

$\Rightarrow 1 - 4y + 7 = 0 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow M(1;2)$

$\displaystyle BC:x - 4y + 7 = 0 \Leftrightarrow y = {1 \over 4}x + {7 \over 4}$

$d:y = a{\rm{x}} + b$ là đường trung trực của BC

$\displaystyle \Rightarrow d \bot BC \Rightarrow a.{1 \over 4} =  - 1 \Leftrightarrow a =  - 4$

Mặt khác d còn đi qua trung điểm (1; 2) của BC nên ta có: $- 4.1 + b = 2 \Leftrightarrow b = 6$

Vậy  $d:y =  - 4x + 6$

Đường thẳng $d$ có phương trình $y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)$có $a$ là hệ số góc.