Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có: $a = \tan \alpha $

Đường thẳng $d$:$y = 2x + 1$ có hệ số góc là $a = 2$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) - 5 = 2 \Leftrightarrow -m-2=7\Leftrightarrow m = -9$

Suy ra $d:y = -7x - 5$

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = -7$.

Xét \(d':2x - y - 3 = 0 \Leftrightarrow y = 2x - 3\) có hệ số góc là $2$. Mà $d{\rm{//}}d'$ nên hệ số góc của $d$ là $2$.

Gọi phương trình đường thẳng $d$cần tìm là $y = ax + b\,$ \( \left( {a \ne 0} \right)\)

Vì $d$ đi qua gốc tọa độ nên $b = 0$$ \Rightarrow y = ax$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình $y = ax$ ta được $3 = 1.a \Rightarrow a = 3$ (TM)

Nên phương trình đường thẳng $d:y = 3x$

Hệ số góc của $d$ là $k = 3.$

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = m + 2$  $(m \ne -2)$

Từ giả thiết suy ra $m + 2 =  - 4 \Leftrightarrow m =  - 6(TM)$.

Ta có $d':x - 2y - 6 = 0$$ \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x - 3$

Vì $d \bot d' \Rightarrow \left( {3 - m} \right).\dfrac{1}{2} =  - 1 \Leftrightarrow 3 - m =  - 2 \Leftrightarrow m = 5$

$ \Rightarrow d:y =  - 2x + 2$ có hệ số góc $k =  - 2$

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,$

Vì $d$ đi qua $A\left( {1;1} \right)$ nên $a + b = 1 \Rightarrow b = 1 - a$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình  ta được $ - a + b = 2$$ \Rightarrow b = a + 2$

Nên ta có $1 - a = a + 2 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow b = 1 - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$

Hệ số góc của $d$ là $k =  - \dfrac{1}{2}$.

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có $\tan \alpha  = \sqrt 3  \Rightarrow \alpha  = 60^\circ $

Thay tọa độ điểm  $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được

$m.3 + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$$ \Rightarrow d:y =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}x + \sqrt 3 $

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có $\tan \alpha  =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \alpha  = 150^\circ $

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$

Vì $d$ có hệ số góc bằng $ - 4$ nên $a =  - 4$$ \Rightarrow y =  - 4x + b$

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $ - 4.3 + b =  - 2 \Rightarrow b = 10$

Nên $d:y =  - 4x + 10$.

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $(a\ne 0)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ là $45^\circ $ nên $a = \tan 45^\circ  = 1$

$ \Rightarrow y = x + b$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $ - 1 + b = 1 \Rightarrow b = 2$

Nên $d:y = x + 2$.

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $(a \ne 0)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ là $60^\circ $ nên $a = \tan 60^\circ  = \sqrt 3 $ (TM) 

$ \Rightarrow y = \sqrt 3 x + b$

Vì đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $ - 2$ nên $d$ giao với trục hoành tại $A\left( { - 2;0} \right)$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\sqrt 3 .\left( { - 2} \right) + b = 0 \Rightarrow b = 2\sqrt 3 $

Nên $d:y = \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 $.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $2\left( {m + 1} \right).3 - 5m - 8 =  - 5 \Leftrightarrow m =  - 3$

Khi đó $y =  - 4x + 7$

Đường thẳng $y =  - 4x + 7$ có hệ số góc $k =  - 4$.

Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $(a \ne 0)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và đường thẳng $y = 1$ là $120^\circ $ nên góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ cũng  là $120^\circ $ (do đường thẳng $y = 1$ song song với trục $Ox$) nên $a = \tan 120^\circ  =  - \sqrt 3 $

$ \Rightarrow y =  - \sqrt 3 x + b$

Vì đường thẳng $d$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $ - 2$ nên $ b =  - 2$.

Từ đó $d:y =  - \sqrt 3 x - 2$.

Gọi d: y = ax + b

\(d//d':y = 2x + 1 \Rightarrow \left\{ \matrix{a = 2 \hfill \cr b \ne 1 \hfill \cr}  \right.\)

d : 2x + b tiếp xúc với (P)  suy ra phương trình \({x^2} = 2x + b\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - b = 0\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 1 + b = 0 \Leftrightarrow b =  - 1\)

Vậy \(d:y = 2x - 1.\)

Giả sử  \(AH:y = {\rm{ax}} + b\)

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC nên:  \(\displaystyle a.{{ - 1} \over 3} =  - 1 \Leftrightarrow a = 3\)

Mặt khác AH đi qua A(1 ; 2) nên ta có: \(3.1 + b = 2 \Leftrightarrow b =  - 1\)

Vậy \(AH:y = 3x – 1\)

Giả sử  \(MN:y = {\rm{ax}} + b\)

Ta có N thuộc \(MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a =  - b\)

M thuộc  \(MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a =  - 2\)

Do đó \(MN:y =  - 2{\rm{x}} + 2\)

Vì M, N lần lượt là rung điểm của các cạnh BC, CA của tam giác ABC nên MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AB\)

Suy ra AB có dạng: \(y =  - 2x + b'(b' \ne 2)\)

Vì P là trung điểm của AB nên AB đi qua \(P( - 1; -1)\)

\( \Rightarrow  - 1 =  - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' =  - 3(t/m)\)

Vậy \(AB:y =  - 2x - 3.\)

Gọi phương trình đường trung trực của AB là \(d:y = mx + n\) và  \(MN:y = ax + b\)

Ta có N thuộc  \(MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a =  - b\)

M thuộc  \(MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a =  - 2\)

Do đó  \(MN:y =  - 2{\rm{x}} + 2\)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA của tam giác ABC nên MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AB\)

Vì d là đường trung trực của AB nên \(\displaystyle  BC \bot MN \Rightarrow m( - 2) =  - 1 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow d:y = {1 \over 2}x + n\)

Vì P là trung điểm của AB nên d  đi qua P

\( \displaystyle \Rightarrow  - 1 = {1 \over 2}( - 1) + n \Leftrightarrow n =  - {1 \over 2}\)

Vậy trung trực của AB là : \(\displaystyle  y = {1 \over 2}x - {1 \over 2}\)