Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên
\({V_t} = \pi {R^2}h\) và \({V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\) . Do đó phần gỗ bỏ đi chiếm \(\dfrac{2}{3}\) thể tích khối trụ
Nên thể tích khối trụ là \({V_t} = 640\pi :\dfrac{2}{3} = 960\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\) .
Cho hình nón có bán kính đáy \(R = 5\left( {cm} \right)\) và chiều cao \(h = 12\,\left( {cm} \right)\) . Diện tích xung quanh của hình nón là
Vì \({R^2} + {h^2} = {l^2}\)\( \Leftrightarrow {5^2} + {12^2} = {l^2} \Leftrightarrow {l^2} = 169 \Rightarrow l = 13\,cm\)
Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .5.13 = 65\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hình nón có đường kính đáy \(d = 18cm\) và diện tích xung quanh \(135\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) . Tính thể tích khối nón
Bán kính đường tròn đáy \(R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{{18}}{2} = 9\,cm\)
Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi Rl \Leftrightarrow \pi .9.l = 135\pi \Rightarrow l = 15\,cm\)
Ta có \({R^2} + {h^2} = {l^2}\)\( \Leftrightarrow {9^2} + {R^2} = {15^2} \Leftrightarrow {h^2} = 144 \Rightarrow h = 12\,cm\)
Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.9^2}.12 = 324\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
Cho hình nón có chiều cao \(h = 24cm\) và thể tích \(V = 800\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\) . Tính diện tích toàn phần của hình nón.
Ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.24 = 800\pi \Rightarrow {R^2} = 100 \Rightarrow R = 10\,cm\)
Và \({R^2} + {h^2} = {l^2} \Leftrightarrow {10^2} + {24^2} = {l^2} \Leftrightarrow l = 26\,cm\)
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .10.26 + \pi {.10^2} = 360\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là \(12\,cm\) và \(6cm\) , chiều cao là \(15cm\) . Tính dung tích của xô.
Ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2}) = \dfrac{1}{3}\pi .15.\left( {{{12}^2} + 12.6 + {6^2}} \right) = 1260\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Cho tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 10\,cm;AC = 8\,cm\) . Quay tam giác \(ABC\) cạnh \(AB\) ta được một hình nón có thể tích là :
Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) ta được một hình nón có chiều cao \(AB\) và bán kính đường tròn đáy là cạnh \(AC\) .
Theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {8^2} \Rightarrow AB = 6\)
Thể tích của khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi A{C^2}AB = \dfrac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
Cho hình thang vuông \(ABDC\) vuông tại \(A\) và \(B\) , biết cạnh \(AB = BC = 4,5cm,AD = 7,5cm\) . Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh \(AB\) .
Xét tam giác vuông \(ABD\) ta có \(BD = \sqrt {A{D^2} - A{B^2}} = \sqrt {7,{5^2} - 4,{5^2}} = 6\,\,\left( {cm} \right)\)
Kẻ \(CH \bot BD\) tại \(H\) . Khi đó \(ACHB\) là hình vuông nên \(CH = AB = AC = BH = 4,5\,cm \)\(\Rightarrow HD = 6 - 4,5 = 1,5\,cm\)
Xét tam giác vuông \(CHD\) ta có \(C{D^2} = C{H^2} + H{D^2} = 4,{5^2} + 1,{5^2} = 22,5\)\( \Rightarrow CD = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{2}\)
Khi quay hình thang vuông \(ABCD\) quanh cạnh \(AB\) ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ \(AC\) , bán kính đáy lớn \(BD\) , đường sinh \(CD\) và chiều cao \(AB\) .
Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là \({S_{xq}} = \pi (R + r)l = \pi \left( {4,5 + 7,5} \right)\dfrac{{3\sqrt {10} }}{2} \)\(= 18\pi \sqrt {10} \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Nếu ta tăng bán kính đáy và chiều cao của một hình nón lên ba lần thì diện tích xung quanh của hình nón đó
Ta có đường sinh mới \({l'^2} = {\left( {3R} \right)^2} + {\left( {3h} \right)^2} = 9\left( {{R^2} + {h^2}} \right) = {\left( {3l} \right)^2} \Rightarrow l' = 3l\)
Khi đó diện tích xung quanh mới \({S'_{xq}} = \pi .\left( {3R} \right).\left( {3l} \right) = 9.\pi Rl = 9{S_{xq}}\) .
Vậy diện tích xung quanh của hình nón tăng \(9\) lần.
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(4cm\) , đường trung tuyến \(AM\) . Quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AM\). Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành (đơn vị \(c{m^2}\)).
Xét tam giác \(ABC\) đều có \(AM\) vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.
Nên ta có \(MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\left( {cm} \right)\) .
Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AM\) ta được hình nón đỉnh \(A\) , bán kính đáy là \(MC\) , đường sinh \(AC\) và chiều cao \(AM\) .
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2} = \pi .2.4 + \pi {.2^2} = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\) .
Cho một hình quạt tròn có bán kính \(12\,cm\) và góc ở tâm là \({135^o}\) . Người ta uốn hình quạt này thành một hình nón. Tính thể tích của khối nón đó.
Ta uốn hình quạt \(BAC\) thành hình nón đỉnh \(A\) , đường sinh \(AB = 12\,cm\) .
Khi đó độ dài cung \(BC\) chính là chu vi đáy của hình nón
Ta có độ dài cung \(BC\) là \({l_{BC}} = \dfrac{{\pi .12.135}}{{180}} = 9\pi \)
Khi đó chu vi đáy của hình nón \(C = 2\pi R = 9\pi \Rightarrow R = 4,5\,cm\)\( \Rightarrow {h^2} = {l^2} - {R^2} = {12^2} - 4,{5^2} \Rightarrow h = \dfrac{{3\sqrt {55} }}{2}\,cm\)
Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi .4,{5^2}.\dfrac{{3\sqrt {55} }}{2} = \dfrac{{41\pi \sqrt {55} }}{8}\) \(\left( {c{m^3}} \right)\)
Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Ta có \({V_t} = \pi {R^2}h = 1440\pi \Leftrightarrow \pi {R^2}.24 = 1440\pi \Rightarrow R = 2\sqrt {15} \,cm\) nên bán kính đáy của hình nón là \(R = 2\sqrt {15} \,cm\) , chiều cao hình nón \(h = 24\,cm\)\( \Rightarrow \) đường sinh hình nón \({l^2} = {h^2} + {R^2} \Rightarrow l = 2\sqrt {159} \,cm\)
Diện tích xung quanh hình nón là \(S = \pi Rl = \pi .2\sqrt {15} .2\sqrt {159} = 4\sqrt {2385} \pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) .
Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên
\({V_t} = \pi {R^2}h\) và \({V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\) . Do đó phần gỗ bỏ đi chiểm \(\dfrac{2}{3}\) thể tích khối trụ
Nên thể tích khối trụ là \({V_t} = 960\pi :\dfrac{2}{3} = 1440\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\) .
Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên
\({V_t} = \pi {R^2}h\) và \({V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\) . Do đó phần gỗ bỏ đi chiểm \(\dfrac{2}{3}\) thể tích khối trụ
Nên thể tích khối trụ là \({V_t} = 960\pi :\dfrac{2}{3} = 1440\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\) .
Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Ta có \({V_t} = \pi {R^2}h = 960\pi \)
\(\Leftrightarrow \pi {R^2}.15 = 960\pi \)
\( \Rightarrow R = 8\,cm\) nên bán kính đáy của hình nón là \(R = 8\,cm\).
Chiều cao hình nón \(h = 15\,cm\) \( \Rightarrow \) đường sinh hình nón \({l^2} = {h^2} + {R^2} \Rightarrow l = 17\,cm\)
Diện tích xung quanh hình nón là \(S = \pi Rl = \pi .8.17 = 136\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) .
Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên
\({V_t} = \pi {R^2}h\) và \({V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\) . Do đó phần gỗ bỏ đi chiếm \(\dfrac{2}{3}\) thể tích khối trụ
Nên thể tích khối trụ là \({V_t} = 640\pi :\dfrac{2}{3} = 960\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\) .
Tính thể tích của khúc gỗ hình trụ.
Ta thấy hình nón có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ và chiều cao bằng chiều cao hình trụ nên
\({V_t} = \pi {R^2}h\) và \({V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Rightarrow {V_t} = 3{V_n}\) . Do đó phần gỗ bỏ đi chiếm \(\dfrac{2}{3}\) thể tích khối trụ
Nên thể tích khối trụ là \({V_t} = 640\pi :\dfrac{2}{3} = 960\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\) .
Cho hình nón có bán kính đáy \(R = 3\,\left( {cm} \right)\) và chiều cao \(h = 4\,\left( {cm} \right)\) . Diện tích xung quanh của hình nón là
Vì \({R^2} + {h^2} = {l^2}\)\( \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = {l^2}\)
\(\Leftrightarrow {l^2} = 25 \Rightarrow l = 5\,cm\)
Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .3.5 = 15\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hình nón có đường kính đáy \(d = 10\,cm\) và diện tích xung quanh \(65\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\). Tính thể tích khối nón.
Bán kính đường tròn đáy \(R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\,cm\)
Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi Rl \Leftrightarrow \pi .5.l = 65\pi \)
\(\Rightarrow l = 13\,cm\)
Ta có \({R^2} + {h^2} = {l^2}\)\( \Leftrightarrow {5^2} + {h^2} = {13^2} \Leftrightarrow {h^2} = 144\)
\(\Rightarrow h = 12\,cm\)
Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.5^2}.12 \)
\(= 100\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)
Cho hình nón có chiều cao \(h = 10\,cm\) và thể tích \(V = 1000\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\) . Tính diện tích toàn phần của hình nón
Ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.10 = 1000\pi \Rightarrow {R^2} = 300 \Rightarrow R = 10\sqrt 3 \)
Và \({R^2} + {h^2} = {l^2} \Leftrightarrow {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = {l^2} \Leftrightarrow l = 20\,cm\)
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .10\sqrt3.20 + \pi.300= (300+200\sqrt3)\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là $10\,cm$ và $5cm$, chiều cao là $20cm$ . Tính dung tích của xô.
Ta có $V = \dfrac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2}) = \dfrac{1}{3}\pi .20.\left( {{{10}^2} + 10.5 + {5^2}} \right) = \dfrac{{3500\pi }}{3}\,\,\left( {c{m^3}} \right)$