Cho hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \(3\) và hiệu các bình phương của chúng bằng \(360\) . Tìm số bé hơn.
Gọi số thứ nhất là \(a;a \in {\mathbb{N}^*}\) ; số thứ hai là \(b;b \in {\mathbb{N}^*}\)
Giả sử \(a > b.\)
Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \(3\) nên ta có \(a - 2b = 3 \Rightarrow \)\(a = 2b + 3\)
Vì hiệu các bình phương của chúng bằng \(360\) nên ta có phương trình: \({a^2} - {b^2} = 360\,\,\left( * \right)\)
Thay \(a = 2b + 3\) vào (*) ta được \({\left( {2b + 3} \right)^2} - {b^2} = 360 \Leftrightarrow 3{b^2} + 12b - 351 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = 1089 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 33\) nên \(b = \dfrac{{ - 6 + 33}}{3} = 9\left( {tm} \right)\) hoặc \(b = \dfrac{{ - 6 - 33}}{3} = - 13\left( {ktm} \right)\)
Với \(b = 9 \Rightarrow a = 2.9 + 3 = 21\)
Vậy số bé hơn là \(9\) .
Tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là \(482\) . Tìm số bé hơn.
Gọi số bé hơn là \(a;a \in {\mathbb{N}^*}\) thì số chẵn liên tiếp lớn hơn là \(a + 2\)
Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là \(482\) nên ta có phương trình
\(a\left( {a + 2} \right) - \left( {a + a + 2} \right) = 482\)\(\Leftrightarrow {a^2} = 484 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 22\left( {tm} \right)\\a = - 22\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy số bé hơn là \(22\).
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp \(2\) lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm \(3cm\) thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng \(135c{m^2}\) . Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Gọi \(x\) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu \(\left( {x > 0} \right)\left( {cm} \right)\)
Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: \(2x\left( {cm} \right)\)
Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: \(x + 3\left( {cm} \right)\)
Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: \(2x + 3\left( {cm} \right)\)
Theo đề bài ta có phương trình: \(\left( {x + 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 135\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 9x - 126 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 21x - 126 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x\left( {x - 6} \right) + 21\left( {x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2x + 21} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 6 = 0\\2x + 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{ - 21}}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: \(6cm\) và \(12cm.\)
Suy ra chu vi hình chữ nhật ban đầu là \(\left( {12 + 6} \right).2 = 36\,\left( {cm} \right)\).
Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(26cm\) . Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau \(14cm\) . Cạnh góc vuông có độ dài nhỏ nhất của tam giác vuông đó là
Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là \(x\left( {cm} \right)\left( {x > 0} \right)\)
Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là \(x + 14\left( {cm} \right)\)
Vì cạnh huyền bằng \(26cm\) nên theo định lý Py-ta-go ta có
\({x^2} + {(x + 14)^2} = {26^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} + 28x + 196 = 676 \Leftrightarrow 2{x^2} + 28x - 480 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 14x - 240 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 24x - 240 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 10} \right) + 24\left( {x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 24} \right)\left( {x - 10} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {tm} \right)\\x = - 24\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là \(10cm\) và \(10 + 14 = 24\,\,cm\) .
Cạnh góc vuông có độ dài nhỏ hơn là \(10cm\)
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích \(120\,{m^2}\). Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên \(5m\) và chiều cao tương ứng giảm đi \(4\,\,m\) thì diện tích giảm \(20{m^2}\) .
Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là \(h\left( m \right);h > 4\)
Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích \(120\,{m^2}\) nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là \(\dfrac{{120.2}}{h}\) hay \(\dfrac{{240}}{h}\) \(\left( m \right)\)
Vì tăng cạnh đáy thêm \(5m\) và chiều cao giảm đi \(4m\) thì diện tích giảm \(40{m^2}\) nên ta có phương trình
\(\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{240}}{h} + 5} \right)\left( {h - 4} \right) = 120 - 20 \)\(\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{240}}{h} + 5} \right)\left( {h - 4} \right) = 200\) \( \Leftrightarrow 5{h^2} + 20h - 960 = 0\)
Phương trình trên có \(\Delta ' = 4900 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}h = \dfrac{{ - 10 + 70}}{5} = 12\left( {tm} \right)\\h = \dfrac{{ - 10 - 70}}{5} = - 16\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Nên chiều cao \(h = 12\,\,m\)
Suy ra cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là \(\dfrac{{240}}{{12}} = 20\,\,\left( m \right)\)
Một nhóm thợ phải thực hiện kế hoạch sản xuất 3000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm nên đã hoành thành sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch cần sản xuất mỗi ngày bao nhiêu sản phẩm.
Gọi số sản phẩm nhóm thợ theo kế hoạch phải làm mỗi ngày là \(x\left( {x \in {N^*}} \right)\)
*) Theo kế hoạch: Thời gian hoàn thành là \(\dfrac{{3000}}{x}\) (ngày)
*) Thực tế:
Số sản phẩm làm trong 8 ngày là \(8x\) (sản phẩm),
Số sản phẩm còn lại là \(3000 - 8x\) (sản phẩm)
Mỗi ngày sau đó nhóm thợ làm được\(x + 10\) ( sản phẩm)
Thời gian hoàn thành \(\dfrac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}\) ( ngày).
Vì thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,8 + \dfrac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 2 = \dfrac{{3000}}{x}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} - \dfrac{{3000}}{x} + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3000x - 8{x^2}}}{{x(x + 10)}} - \dfrac{{3000x + 30000}}{{x(x + 10)}} + \dfrac{{10x(x + 10)}}{{x(x + 10)}} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 100x - 30000 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 50x - 15000 = 0\\\Delta ' = {25^2} - 1( - 15000) = 15625 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 125\end{array}\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt : \({x_1} = - 25 - 125 = - 150\) (loại) và \({x_2} = - 25 + 125 = 100\)(tmđk).
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày cần làm \(100\) sản phẩm.
Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất nên mỗi ngày đội làm thêm được 10 sản phẩm so với kế hoạch. Vì vậy, chẳng những đã làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với quy định. Tính số sản phẩm mà đội phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch.
Gọi số sản phẩm đội dự định làm mỗi ngày là \(x\left( {x \in {N^*},\;x < 100} \right)\) (sản phẩm).
*) Theo kế hoạch
Thời gian hoàn thành là \(\dfrac{{1000}}{x}\) (ngày).
*) Thực tế.
Mỗi ngày tổ làm được\(x + 10\) ( sản phẩm).
Thời gian hoàn thành \(\dfrac{{1080}}{{x + 10}}\) ( ngày).
Vì thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{1000}}{x} - \dfrac{{1080}}{{x + 10}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{500}}{x} - \dfrac{{540}}{{x + 10}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{500(x + 10) - 540x}}{{x(x + 10)}} = \dfrac{{x(x + 10)}}{{x(x + 10)}}\\ \Rightarrow 500x + 5000 - 540x = {x^2} + 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 50x - 5000 = 0\\\Delta ' = {25^2} - 1( - 5000) = 5625 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 75\end{array}\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt : \({x_1} = - 25 - 75 = - 100\) (loại) và \({x_2} = - 25 + 75 = 50\)(tmđk).
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ dự định làm \(50\) sản phẩm.
Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong \(6\) giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình tổ \(1\) phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là \(5\) giờ.
Gọi năng suất của tổ 1 là: \(x,\,\,\,(x > 6,\) phần công việc/giờ);
Vì hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong \(6\) giờ
nên năng suất của tổ 2 là: \(\dfrac{1}{6} - x\) (phần công việc/giờ);
Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: \(\dfrac{1}{x}\) (giờ);
Thời gian tổ 2 làm 1 mình xong công việc là: \(\dfrac{1}{{\dfrac{1}{6} - x}}\) (giờ);
Vì khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là \(5\) giờ nên ta có phương trình:
\(\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{6} - x}} - 5\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{30x + 1}}{{1 - 6x}} = \dfrac{1}{x} \)\(\Rightarrow 30{x^2} + 7x - 1 = 0\)
Ta có \(\Delta = 169 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 7 + 13}}{{60}} = \dfrac{1}{{10}}\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{ - 7 - 13}}{{60}} = - \dfrac{1}{3}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy thời gian tổ \(1\) hoàn thành công việc \(1\) mình là 10 giờ.
Một lâm trường dự định trồng \(140\) ha rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức \(4\) ha so với dự định nên cuối cùng đã trồng được \(144\) ha và hoàn thành sớm hơn dự định hai tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng?
Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là \(x\left( {ha} \right)\) (Điều kiện: \(x > 0\))
Theo dự định, thời gian trồng hết \(140\) ha rừng là: \(\dfrac{{140}}{x}\) (tuần)
Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức \(4\) ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được: \(x + 4\) (ha)
Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết \(144\) ha rừng là: \(\dfrac{{144}}{{x + 4}}\) (tuần)
Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là \(2\) tuần nên ta có phương trình:
\(\dfrac{{140}}{x} - \dfrac{{144}}{{x + 4}} = 2\) \( \Rightarrow 140\left( {x + 4} \right) - 144x = 2x\left( {x + 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 280 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 14x + 20x - 280 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 14} \right) + 20\left( {x - 14} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 20} \right)\left( {x - 14} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 14\,\left( N \right)\\x = - 20\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng \(14\) ha rừng.
Một người đi xe máy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(35\)km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc \(40\) km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là \(15\) phút. Tính quãng đường \(AB\).
Gọi thời gian người đó đi từ \(A\) đến \(B\) là \(t\) giờ. \(\left( {t > \dfrac{1}{4}} \right)\)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi \(15\) phút nên thời gian về là \(t - \dfrac{1}{4}\) và quãng đường đi về là như nhau nên ta có : \(35t = 40.\left( {t - \dfrac{1}{4}} \right) \Leftrightarrow t = 2\,\left( {TM} \right)\)
Vậy quãng đường \(AB\) là \(2.35 = 70km\) .
Một ôtô phải đi quãng đường \(AB\) dài \(120\) km trong một thời gian nhất định. Xe đi 75km đường đầu với vận tốc hơn dự định là \(2\) km/h và đi đoạn đường còn lại kém hơn dự định \(3\) km/h. Biết ôtô đã đến đúng thời gian dự định. Tính thời gian người đó dự định đi quãng đường \(AB\).
Gọi vận tốc ô tô dự định đi là \(v\) \(\left( {km/h} \right)\), \(\left( {v > 3} \right)\)
Thời gian đi 75km đường đầu là \(\dfrac{{75}}{{v + 2}}\left( h \right)\)
Thời gian đi \(120 - 75 = 45km\) còn lại là \(\dfrac{{45}}{{v - 3}}(h)\)
Vì xe đến đúng thời gian dự định nên ta có phương trình:
\(\dfrac{{75}}{{v + 2}} + \dfrac{{45}}{{v - 3}} = \dfrac{{120}}{v} \Leftrightarrow \dfrac{5}{{v + 2}} + \dfrac{3}{{v - 3}} = \dfrac{8}{v}\) \( \Rightarrow 5v\left( {v - 3} \right) + 3v\left( {v + 2} \right) = 8\left( {v + 2} \right)\left( {v - 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow - 9v = - 8v - 48 \Leftrightarrow v = 48\left( {tm} \right)\)
Vậy thời gian dự định là \(\dfrac{{120}}{{48}} = 2,5\) giờ.
Một ca nô chạy xuôi dòng sông từ \(A\) đến \(B\) rồi chạy ngược dòng từ \(B\) về \(A\) hết tất cả \(8\)giờ \(6\) phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết quãng đường sông \(AB\) dài \({\rm{72 km}}\) và vận tốc dòng nước là \({\rm{2 km/h}}\)
Đổi \(8\) giờ \(6\) phút =\(\dfrac{{81}}{{10}}\)(h)
Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right),{\rm{ }}x{\rm{ }} > {\rm{ 2}}\)
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là:\(\;x{\rm{ }} + {\rm{ 2 }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: \(x{\rm{ }} - {\rm{ 2 }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Thời gian của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: \(\dfrac{{72}}{{x + 2}}\left( {\rm{h}} \right)\)
Thời gian của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: \(\dfrac{{72}}{{x - 2}}\left( {\rm{h}} \right)\)
Do ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 8 giờ 06 phút nên ta có phương trình: \(\dfrac{{72}}{{x + 2}}\)+\(\dfrac{{72}}{{x - 2}}\)=\(\dfrac{{81}}{{10}}\)
Ta có:
\(\dfrac{{72}}{{x + 2}} + \dfrac{{72}}{{x - 2}} = \dfrac{{81}}{{10}} \Leftrightarrow 8\left( {\dfrac{{x - 2 + x + 2}}{{{x^2} - 4}}} \right) = \dfrac{9}{{10}} \Leftrightarrow \dfrac{{16x}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{9}{{10}}\)
\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 160x - 36 = 0\), ta có \(\Delta ' = 6724 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 82 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{80 + 82}}{9} = 18\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{80 - 82}}{9} = - \dfrac{2}{9}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy vận tốc thực của ca nô là \(18{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B là 72 km, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4km/h.
Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\left( {x > 0,km/h} \right)\)
Đổi 15 phút = \(\dfrac{{15}}{{60}} = \dfrac{1}{4}\)h
*) Xuôi dòng:
Vận tốc của ca nô là \(x + 4\left( {km/h} \right) \Rightarrow \) Thời gian xuôi dòng của ca nô là \(\dfrac{{80}}{{x + 4}}(h)\)
*) Ngược dòng:
Vận tốc ngược dòng của ca nô là \(x - 4\left( {km/h} \right) \Rightarrow \) Thời gian ngược dòng của ca nô là \(\dfrac{{72}}{{x - 4}}(h)\)
Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\dfrac{{72}}{{x - 4}} - \dfrac{{80}}{{x + 4}} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{288(x + 4) - 320(x - 4)}}{{(x - 4)(x + 4)}} = \dfrac{{{x^2} - 16}}{{(x - 4)(x + 4)}}\\ \Rightarrow - 32x + 2432 = {x^2} - 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 32x - 2448 = 0\\\Delta = {16^2} + 2448 = 2704 \Rightarrow \sqrt \Delta = 52\end{array}\)
Phương trình có hai nghiệm \(x = - 16 + 52 = 36(tmdk)\),\(x = - 16 - 52 = - 68\) (loại)
Vậy vận tốc thực của ca nô là \(36km/h.\)
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai \(2\) giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau \(7,5\) giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau \(20\) giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 2} \right)\).
Trong một giờ:
-Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) ( bể).
- Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x - 2}}\) ( bể).
- Vì vòi thứ ba chảy ra trong 7,5 giờ thì cạn bề nên trong 1h vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{2}{{15}}\) ( bể).
Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{15}} = \dfrac{1}{{20}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{11}}{{60}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2 + x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{11}}{{60}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \dfrac{{11}}{{60}}\)
\( \Rightarrow 120x - 120 = 11{x^2} - 22x\) \( \Leftrightarrow 11{x^2} - 142x + 120 = 0\) có \(\Delta ' = 3721 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 61\) nên phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{71 - 61}}{{11}} = \dfrac{{10}}{{11}}\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{{71 + 61}}{{11}} = 12\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau \(12\) giờ bể đầy nước.
Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng. Hôm làm việc có 5 xe được điều đi làm việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? (Biết rằng mỗi xe chở hàng như nhau).
Gọi số xe ban đầu là \(x\;\left( {x \in {N^*},\;x > 5,\;xe} \right).\)
* Theo dự định: Tổng số hàng là: 150 (tấn)
Số hàng mỗi xe chở là: \(\dfrac{{150}}{x}\) (tấn)
* Thực tế: Tổng số xe là x – 5 (xe)
Số hàng mỗi xe chở là: \(\dfrac{{150}}{{x - 5}}\) (tấn)
Vì số hàng thực tế mỗi xe chở hơn dự định 5 tấn nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{150}}{{x - 5}} - \dfrac{{150}}{x} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{30}}{{x - 5}} - \dfrac{{30}}{x} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{30x}}{{x(x - 5)}} - \dfrac{{30(x - 5)}}{{x(x - 5)}} = \dfrac{{x(x - 5)}}{{x(x - 5)}}\\ \Rightarrow 30x - 30(x - 5) = x(x - 5)\\ \Leftrightarrow 30x - 30x + 150 = {x^2} - 5x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 150 = 0\\\Delta = {( - 5)^2} - 4.1.( - 150) = 625 > 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{5 + \sqrt {625} }}{2} = 15\,\,\,(tm)\\{x_2} = \dfrac{{5 - \sqrt {625} }}{2} = - 10\,\,\,(ktm)\end{array} \right..\)
Vậy số xe ban đầu của đội là 15 xe.
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $12$ giờ, nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là $7$ giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian để đội $I$ hoàn thành công việc là bao nhiêu?
Gọi $x$ (giờ) là thời gian đội \(I\) làm một mình xong công việc $\left( {x > 12} \right)$
Thời gian đội thứ \(II\) làm một mình xong công việc là: $x - 7$(giờ)
Trong một giờ đội \(I\) làm được \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Trong một giờ đội \(II\) làm được \(\dfrac{1}{{x - 7}}\)(công việc)
Trong một giờ cả hai đội làm được \(\dfrac{1}{{12}}\)(công việc)
Theo bài ra ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{12}}$
$ \Leftrightarrow 12\left( {x - 7} \right) + 12x = x\left( {x - 7} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 31x + 84 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 28\left( N \right)\\x = 3\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy thời gian đội \(I\) làm xong công việc là $28$ giờ, thời gian đội \(II\) làm xong công việc là: $28 - 7 = 21$(giờ).
Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian nhất định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đó may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với kế hoạch. Vì thế, xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo?
Bước 1:
Gọi số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là \(x\) bộ (x nguyên dương).
Bước 2:
Số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch là \(\dfrac{{280}}{x}\).
Số bộ quần áo may trong một ngày khi thực hiện là \(x + 5\).
Số ngày hoàn thành công việc khi thực hiện là \(\dfrac{{280}}{{x + 5}}\)
Bước 3:
Theo đề bài, ta có xưởng hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{280}}{x} - \dfrac{{280}}{{x + 5}} = 1\\ \Rightarrow 280\left( {x + 5} \right) - 280x = x\left( {x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 1400 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 35\left( {tm} \right)\\x = - 40\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 4:
Vậy số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là 35 bộ.
Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ. Tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Bước 1:
Gọi thời gian tổ thứ hai làm một mình xong công việc là \(x\left( {x > 12} \right)\) (giờ).
Bước 2:
Trong 1 giờ thì tổ 2 làm được \(\dfrac{1}{x}\) (công việc).
Sau 4 giờ hai tổ làm chung thì được khối lượng công việc là \(\dfrac{4}{{12}} = \dfrac{1}{3}\) (công việc).
Phần công việc còn lại là \(1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\) (công việc).
Bước 3:
Vì tổ 2 hoàn thành công việc còn lại tròn 10 giờ nên ta có phương trình
\(\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{x} = 10\)
\( \Leftrightarrow x = 15\left( {tm} \right)\).
Bước 4:
Vậy tổ 2 làm xong công việc trong 15 giờ.
Một phòng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau. Nếu mỗi dãy bớt đi một ghế thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế. Hỏi phòng họp lúc đầu được xếp thành bao nhiêu dãy ghế?
Bước 1:
Gọi số dãy ghế là \(x\) (dãy), \(\left( {x > 1;x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Bước 2:
Số ghế trong 1 dãy là \(\dfrac{{240}}{x}\) (ghế).
Số ghế trong một dãy mới là \(\dfrac{{240}}{x} - 1 = \dfrac{{240 - x}}{x}\) (ghế).
Số dãy ghế mới là \(\dfrac{{240x}}{{240 - x}}\).
Bước 3:
Vì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{240x}}{{240 - x}} = x + 20\\ \Leftrightarrow \left( {240 - x} \right)\left( {x + 20} \right) = 240x\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 220x + 4800 = 240x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 20x - 4800 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\left( {tm} \right)\\x = - 80\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 4:
Vậy số dãy ghế ban đầu là 60 dãy.
Một vòi nước chảy vào một cái bể không có nước. Cùng lúc đó, một vòi nước khác chảy từ bể ra. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng 4/5 lượng nước chảy vào. Sau 5 giờ thì nước trong bể đạt tới 1/8 dung tích của bể. Nếu không có nước chảy ra mà chỉ mở vòi chảy vào thì sau bao lâu thì đầy bể?
Bước 1:
Gọi thời gian vòi nước chảy đầy bể là \(x\left( h \right)\left( {x > 0} \right)\).
Bước 2:
Sau một giờ thì vòi đó chảy được \(\dfrac{1}{x}\) (bể).
Trong một giờ vòi khác chảy ra lượng nước bằng \(\dfrac{4}{5}.\dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{{5x}}\) (bể).
Lượng nước trong bể sau mỗi giờ là \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{{5x}}\)(bể)
Bước 3:
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{{5x}}} \right).5 = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{5x}}.5 = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow x = 8\end{array}\)
Bước 4:
Vậy nếu không có nước chảy ra mà chỉ mở vòi chảy vào thì sau 8h đầy bể.
